Sunday, December 30, 2012

אפס: ביוגרפיה של רעיון מסוכן


שאלתי מהספרייה את הספר אפס: ביוגרפיה של רעיון מסוכן מאת צ'רלס זייף וקראתי אותו בעניין ובהנאה. כמו ספרים רבים על מתמטיקה ועל ההסטוריה של המתמטיקה, ספר זה מתורגם מאנגלית.



מהכריכה האחורית:
אפס ביוגרפיה של רעיון מסוכן מתאר בהומור ובהתפעלות את סיפורה של סיפרה אחת שהביכה וריתקה את הוגי הדעות מאז ימי אתונה עד ללוס אלאמוס. צ'רלס זייף טוען שההתמודדות עם מושג הלא-כלום יחד עם תאומו: האינסוף גרמה פעם אחר פעם למהפיכות במחשבה הפילוסופית ובתפיסות היסוד של הציביליזציות. אם הנכם ששוחרים של מתימטיקה ומדע תיהנו מספר זה: אם אינכם כאלה, וודאי תהפכו לכאלה עם סיום קריאתו. צ'רלס זייף הצליח ליצור משהו מהנה במיוחד ממש מתוך הלא-כלום. 256 עמודים כולל מפתח שמות ונושאים וביבליוגרפיה.
בספר מסופר על הסטוריה של המתמטיקה ושל המדע ומוזכרות בו פריצות דרך, התקדמויות ונושאים חשובים יותר ופחות. חוט השני בספר הוא העיסוק באפס כספרה, כמספר וכמושג ושימושים שלו במתמטיקה וכיצד ההתייחסויות לאפס או אי ההתייחסות לאפס גרמו לבעיות ולצרות שדרשו פתרונות יצירתיים אך עקביים. בתור ספר על הסטוריה של המתמטיקה הוא מזכיר ועוסק בנושאים שספרים רבים על אודות ההסטוריה של המתמטיקה מזכירים.

בספר, שבתרגומו יש פה ושם (אבל לא המון) נפילות מביכות מבחינה מתמטית, שאני מקווה שאינן קיימות במקור,  ישנו עיסוק בשני רעיונות ומושגים: האפס והאינסוף והדואליות ביניהם. אפס הוא מספר, אך לאנושות לקח זמן רב להשתמש בו ובספרה שלו באופן עקבי במבנה המספר. הקשיים שנוצרו מתוך בעיות כגון חלוקה באפס (שאינה מוגדרת במתמטיקה) והתנגדויות מתוך תפיסה שמרנית אפילו לאור מציאות שמראה אחרת, עיכבו את האנושות במשך תקופה ארוכה מאוד.

האינסוף, שגם אותו מזכירים לא מעט בספר (כ-תאום של האפס, תיאור שאינני כל כך מחבב ומסכים עמו) אינו כלל מספר. אין כזה מספר, אינסוף. 

כמו ספרים רבים על אודות הסטוריה של מדע ומתמטיקה גם הספר הזה פותח בנושאים עם יותר הסברים ומסיים בפחות, מתחיל במתמטיקה שיותר נגישה לרוב הקוראים וככל שהספר מתקדם כך גם הנושאים הופכים פחות ופחות נגישים. בעוד שההסברים המתמטיים נשארו פחות או יותר באותה רמת עמימות ותמצות הנושאים בפיסיקה הלכו והפכו מעורפלים יותר ויותר, אם כי הדיונים הזכירו רבים מהמושגים המלהיבים: "חור תולעת", "המפץ הגדול", "תורת הקוונטים", תורת המיתריםיחסות כללית ו-יחסות פרטית ועוד... מעניין תמיד לקרוא על התפתחות מושג המספר והרחבתו, כולל הטיפול במספרים מרוכבים, על פיתוח כלים חשובים כמו אלגברהחדו"אתורת הקבוצות ועוד. דחיסות הנושאים בפיסיקה ביחס לשטח הדפים שעמדו לרשותו של הכותב והמורכבות ברעיונות שאינם אינטואיטיביים כלל הופכים את הסיפא של הספר למתסכל מעט ולמעייף. בקיאים בנושאים יצלחו אותו בקלות אך אחרים עלולים להתייאש וחבל.

נהניתי מאוד, כרגיל, מקריאה על מתמטיקה ומדע ועל אישים והתפתחויות. השימוש באפס ובאינסוף כנושא המרכזי שעליו תלויים כל הנושאים המוצגים הוא מעניין מאוד והופך את הקריאה על ההסטוריה של המתמטיקה לשונה מאשר בספרים אחרים שכך אין כאן רק התקדמות לאורכו של ציר זמן אלא לתובנות על אודות היתרונות, הקשיים והפתרונות שבהתמודדות עם האפס והאינסוף.

הספר מומלץ לחובבי מתמטיקה ומדע.


Friday, December 14, 2012

למדוד את העולם מאת אשר קרביץ וכלנית דותן

למדוד את העולם מאת אשר קרביץ וכלנית דותן

סופר מוכשר שהוא גם מרצה למתמטיקה ולפיסיקה וחוקרת באסטרופיסיקה חברו יחדיו לכתוב ספר משעשע ומחכים שעונה על צורך חשוב מאוד: בשביל מה בכלל אנחנו לומדים מתמטיקה, פיסיקה, כימיה (השלם את החסר במדע החביב או השנוא עליך) בבית הספר? למה זה טוב? -- נו... לא בטוח שבשביל זה כתבו השניים את הספר, למעשה הם מנסים לתת מידע באופן חביב ונגיש כיצד גדלים חשובים בעולמנו נמדדו.

מהכריכה האחורית:

נבחרתם להתמודד בתוכנית מי משתוקק להיות מיליונר?השבתם כהלכה על כל השאלות ועתה נותרה לפניכם רק שאלת המיליון. הדרמה בשיאה! זה הכול או לא כלום! שקט שורר באולם, והמנחה שואל: מהו כלי המדידה שבעזרתו מדד מנהל הספרייה באלכסנדריה, לפני למעלה מאלפיים שנה, את רדיוס כדור הארץ?א. שעון חול ב. מחוגה ג. מקל
בין דפיו של ספר זה תמצאו את התשובה המפתיעה לשאלה זו, כמו גם תשובות לשאלות מרתקות נוספות:
•כיצד ניתן למדוד את המרחק אל הירח במחיר שקל אחד בדיוק?•כיצד אפשר למדוד את מהירות האור בעזרת נקניקייה?•כיצד נמדדה הטמפרטורה על פני השמש?•כיצד ניתן להעריך את גילו של כדור הארץ?למדוד את העולם הוא ספר עיון מעשיר ומחכים – וגם משעשע – הסוקר את ההיסטוריה של המדע ואת תהליך פיצוח המסתורין הגדול של היקום מבעד לפריזמת הגדלים הבסיסיים של הטבע.
אשר קרביץ הוא סופר ומרצה למתמטיקה ולפיזיקה במכללה האקדמית להנדסה בירושלים ובאוניברסיטה הפתוחה. הוא כתב שישה ספרי פרוזה מצליחים, בהם הכלב היהודיסמל ראשון מוסטפא רבינוביץ' וקלמן קימרלינג חוקר פרטי, בעזרת השם.
ד"ר כלנית דותן היא חוקרת בתחום האסטרופיזיקה באוניברסיטה העברית. זהו ספרה הראשון.
תוכלו להכיר את הסיפור של ארטוסתנס שהסיק מהו רדיוס כדור הארץ (ולמעשה גם חישב בקירוב מצויין, ביחס לתקופתו, את היקף כדור הארץ), תוכלו להכיר דרכים שונות למדוד את מהירות האור (ואפילו בעצמכם בעזרת נקניקיה ותנור מיקרוגל), ולדעתי החלק המעניין ביותר הוא האופנים השונים שבהם שיכללו את המדידה והגיעו לדיוק רב יותר.

בכלל הדיון לגבי מתי היה ידוע שהארץ אינה שטוחה אלא שאנחנו חיים על גלובוס בדרך כלל בציבור נדמה שהגילוי שהעולם כדורי (כן.. רבים אומרים עגול...) קשור לגלילאו, אך לא כך היא. הנה סרטון קצרצר שנותן 10 סיבות שונות (כל אחת משכנעת בפני עצמה) לכך שהעולם שאנו חיים עליו אינו שטוח אלא עקמומי (רק חלק מהן משכנעות בדבר היותו גלובוס):



אפשר גם לקרוא איך חישבו בעבר ואיך אפשר לחשב היום את המרחק לירח, איך מודדים את המרחק אל השמש. תהיתם פעם איך מודדים את מהירות כדה"א? (לפי ויקיפדיה, כדור הארץ מסתובב סביב צירו במהירות משיקית של כ-0.5 ק"מ לשנייה ונע סביב השמש במהירות של כ-29 ק"מ לשנייה.) ואם המהירות כה גבוהה איך זה שכדור שזורקים כלפי מעלה אינו מתרחק הצידה? תוכלו גם לקרוא סיפורים מעניינים על אנשים ועל חייהם ואיך מדדו ואיך מודדים היום דברים נוספים כמו: תכונות האלקטרון, קבוע פלאנק, כמה חמה השמש ואיך מודדים את זה? ואפילו, איך יודעים (בערך) לפני כמה שנים נוצר כד, או סוס עץ או אפילו גילו של כדור הארץ בעצמו.

הספר הזה מעולה לחובבי מדע ומתמטיקה. מי שהחישובים נראים בשבילו מאיימים ולא מובנים יכול לדלג עליהם וליהנות מהסיפורים המחכימים והמשעשעים. תלמידים שהכתיבה המתמטית והנוסחאות מפחידות אותם פחות יבינו יותר.

אולי הביקורת היחידה שיש לי על הספר היא שהמחברים אכן מצאו את עצמם חייבים להשתמש בנוסחאות ולא מצאו את הדרך להמשיך את ההסברים באופן מוחשי עם דימויים הולמים מנסיון חיים שמשותף לכל איש, אז לדעתי היו יכולים לקבל תחת ידיהם ספר נגיש בהרבה. אני חושב שיש מקום רב לשיפור בהנגשה. גם הקפיצות האדירות בידע ובהבנה המתמטית שנדרשים מהקורא בהתחלה לעומת ההמשך ובעיקר בפרקים האחרונים הן מוגזמות. השימוש בנוסחאות השונות גורם לדעתי לאיבוד חלק משמעותי מאוד מקהל היעד האפשרי וחבל. דוגמה טובה להנגשה של רעיונות מדעיים ושל הסטוריה של המדע אפשר למצוא בספריו של רן לוי, פרפטום מובילה ו-האוניברסיטה הקטנה של המדעים ובפודקאסט המעולה שלו עושים הסטוריה.

ילדים ונוער סקרנים שמתעניינים אך הנוסחאות מאיימות עליהם, טוב יעשו אם יחפשו מבוגר (מורה, הורה, מכר) שבקיא בנושאים הללו ויבקש הסברים קצת יותר בגובה העיניים במקום הנוסחאות. מורים למתמטיקה, לפיסיקה ולכימיה: הספר הזה הוא דוגמה נהדרת איך אפשר להשתמש בהסטוריה של המתמטיקה ושל המדע ובשימושים מעשיים כדי לצקת יותר משמעות בחומר הלימוד וכדי לתת מענה לתלמידים בשביל מה בכלל לומדים את זה?!

אגב, דוגמה חביבה להמחשה שאין מדובר רק בדברים מהעבר... רק אמש היה מטר מטאורים (ג'מינידים) וערב קודם לכן, בשעה חמש לערך,אפשר היה לצפות בשמי ישראל (למי שמצוייד בראייה מעולה וכנראה גם בטלסקופ) בתחנת החלל שחלפה מעלינו (http://spotthestation.nasa.gov/).

אז הספר עוסק בנושאים מעניינים וחשובים, וקהל יעד של ילדים ושל נוער חובבי מדעים ומבוגרים שחובבים מדע והסטוריה של המדע יהנו מאוד -- הנוסחאות והסיבוכים המתמטיים לטעמי מיותרים ואני מקווה שיהיו נסיונות רבים נוספים להוציא לאור ספרים בסגנון אבל נגישים בהרבה. הנסיון הזה לא רע ומי שישכיל לדלג (או טוב מזה, למצוא מי שיסביר בשפה ברורה ויום-יומית) ימצא הרבה ידע ושעשוע.

ספר מעניין שעוסק גם במדידות של גדלים בכדור הארץ, ועוסק פחות במתמטיקה ובנוסחאות ועוסק המון בסיפורים על אנשים ובעלילה מרתקת ומשעשעת אפשר למצוא בספרו של דניאל קלמן, מודדים את העולם

מומלץ.


שלמה יונה


מה זה אאוטבריין? -- What is Outbrain?

אז מה זה בכלל אאוטבריין?
הכינה וצילמה: אייריני פאן




לא משעמם באאוטבריין...


Friday, November 30, 2012

בניית כישורי התמצאות במרחב לילדים

בניית כישורי התמצאות במרחב לילדים

ברשימה מה בין ימין ושמאל ולימוד החשבון הזכרתי את נושא ההתמצאות במרחב והסברתי על חשיבותו ומשמעותו. ברשימה פעילות בכתה ג' בהתמצאות במרחב כתבתי על פעילות שמדגימה עבודה עם ילדים ביסודי שעוסקת בצדדים של הגוף. ברשימה השלבים ההכרחיים לפיתוח התפיסה המרחבית הסברתי כיצד נמחיש ונלמד את הילדים את הצדדים (ימין ושמאל) ואת השינויים וההבדלים בין ימין ושמאל שלי, לבין ימין ושמאל של הזולת, לבין ימין ושמאל של מי שעומד מולי כשפניו כלפי; וכן יישומים של היכולת להשתמש בימין ובשמאל בדמיון גם כשמסובבים בעיני רוחנו את עצמינו או את הזולת כדי לעמוד במקומו וכדי לתת הכוונה נכונה ומדויקת של הוראות הגעה למקום אחר.

ברשימה הזאת אשוב ואסביר את מהלך ההוראה של הצדדים ימין ושמאל אך ביתר פירוט. בניית כישורים של התמצאות במרחב היא תהליך הדרגתי שמחייב התנסות בשבעה שלבים (שאותם אפרט בסעיפים א'-ז'). התהליך המתואר מתפרש על פני כל שנת הלימודים.

א'.הכרת הצדדים האישיים של הגוף

המטרה: הילד יוכל לזהות בקלות איברים בגופו שנמצאים בצד ימין לעומת איברים בגופו שנמצאים בצד שמאל.

ההורה מפנה את פניו לאותו הכיוון שאליו מופנים פני הילדים, כלומר כשגבו לילדים.

הנחיות לתרגול: "הרימו יד ימין, הרימו יד שמאל, הרימו רגל ימין, הרימו רגל שמאל, קפלו ברך ימין, קפלו ברך שמאל, הרימו כתף ימין, הרימו כתף שמאל, געו באוזן ימין, געו באוזן שמאל, הצביעו על לחי ימין, הצביעו על לחי שמאל, הצביעו על עין ימין, הצביעו על עין שמאל, הצביעו על נחיר ימין, הצביעו על נחיר שמאל."

דגשים:
(!) ההורה אומר את ההוראה, ומבצע ביחד עם הילדים. אחרי שהעניין ברור, אין צורך לבצע עמם, אך עדיין להישאר עם הגב כלפיהם בעת מתן ההוראות.
(!) יש ילדים שאינם עדיין שולטים בשמות של איברי הגוף. זאת הזדמנות לדרג את הפעילות ולתווך לילדים את שמות ואת מיקום איברי הגוף. אחרי שיש שליטה בשמות ובמיקומם של איברי הגוף חוזרים לעיסוק בהתמצאות במרחב.
(!) מתי נוח ללמד את איברי הגוף לקטנטנים? בעת ההלבשה וההתפשטות, כשמסתבנים במקלחת ובעת משחקים שבהם ההורה אומר שם של איבר בגוף שעל הילד לגעת בו. הכל בדרך של משחק ושל הנאה.
(!) אין דחיפות ואין לאן למהר. על הדברים להיטמע ולהיקלט וללא לחץ.
(!) הילדים מתבקשים לבצע את ההנחיות בזו אחר זו.
(!) חשוב להסביר לילדים שהאימון בהכרת הצדדים האישיים של הגוף חיוני ללימוד החשבון.
(!) כאשר הילדים מבצעים את האימון ללא טעויות אפשר להגביר את הקצב ואפילו להקשות מעט. למשל, "הניחו יד ימין על רגל שמאל, הניחו יד שמאל על כתף ימין" וכו'. תרגול שכזה חשוב לחציית קו האמצע שמחבר בין שני חלקי המוח.

סימטריה

הכרת הצדדים האישיים של הגוף מבוססת על הבנת המושגים "סימטריה" ו-"ציר סימטריה". ההורה יכול וצריך להשתמש במילים "סימטריה" ו-"ציר סימטריה". אין לחשוש משימוש במושגים ומהדגמתם ומהגדרתם. ילדים אינם חוששים, בניגוד לדעה הרווחת, ממושגים ואינם מסתבכים עמם -- ההפך הוא הנכון -- ילדים זקוקים להגדרה ולהדגמה. כאשר לכל רעיון יש שם ולכל מושג כינוי וכך לכל פעולה ולכל עצם, בונים שפה ותקשורת וניתן לחשוב על הדברים, לפעול עליהם במוחנו ולתקשר אותם לזולתנו. בהיעדר שמות התקשורת קשה, מעורפלת ואינה יעילה. לכן, אל חשש -- השתמשו במושגים הנכונים לתיאור הנושא והפעולות.

הילדים מצביעים על הנחיריים. אצבע ימין על נחיר ימין, אצבע שמאל על נחיר שמאל. הילדים מקרבים את אצבעותיהם, מעלים אותם בעודן צמודות עד מצחם ומורידים אותן עד הרצפה. כך הם "משרטטים" בעזרת שתי אצבעותיהם קו דמיוני לאורך גופם, שהוא ציר הסימטריה של הגוף.

הורה: "ציר הסימטריה הוא קו ישר שמחלק צורה לשתי צורות שוות, כך שמול כל חלק בצד האחד מתאים חלק זהה לו בצד השני של הציר."

(!) הורים שנבהלים מהמילים הגבוהות יכולים להירגע. המילה ציר מפחידה? אז לפני שמגיעים לשלב הזה מקיימים בהזדמנות שיחה עם הילד ובה מעלים את המילה "ציר". שואלים למשמעויותיה השונות, מסבירים מדגימים וכו'. למשל: יש ציר של דלת  וציר בחלון וציר סיבוב של כדור או של מטרייה מסתובבת וציר בפרלמנט וכו'. זאת הזדמנות להעשיר את השפה ולהדגים שבשפה שלנו יש מילים רבות שלהן יותר ממשמעות אחת. המשמעות נקבעת לפי ההקשר. באופן דומה כך גם במתמטיקה (להורים אני מזכיר למשל את סימן המינוס "-" שיש לו כמה תפקידים, גם לציון מספרים שליליים כמו 3- גם לציון הנגדי למספר וגם לסימון פעולת החיסור... וגם בתור פעולת חיסור יש בהקשרים שונים משמעות שונה לחיסור).

הגוף שלנו סימטרי לגבי ציר הסימטריה האנכי. כל סימטריה (מהסוג הזה של סימטריית מראה) מתקיימת רק אם קיים ציר סימטריה שמאפשר את ההתאמה בין שני צדי הציר. הכוונה כאן בסימטריית "מראה", וההגדרה היא שלצורה יש סימטריה לאורך ציר אם החלקים שנמצאים משני צידי הציר הם בעלי אותה צורה, גודל ועמדה. עוד דרך להראות: צורה היא סימטרית אם לכל נקודה שעל הצורה יש נקודה מתאימה לה מצידו האחר של ציר הסימטרייה כך שמרחק הנקודה מציר הסימטרייה ומרחק הנקודה שמתאימה לה מצידו האחר של ציר הסימטרייה הוא שווה.

ציר הסימטריה בגופנו
(!) המילה אנכי נראית גבוהה מידי? ראשית, ההסבר מהמשפט הקודם מיועד להורים ולא לילדים. אך מי שמעוניין להסביר זאת לילדים יכול. לפני שמשתמשים במילה אנך במשפט, צריך להגדיר ולהסביר מהו אנך ומה זה אנכי. רעיון הדירוג עובר כחוט השני בגישתנו -- אין צורך מהתחמקות או מהסתבכות -- כשקשה, מפשטים, מדגימים ומגדירים ומביאים את השיח לרמה של הילד. ורק אחרי שהבסיס ברור, אחרי שהמושגים שבהם משתמשים ברורים, רק אז ממשיכים. אין להשאיר חורים בהבנה.
(!) כשיש חשש מעודף מידע בבת אחת, לזכור שאיננו בתחרות ואין לנו חומר להספיק. מטרתנו לחנך וללמד את הילדים ולא "לסיים את החומר". אם קשה או נראה שעמוס, אז לחלק, לפשט, להסביר ולהדגים. אין בעיה להתעכב בעניין מסוים עד שחשים עמו בנוחות. 
(!) חשוב להקפיד שלא לדלג על שלבים.
ציר הסימטריה בגופנו
(!) כשמתעכבים בשלב מסוים ומוצאים את עצמינו חוזרים ומסבירים, להקפיד לגוון בדוגמאות ולא להתקבע על אותה הדוגמה -- דווקא מועיל להראות כמה דוגמאות שונות שבהן אותו העיקרון פועל ובא לידי ביטוי -- זה ימנע מהילדים קיבעון ואת הרושם המוטעה שמה שנאמר נכון רק בהקשר מסוים ובתנאי מסוים. הכללות שברורות לנו כבוגרים אינן בהכרח (ולפעמים בהכרח אינן) ברורות לילדים.

לאחר שהילדים יודעים לצייר על גופם בדמיונם את ציר הסימטריה, הם לומדים להכיר את הצד הימני ואת הצד השמאלי של גופם, על ידי תנועת מישוש של צידי גופם לאורך כל הגוף, עד שמגיעים אל רגל ימין ואל רגל שמאל.

ציור שכזה יכול להיות תלוי במקום נוח כשעושים את הפעילות (אפשר להציע לילדים לנסות את כוחם בעצמם לצייר את זה או לצבוע את אשר אתם שרטטתם).

תרגול שמלווה בתנועתיות ובזיהוי תופעות בסביבתו הקרובה של הילד: מציאת גופים סימטריים בסביבה.

לדוגמה: הורה שירצה להעמיק עם ילדו את העיסוק בסימטריה יכול לשלב במשחקים פעילויות של מציאת ציר הסימטריה של חפצים שונים: שולחן, ארון, ספר, וכו'. פעילויות אלה אינן שייכות בבלבדיות למתמטיקה והן מהוות תשתית לתחומים רבים כגון קריאה, כתיבה, התמצאות יומיומית בסביבה ועוד. יש לשלבן בפעילות השגרתית בהתנהלות בבית ובמשפחה.

ב'. הכרת הצדדים מחוץ לגוף: מיקום מרחבי של עצמים ביחס לגוף

המטרה: הילד יוכל לזהות בקלות מיקום מרחבי של עצמים מחוץ לגופו. 

הנחיות לתרגול: "מה/מי לפניך, מה/מי מאחוריך, מה/מי מימינך, מה/מי משמאלך". 

בתרגול עד לסוף שלב זה על ההורה לעמוד באותו הכיוון כמו הילד בעת מתן ההוראות (ולא לעמוד מול הילד בעת מתן ההוראות).

(!) תלמידים בכתה א' שמגיעים לשלב כתיבת ספרות עוד בטרם שולטים בשלב זה של הכרת הצדדים מחוץ לגוף, נתקלים בחלקם בקשיים ומתחילים בפתיחת פערים. לדוגמה, בעיות בכתיבת הספרות בכיוון הנכון ומאוחר יותר אפילו בלבול, למשל בין 23 לבין 32. -- אעסוק בהרחבה בכתיבה נכונה ברשימה אחרת.

ג'. הכרת הצדדים של הזולת

המטרה: הילד יוכל לזהות בקלות איברים בגופו של אדם אחר שעומד כשפניו אל מול פני הילד. אליו להבין שאיבריו שלו נמצאים בצד ימין שלו, לעומת אותם האיברים שנמצאים בצד שמאל של העומד מולו.

הילדים שמאומנים בזיהוי איברים שנמצאים משני צידי הגוף ובמיקום במרחב של עצמים מחוץ לגוף, בשלים לשלב ההיפוך של הצדדים, כשהזולת מולם. זוהי פריצת דרך מנטלית שמחייבת את ההבנה שצד ימין שלי, וצד שמאל שלי הפוכים מאלה של אדם אחר שעומד מולי.

(!) תלמידים בכתה א' שלא הגיעו לשלב זה ואינם שולטים עלולים להתקשות ולפתוח פערים כשתלמד פעולת החיסור שהפוכה לחיבור. בעוד שבחיבור אפשר להחליף את סדר המחוברים ולקבל את אותה התוצאה בחיסור יש הבדל בתוצאה כאשר מחליפים בסדר שבין המחוסר לבין המחסר. ההכרה שהתוצאה שונה לא תספיק לחלק מהתלמידים הללו להבין, כי חסרה להם עדיין הבנה ושליטה בשלב בסיסי יותר של התמצאות במרחב.

הנחיות לתרגול: כאן כדאי לפעול עם מספר זוגי של ילדים. ההורה: "עמדו בזוגות פנים מול פנים. הרימו יד ימין, הרימו יד שמאל, הטו ראש לימין, הטו ראש לשמאל, הרימו רגל ימין, הרימו רגל שמאל... מה ראיתם?" כאן יבחינו הילדים שבעומדם זה מול זה, פנים מול פנים, חל היפוך: לכל אחד יש ימין ושמאל וכשאנו עומדים זה מול זה, הצדדים הפוכים.

"עמדו בזוגות פנים מול פנים. ילד אחד מתרגל, האחר עומד ללא תנועה (אחר כך מתחלפים בתפקידים). ההנחיות ניתנות לילד המתרגל: הצבע על יד ימין של העומד מולך, הצבע על יד שמאל שלו, הצבע על עינו הימנית, על עינו השמאלית, הצבע על ברכו הימנית, ברכו השמאלית, ..., הצבע על פניו, הצבע על גבו."

ילדים עומדים אלה מול אלה ומבינים שהצד של זולתם הפוך משלהם. כדי שיוכלו להבין את ההיפוך, הם לומדים שקודם עליהם לזהות את הצדדים האישיים שלהם ואחר כך להפוך צדדים אלה במחשבתם. יכולת היפוך זו חשובה, בין היתר, גם לקליטת הספירה העולה והיורדת.

ד'. הכרת הצדדים מחוץ לגופו של הזולת: מיקום מרחבי של אובייקטים ביחס לגוף הזולת

המטרה: הילד יוכל לזהות בקלות מיקום מרחבי של עצמים מחוץ לגופו של הזולת.

הנחיות לתרגול: "עמדו בזוגות פנים מול פנים. ילד אחד מתרגל, האחר עומד ללא תנועה (אחר כך מתחלפים בתפקידים). ההנחיות ניתנות למתרגל: "מה/מי נמצא לפניו של העומד מולך, מה/מי נמצא מאחוריו, מה/מי נמצא מימינו של העומד מולך, מה/מי נמצא משמאלו."

אימונים נוספים: צורות, עצמים ומערכות יחסים
  • "ציירו פרח בצד ימין למטה של דף מנייר ובצד שמאל למעלה של הדף ציירו חיפושית." (אני מזכיר שיש הסכם שכשכותבים על נייר או כקוראים ממנו או כשמסתכלים עליו מוסכם שצד ימין של הדף הוא באותו צד ימין שלנו -- כל זאת אף על פי שאין לעצמים שאינם אנושיים או מואנשים צד)
  • לילדים שמכירים צורות: "ציירו משולש בצד ימין למעלה ועיגול בצד שמאל למטה." וכך הלאה
  • לילדים שמכירים ספרות: "רשמו את הספרה 1 על הדף מימין." "רשמו את הספרה 5 על הדף משמאל." "רשמו את הספרה 4 מימין למעלה." "רשמו את הספרה 6 על הדף משמאל למטה."
  • אם יש לוח בנמצא אז ההורה עומד  בסמוך ללוח ושואל את הילד "באיזה צד שלי נמצא הלוח?" ואפשר לנסות ולהעמיד בני משפחה אחרים ולשאול "באיזה צד של ____ נמצא הלוח? הלוח נמצא מימין ל_____ ומשמאל ל______." זהו בסיס להבנת היחס, כי הלוח נמצא משמאלי ביחס אליי, ומימינו של ____ ביחס אליו.
  • מאיזה צד של ______ נמצא החלון?
  • מי יושב מימינך?
  • איפה יד ימין של __________ שעומד ממולך?

ה'. תנועה במרחב: הכרת היחסים במרחב בשעת תנועה

בשעת תנועה משתנים היחסים במרחב בין האדם לבין הסביבה במהירות רבה.

המטרה: הילד יוכל לזהות בקלות מיקום מרחבי של עצמים מחוץ לגופו, תוך כדי תנועה.

הנחיות לתרגול: "צעד שני צעדים קדימה: מה/מי לפניך, מה/מי מאחוריך, מה/מי מימינך, מה/מי משמאלך. פנה ימינה: מה/מי לפניך, מה/מי מאחוריך, מה/מי מימינך, מה/מי משמאלך. פנה לאחור: מה/מי לפניך, מה/מי מאחוריך, מה/מי מימינך, מה/מי משמאלך."

תרגול על ידי משחק: לאן הלך העכבר?

כל ילד מקבל דף משובץ שבו מצויר עכבר בנקודת המוצא (משבצות גדולות בגודל 8x8) וכן מספר מטרות: גבינה, לחם, חסה. המשחק מתבצע בזוגות. אחד מבני הזוג מצייר לעצמו מסלול (לפי בחירתו) על קווי המשבצות (מנקודת המוצא לכל אחת מהמטרות) ונותן לחברו (שבידו דף משובץ ללא המסלולים) הוראות מילוליות על מסלולו של העכבר מנקודת המוצא לכל אחת מהמטרות. 

למשל: מנקודת המוצא הלך העכבר שתי משבצות ימינה, אחר כל הלך קדימה שלוש משבצות וכו'.

החבר מצייר את המסלולים על הדף הריק שברשותו (כל מסלול בצבע שונה), לפי ההוראות שניתנות לו. כאשר מקבל ההוראות מגיע אל המטרה הוא מכריז למשל: "העכבר הגיע לגבינה." המסלולים נבדקים, הילדים מחליפים תפקידים.

ו. תנועה היפותטית: הכרת היחסים במרחב בשעת תנועה במחשבה בלבד

התרגילים בשלב הזה חשובים לפיתוח הדמיון ולהבנת מערכות יחסים מופשטות, כי הילד מבצע במחשבה בלבד את המעברים מהמצב שבו הוא מצוי במציאות המוחשית אל מצב שאינו נתפס בחושים, אלא רק במחשבה.

הנחיות לתרגול: "פנה בדמיונך ימינה: מה/מי לפניך, מה/מי מאחוריך, מה/מי מימינך, מה/מי משמאלך. אם תפנה שמאלה אז מה/מי יהיה מאחוריך? אם הדלת תהיה לפניך אז מה/מי יהיה מימינך...?"

לאחר שהילד מסוגל לזהות את היחסים במרחב בשעת תנועה היפותטית שלו עצמו, נבקש ממנו להתאמן בזיהוי יחסים במרחב בשעת תנועה היפותטית של הזולת.

שאלות לתרגול:
  • אם ___ יסתובב כך שהדלת תהיה מאחוריו, מה יהיה משמאלו?
  • אם ___ תעמוד כשגבה אל החלון, מה יהיה לפניה? לימינה?
  • אם ___ יעמוד כשפניו אל ארון המטבח, מה יהיה מאחוריו? מימינו? משמאלו?
ז. תנועה לאורך מסלול: הוראות ליציאה מהמרחב שבו אנו נמצאים, וחזרה אליו


בשלב זה הילד מתקדם בהתאם להוראות המכוונות אותו לצאת מן המרחב שבו הוא נמצא ולשוב אליו בחזרה. אפשר לנהל את ההתנסות הזאת כמשחק "חפשו את המטמון." 

המטרה: התמצאות במרחב בעזרת הוראות.

הנחיות לתרגול: כדאי לבצע פעילות זאת עם יותר מילד אחד. אחד הילדים מתנדב להיות "מחפש מטמון" וממתין בנפרד, למשל מחוץ לחדר. בחדר מוטמן "אוצר" (פרי, מדבקה צבעונית וכו'). המחפש חוזר לחדר ומתחיל לנוע בהתאם להוראות מילוליות שהוא מקבל מאחד הילדים שהיו שותפים להטמנת האוצר.

למשל: פנה ימינה, לך חמישה צעדים, פנה שמאלה, לך שבעה צעדים, הגעת לשולחן המורה וכו'. ההוראות אמורות להוביל את המחפש למציאת האוצר.

ההתנסות במתן הוראות המיועדות להוביל אדם בחזרה אל המרחב שממנו יצא, עלולה להיות קשה ומבלבלת.

בשלב זה נדרש הילד לצייר בעיני רוחו מסלול, ובעזרת הוראות מילוליות להחזיר את הזולת לנקודת המוצא שלו.

המטרה: פיתוח חשיבה מופשטת בעזרת שימוש בייצוג פנימי מרחבי.

הנחיות לתרגול: "אתה נמצא במטבח בגן. הסבר לעדו כיצד יוכל להגיע מן המטבח אל ארגז החול שבחצר הגן." או "אורח שנמצא בחצר שבגן הסמוך מתכוון להתארח גם בחצר הגן שלנו. הסבר לו כיצד יוכל להגיע ממקומו אל חצר הגן שלנו." וכו'.

משחק:

שלב א': אנחנו רוצים להגיע לביתך, תאר לנו את הדרך מהגן ועד לבית
שלב ב': הגענו לביתך. עכשיו עליך "להוביל" אותנו, במילים בלבד, משם בחזרה אל הגן

למתקדמים: משחק צוללות ברמות שונות. (אפשר להכין עם נייר משובץ וכלי כתיבה -- אין הכרח לרכוש משחק מוכן)


לסיכום

התרגולים שתוארו עד עתה משרתים את תהליך הלמידה בתחומים רבים ומגוונים ואינם משפיעים רק על לימוד מתמטיקה. לכן חשוב לשלב אותם בפעילויות שגרתיות בהזדמנויות שונות.

שימוש במילים כמו "ימין", "שמאל", "קדימה", "אחורה", "לפני", "אחרי", "למעלה/מעל", "למטה/מתחת", יעשה באופן קבוע. הדיוק השפתי בהגדרת המיקום המרחבי חיוני לפיתוח ייצוג פנימי מרחבי, לתגובה יעילה, לתקשורת בין אישית ברורה ולהבנה החשבונית.

רצוי מאוד להימנע מכינויים רומזים כמו "זה", "פה", "שם". כינויים אלה יוצרים ערפול מחשבתי, אינם ממוקדים ומהווים מלל שאין בו מידע רלוונטי לפיתוח חשיבה ויש בשימוש בהם נזק ארוך טווח להפשטה.

משפט כמו "הספר נמצא על ____ מימינו של  ____", מבסס את הייצוג הפנימי המרחבי, מספר מידע ממוקד ויוצר תקשורת בהירה בין הילד לסביבתו.

המורה,

* הרשימה מבוססת על הדיון ועל ההנחיות של התמצאות במרחב מתוך המבוא לספר המורה של מתמטיקה יסודית לכתה א' שכתבה תלמה גביש


לייעוץ (בהתנדבות וללא תמורה) אפשר  קשר עם המורה הוותיקה תלמה גביש בכתובת: thetalma@yahoo.com וכן אצלי ב-shlomo.yona@gmail.com







השלבים ההכרחיים לפיתוח התפיסה המרחבית




השלבים ההכרחיים לפיתוח התפיסה המרחבית


התמצאות במרחב דרושה לילדים בתחומים רבים. פגימה כלשהי בתפיסה המרחבית מונעת במישרין מהילדים את ההצלחה במתמטיקה ובתחומים אחרים. יש דוגמאות רבות להשפעתה המזיקה של פגיעה כזאת, הנה שתי דוגמאות:
  • כתיבת העברית מימין לשמאל לעומת כתיבה חשבונית משמאל לימין עלולה לעכב ילדים רבים מלהבין את השיטה העשרונית שבה הכתיבה היא בכיוון שהפוך לכיוון הכתיבה בעברית
  • הבנת הפעולות ההפוכות: החיסור והחילוק, מתונית בתפיסה מרחבית תקינה וביכולת "ללכת אחורה" בתהליך שכבר נרכש (חיבור, וכפל).

הכרת הצדדים האישיים בגופו של הילד

הילד יכיר את איברי גופו בדרך של משחק: יד ימין, יד שמאל, כתף ימין, כתף שמאל, אוזן ימין, אוזן שמאל, עין ימין, עין שמאל, לחי ימין, לחי שמאל, צד ימין, צד שמאל, רגל ימין, רגל שמאל.
לסדר המוצע יש משמעות. אנחנו יוצאים מהחוץ כלפי מרכז הגוף, וממרכז הגוף כלפי מטה. סדר זה מבטיח תחושת גוף תקינה לכל אורכו.
המשחקים יהיו מלווים בתנועות.
הוראות לילדים: הרימו את יד ימין, הרימו את יד שמאל, הצביעו על אוזן ימין, הצביעו על אוזן שמאל בעזרת יד ימין וכו'. יש לשמור על מקצב בעת התרגול ועל רוח המשחק. את הטעויות של הילדים מתקנים במגע עדין בצד המתאים. אפשר לסייע לילדים ברמזים: באיזו יד אתה מצייר (או כותב)? או: באיזו יד את מחזיקה את הכף בעת הארוחה?
יש להימנע משימוש באביזרים שאינם תמיד בנמצא, למשל: על איזו יד עונדים שעון? השעון אינו נמצא בדרך קבע (אם בכלל בימינו) על היד, וכשהוא איננו נעלם גם הרמז.
לאחר שהילדים קלטו את הצדדים בגוף, אפשר לשחק עמם במשחקי "מחבואים" או "סימני דרך", כמו: פנה ימינה, לכי קדימה וכו'. 
מרגע זה יש להימנע מכינויים רומזים כמו: "זה", "פה" ולעבור להנחיות בשפה מדויקת יותר כמו: "הדובי מימינך", "הצלחת מאחוריך" וכו'.

הצדדים של הזולת שעומד באותו הכיוון שבו עומד הילד

התמצאות במרחב
הילד לומד שהימין שלו, הפנים שלו, האחור שלו והשמאל שלו הם גם אותם הצדדים של מי שעומד לידו כשפניו מופנות לאותו הכיוון. הנחו את הילדים שעומדים בשורה באופן הבא: "הרימו את יד שמאל" הילדים יסתכלו על ידיהם של הילדים האחרים בשורה ויראו שלילדים האחרים אותו צד כמו להם.

כלל חשוב: הנייר מקבל את הצדדים ימין ושמאל של העומד או של היושב מולו. שמאל של הנייר זה השמאל של המחזיקים בו. זהו הסכם מקובל. אך יש להבין שצדדים יש לעצמים שהם אנושיים או שאנחנו מאנישים אותם, אין באמת לשולחן, לקיר או לפרח צד ימין וצד שמאל. אולם אם נצייר על השולחן, או על הקיר או על הפרח פנים או שנדמיין בעיני רוחנו פנים אזי קל יהיה לנו לחזור לתמונה של אדם ולשחזר את הצד המתאים.

הצדדים של הזולת שעומד כשפניו מול הילד

עומדים עם הפנים אל הילד, מושיטים ידיים ושואלים: "איפה יד ימין שלי?". אם הילד יודע את התשובה הנכונה, שאלו: "איך ידעת?" ולסייע לו לנסח את תשובתו: "קודם ידעתי איפה יד ימין שלי ואחר כך ידעתי שאצלך זה ההפך, כי אתה עומד מולי". אם הילד מתקשה במתן תשובה נכונה, נוטלים את יד ימינו בידינו השמאלית, שהילד הצביע עליה, מסתובבים לכיוון של הילד ומפנים את תשומת ליבו לכך שכאשר אנו באותו כיוון רואים מהי היד הנכונה.
חוזרים על פעילות זו גם עם יד שמאל, עד שילדים מפנימים את הרעיון.
לשלב זה השלכות רבות על החשיבה. יש להתמיד בו.

קבלת הוראות או מתן הוראות במרחב שבו נמצאים הילדים והמנחה

הילד "מסתובב" במחשבתו.
ההוראות לדוגמה:
"אם תסתובבו (אבל אינם מסתובבים ממש, אתם רק מדמיינים שאתם מסתובבים) והפנים שלכם יפנו אל החלון, מה יהיה מימינכם?"
"אם תסתובבו ומשמאלכם החלון, מה יהיה מאחוריכם?"
"אם תסתובבו ומאחוריכם הדלת, מה יהיה משמאלכם?" 
וכו'.

קבלת הוראות או מתן הוראות ל"טיול" אל מחוץ למרחב שבו נמצאים הילדים והמנחה

דוגמה: "לכו אל הדלת, צאו מהחדר, פנו ימינה, אחרי שלושה צעדים פנו שמאלה, שם מחכה לכם הפתעה."
או:
"שלחו אותי במילים לחדר המשחקים."
או:
"אני אומר לכם לאן ללכת, מההדרכה שלי עליכם לגלות לאן שלחתי אתכם."

הוראות כיצד לחזור מנקודה מרוחקת אל המרחב שבו נמצאים הילדים

לדוגמה: "אני ברחוב כשפניי לכיוון ____. הסבירו לי כיצד עליי לחזור הביתה."
"אני בחצר ופניי פונים אל הנדנדה. תנו לי הוראות כך שאדע מה עליי לעשות כדי לחזור אל החדר."

פעילויות נוספות

הוראות לילדים: "רשמו את שמכם על הדף משמאל למטה", או: "ציירו בפינה הימנית התחתונה של העמוד."
התרגול בהתמצאות במרחב חייב להמשך זמן רב ולהיות משולב בכל הפעילויות האחרות עם הילדים, רק לאחר שהילדים הפנימו את כל השלבים תורגש השפעתו כל תרגול זה לטווח ארוך.

המורה,



* הנוסח עובד מתוך המבוא לחוברות מתמטיקה יסודית לגיל הרך -- רוח הדברים והפעולות מבוססות על פעילויות בהעשרה אינסטרומנטלית בהתמצאות במרחב אשר למדתי מהמורה הוותיקה תלמה גביש ממייסדי העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכול ומלימודי העשרה אינסטרומנטלית שלי במכון פויירשטיין.

לייעוץ (בהתנדבות וללא תמורה) אפשר ליצור קשר עם המורה הוותיקה תלמה גביש בכתובת: thetalma@yahoo.com וכן עמי ב-shlomo.yona@gmail.com




מה בין ימין ושמאל ללימוד החשבון


מה  בין ימין ושמאל ללימוד החשבון?


הצלחת לימוד החשבון דורשת הכנה שכוללת תיווך למשמעות המספר ופיתוח כישורים של התמצאות במרחב.


תיווך למשמעות

החשבון שהילדים לומדים הוא חלק מעולם התוכן היומיומי של הילד.

אנו רוצים שהילדים יבינו לשם מה לומדים חשבון. על כן, עוד בטרם ילמדו חיבור וחיסור, כפל וחילוק עלינו לסייע להם לפתח את משמעות המספר ואת ההיבט הכמותי שלו. לשם כך, נבקש מהם, לספר על סביבתם, על אחיהם, על חבריהם, על החפצים שהביאו עמם, לתאר את החדר ועוד.

מטרת השיחה היא להראות לילדים שקיימת זיקה טבעית בין תוכן הסביבה (מה שרואים, מה ששומעים...) לבין כמות. למשל: "יש לי שולחן אחד ותיק אחד" או: "אני מכיר שני ילדים מהגן".

עבור הילדים שכבר יודעים למנות או לספור נציע להם למנות: כמה בתים יש ברחוב שבו אני גר? כמה שכנים יש לי? כמה שכנים גרים גרים בקומה שמעליי? כשנכנסים לרחוב שלי והולכים לביתי, כמה בתים אפשר לספור לפני הבית שלי? מה מספר הבית שלי? כמה חלונות יש בגן? מה מחירה של כיכר לחם? כמה עולה הגבינה למריחה? ועוד.

בדרך זאת לומדים הילדים לאסוף מידע, למיין אותו, לארגן ולהציג אותו במספרים. כך הם לומדים שהחשבון שזור בחייהם ובעולמם.

התמצאות במרחב
התמצאות במרחב

התמצאות במרחב היא היכולת לזהות צד וכיוון (ימין ושמאל, למעלה ולמטה, פנים ואחור, נקודת מוצא, כיוון הפעולה), לזהות מערכת יחסים בין עצמים בכיוונים שונים (למשל: יואב יושב לימיני ולשמאלו של עידן, תקרת החדר גבוהה מן הרצפה ונמוכה מתקרת האולם שבמבנה הסמוך, וכו'), ולמקם עצמים במרחב.

מה הקשר בין התמצאות במרחב במציאות לבין כישורים מתמטיים?

  • לכל ספרה יש מקום במספר ומקום זה מקנה לה את משמעותה (אחדות, עשרות, מאות, אלפים... ). היכולת להבחין במיקום השונה של הספרה 5 בשני המספרים הבאים: 65 ו-56 חיונית להבנת משמעותה (פעם אחת היא מייצגת אחדות ופעם אחרת היא מייצגת עשרות).
  • לכל מספר בפעולה חשבונית יש מקום, ומקום זה מקנה לו את משמעותו (מחובר -- סכום, כופל -- נכפל -- מכפלה, מחלק -- מחולק -- מנה): כאשר מחברים במאונך 5 ל-68, מחברים את האחדות עם האחדות, לכן ה-5 נכתב מתחת ל-8 ולא מתחת ל-6. תלמיד שמתקשה בהתמצאות במרחב יתקשה גם בכתיבת תרגיל שכזה ובפתרונו.
  • התמצאות במרחב מאפשרת זיהוי של כיוונים הפוכים (אם יצאתי מביתי והלכתי 100 צעדים ימינה וברצוני לשוב הביתה באותה הדרך, עליי ללכת את אותם 100 צעדים שמאלה). היכולת להבין פעולות חשבוניות הפוכות (חיבור -- חיסור, כפל -- חילוק) מבוססת על התמצאות תקינה במרחב.
  • כיווניות הכתיבה של הספרות -- תלמיד שמתקשה בהתמצאות במרחב עלול לכתוב את 1 בכיוון הלא נכון (כתב מראה). כל הספרות עלולות להיכתב באותו האופן.

מה אפשר לעשות כדי לשפר את ההתמצאות במרחב של הילדים?

כדי לשפר את ההתמצאות במרחב של הילדים חיוני לתרגל צדדים, כיוונים ומערכות יחסים בין עצמים במרחב. התרגול הכרחי למניעת בעיות אצל לקויי למידה שמתקשים בכתיבה.

ברשימה הבאה אפרט כיצד ללמד וכיצד לתרגל התמצאות במרחב לילדים. התרגול מדורג והאימון מתבצע בדרך של משחק יומיומי מתוך מטרה להגיע עד לשלבים האחרונים של התרגול בתקופה של כ-3 חודשים. אחרי השלמת כל שלבי התרגול, ממשיכים בתרגול לאורך השנה כולה עד לשליטה מלאה בכל השלבים.

תרגול שכזה תורם לכל מקצועות הלימוד, ולא בהכרח לחשבון בלבד. 

לתרגול הזה תרומה חשובה להעלאת כושר הריכוז של הילדים. ככל שמתקדמים בשלבים וככל שהילדים שולטים בתרגילים, אפשר וצריך לבצעם במהירות רבה יותר.


לפרטים איך לעבוד עם הילדים על התמצאות במרחב


  • בניית כישורי התמצאות במרחב לילדים
  • השלבים ההכרחיים לפיתוח התפיסה המרחבית

המורה,



לייעוץ (בהתנדבות וללא תמורה) אפשר  קשר עם המורה הוותיקה תלמה גביש בכתובת: thetalma@yahoo.com וכן אצלי ב-shlomo.yona@gmail.com


פעילות בכתה ג' בהתמצאות במרחב

תיאור שיעור עם פעילות בכתה ג' בהתמצאות במרחב

הרשימה הזאת מסכמת פעילות שהעברתי לילדי כתה ג' בהתמצאות במרחב. התמקדתי בצדדים: ימין, שמאל, פנים, אחור.

היום הזדמן לי להגיע לכתה ג בבית ספר יסודי כדי להעביר לילדים שיעור חווייתי. המחנכת מקפידה על קשר בין הורי התלמידים לתלמידי ומידי יום ו' מארחת את אחד ההורים שמפעיל את הילדים ומנסה להעביר מסר או רעיון שיהיה משהו משמעותי מעבר ל-רק כיף. אז היום הוזמנתי אני. רציתי להעביר לילדים שיעור על הזווית, כדי שיבינו באמת מה זאת זווית ומדוע מודדים אותה כפי שמודדים אותה, אבל  נודע לי שיש לי רק זמן קצר עם הילדים (כדי לעבוד באופן יסודי על הזווית כדאי סדר גודל של שעתיים ולא רק חצי שעה) אז חשבתי שמטרה מעשית היא לעבוד עם הילדים על הצדדים שלהם ושל הזולת.

ציפיתי שלחלק מהילדים יהיה בלבול או אי ידיעה של הימין ושל השמאל של עצמם, אבל שרוב הכתה תשלוט בכך. ציפיתי שלרוב התלמידים יהיה קושי להתייחס לצדדים בצורה נכונה כשהם מנקודת המבט של הזולת, זאת אומרת: מה הימין ומה השמאל של הזולת, ובפרט כאשר הזולת עומד כשפניו ממול.

את השיעור פתחתי בברכת שלום לילדים והצגתי את עצמי. הילדים ענו פה אחד: "בוקר טוב ומבורך". התפעלתי מקבלת הפנים היפה. אחת הילדות אמרה שהם הורגלו לענות באופן הזה ושמדובר בהרגל. אמרתי לילדים שזה הרגל מוצלח מאוד וסיפרתי להם שבדרכי מהבית לבית הספר לשיעור איתם התקרבתי לפועל ניקיון שהיה עסוק מאוד במטאטא ובפח ובשקיות ובאשפה על המדרכה שעליה צעדתי. הפועל היה נראה מכונס בעצמו ובעיסוקו. סיפרתי לילדים שהחלטתי לומר לו שלום כשהתקרבתי מאוד. שאלתי את הילדים מה לדעתם קרה. חלק חשבו שהוא יתעלם וחלק חשבו שיזעיף פנים. סיפרתי להם שהוא הרים ראשו ובפנים זורחות ומאירות בירך אותי בחזרה לשלום בחיוך רחב ובלבביות. זה היה נפלא.

בשלב הבא נשאתי עיניים לחלק העליון של הלוח שם היה רשום תאריך, אלא שהיה התאריך של אתמול רשום כך:
יום חמישי, טו' בכסלו התשע"ג, 29.11.2012
והנה שיחה עם הילדים:
מורה: "איזה יום היום?"
תלמידים: "היום יום שישי."
מורה: "ואיזה יום היה אתמול?" 
תלמידים: "יום חמישי."
מורה: "האם התאריך שכתוב על הלוח מתאים להיות התאריך של היום?"
תלמידים: "לא."
מורה: "נתקן ונעדכן את התאריך שעל הלוח להיות התאריך של היום." 
תלמידים: "נשנה את היום מיום חמישי ליום שישי"
מורה: "תודה. [מתקן] ואם אתמול היה ט"ו בכסלו אז מה יהיה התאריך העברי של היום?"
תלמידים: "היום זה ט"ז בכסלו"
מורה: "תודה. מדוע היום דוקא ט"ז?"
תלמידים: "כי ט"ז בא מייד אחרי ט"ו. ט"ז הוא העוקב של ט"ו, לפי הסדר הוא בא אחריו"
מורה: "תודה. [מתקן] ואם אתמול התאריך היה 29 בנובמבר, 2012, אז מה התאריך הלועזי היום?"
תלמידים: "היום יהיה ה-30. צריך לשנות את ה-29 ל-30."
מורה: "תודה. [מתקן]. -- עכשיו התאריך נכון. נסכם: את השינויים: החלפנו חמישי בשישי, ט"ו ב-ט"ז ו-29 ב-30, כי החלפנו כל מציין של יום (היום בשבוע, היום בחודש לפי התאריך העברי, והיום בחודש לפי התאריך הלועזי) במציין של היום שאחרי לפי העוקב המתאים."

בסופו של השיח ותהליך התיקון על הלוח היה כתוב התאריך באופן נכון שמתאים להיום:
יום שישי, ט"ז בכסלו התשע"ג, 30.11.2012
ואמרתי בקול: "יום שישי, ט"ז בכסלו, התשע"ג, 30 בנובמבר 2012" והכרזתי: "מצויין. עכשיו אפשר להתחיל!"

סיפרתי שבשיעור שלנו נעסוק בנושא שנדמה לנו שהוא קל מאוד אבל נגלה שהוא גם מבלבל אותנו מאוד ושתוך כדי הפעילות ננסה להבין מה קורה, להסביר באופן מדוייק ואפילו לנסח עיקרון. ישנן 4 מילים מרכזיות בשיעור שלנו:
ימין, שמאל, פנים, אחור
אלה הצדדים שלנו. שירטטתי על הלוח את השרטוט הבא וביקשתי מהילדים לנסות ולהסביר מה הם רואים ומה זה מזכיר להם:
בין התשובות היו:
  • חיצים
  • מזכיר תמרור
  • צומת
  • הצטלבות
לגבי התמרור הסברתי שתמרור לפעמים מורה לנו על הדרך האפשרית או על כיוון בעזרת חץ או חיצים, לפעמים מייצג הוראה. מכאן שהמילה תמרור מתאימה.

לגבי המילה צומת הסברתי שצומת היא מפגש בין שתי דרכים או יותר. הצטלבות היא מקרה פרטי של צומת כי בהצטלבות מדובר במפגש של שתי דרכים בצורת צלב. חשוב שהילדים ישיימו (יתנו שם): הצמדת השם קושרת למשמעות (וחשוב לעמוד על משמעויות המילים) ומסייעת באכסון בזכרון ובשליפה מהזכרון. מתן השמות גם מאפשר תקשורת ברורה בכתה ומבהיר על מה מדובר ובאיזו משמעות שלו מדובר.

רשמתי מתחת לחץ שמורה כלפי מטה "אחור" ופתחנו בדיון בכתה מה תהיינה מילים מתאימות לרשום בקצות שאר החיצים ומדוע. מהר מאוד התכנסנו לתמונה הבאה והסברנו שכך אנו מציגים את הצדדים שלנו ומנקודת מבטנו.

מאותו הרגע חילקתי את התלמידים בכיתה לפי מקומות הישיבה לשתי קבוצות. בחרתי שני רשמי נקודות שיגיעו ללוח ויבצעו את הרישום והגדרתי את החוקים:
  • אזמין מכל קבוצה נציגים (או תלמידה או תלמיד או יותר) שיצטרכו לבצע משימות שקשורות לצדדים
  • הקבוצה שאליה שייכים הנציגים מקבלת נקודות אם הביצוע מושלם. אחרת לא. אפשר לקבל בחזרה את הניקוד על ביצוע שאינו מושלם בתנאי שחברי הקבוצה מצליחים להצביע על השגיאה (או על השגיאות) ולהסביר אותה ולהסביר כיצד לתקן אותה. בונוס למי שמציע הצעה מדוע קרתה השגיאה.
  • בכל שלב דרגת הקושי עולה
המטלות בתחילה היו פשוטות: לגבי הצדדים של הנציגים והתייחסות לגוף שלהם (למשל: לגעת עם יד ימין בכתף ימין) ללא חציית קו האמצע, אח"כ עם חציית קו האמצע, אח"כ להצביע לפי הוראות על חלקים בגוף של נציג אחר, אח"כ אותו הדבר אבל מנקודת מבטו של הזולת שעומד מולם, אח"כ לתת הוראות לזולת מנקודת מבט עצמית, אח"כ לתת הוראות לזולת מנקודת מבט הזולת ולבסוף לתת הוראות (מותר רק: להסתובב לימין או לשמאל או לאחור ומותר לצעוד מספר צעדים נתון לכל אחד מהצדדים).

בפעילות עצמה יצא לתרגל את הצדדים שלנו ושל הזולת ונקודות מבט שונות וכן להתייחס לשמות של חלקים בגוף ולחשיבות של ניסוחים מפורשים ומדוייקים ושל הוראות ברורות.

תוך כדי הפעילויות ניסחנו כמה מסקנות, שחלקן מתייחסות לפעילות שלנו וחלקן מכלילות אף מעבר לכך:
  • הצדדים שלנו מסתובבים איתנו ותמיד ביחס אלינו
  • הצדדים של הזולת מסתובבים איתו ותמיד ביחס אליו
  • כשמורים לאחר הוראות תנועה יעיל יותר וטבעי יותר לתת אותן מנקודת מבטו של הזולת
  • כדי להיות מסוגלים להבין את הצדדים של הזולת וכיצד לכוון את הזולת מנקודת מבטו עלינו להעמיד עצמנו במקומו "בראש" (ז"א לדמיין את עצמינו במקומו)
  • מנקודת מבטו של הזולת רואים דברים אחרת
  • נקודות מבט שונות יכולות להביא להשקפה שונה
דיברנו על החשיבות של הכרת הצדדים ושל שימוש נכון שלהם בתנועה, בספורט בשפה ובחשבון ואפילו ציינו שבעוד שעברית כותבים מימין לשמאל את החשבון כותבים משמאל לימין (כיון הקריאה ככיוון הכתיבה).
אבל גם ציינו מקרים שבהם גם בחשבון אנחנו, מטעמי יעילות, פועלים דווקא מימין לשמאל, למשל בחיבור ובחיסור במאונך.

היה תענוג להיות בכיתה עם הילדים וניכר מהשתתפותם ומהתלהבותם שהם נהנים מהלמידה.

הזמן היה קצר ויש עוד רמות חשיבה ורמות תחכום וקושי נוספות שאפשר להגיע אליהן. [פרטים למטה למתעניינים בהעמקה]

תודה רבה למורה שנתנה לי את ההזדמנות לבצע את הפעילות עם הילדים ותודה לילדים החמודים והנפלאים ששיתפו פעולה  יפה כל כך.

שלמה יונה (אבא של סיון)


למתעניינים, קריאה נוספת, שבאמצעותה אפשר להבין יותר את המשמעות ואת המטרות של הפעילות:


הרישום לסדנת "מתמטיקה יסודית להורים" בעיצומו את הפרטים לגבי הסדנה אפשר למצוא באתר "מר חשבון". הסדנה עוסקת בנושאים שהורים מרגישים שקשה להם להסביר לילדים ועוסקת בעיקר ב-"מדוע ולמה" עושים דברים כפי שעושים בחשבון (מה זה כפל? מדוע חילוק ארוך עובד ועל מה מבוסס? מה המשמעות של שבר ואיך מתוך הבנה אפשר לפתור בקלות ובשיטתיות בעיות מילוליות, גם כאלה שמעולם לא למדנו לפתור) פחות נעסוק ב-איך (איך פותחים סוגריים, למשל). 
כיצד נרשמים לסדנה? בקלות! פשוט לוחצים על הקישור הזה וממלאים את טופס הרישום.


Thursday, November 29, 2012

גליונות "אתגר" מתמטי זמינים באינטרנט



אתגר - גליונות למתמטיקה הוא כתב עת שיצא לאור בישראל בשנים 1985-2001. הגליונות זמינים בחינם באינטרנט לכל דורש.


 http://imu.org.il/Education/Etgar/etgar.html


הנאה מובטחת לחובבי המתמטיקה!!

איזה יופי של מתנה.


Wednesday, November 14, 2012

איך ללמד קריאת שעון ילדים בגן חובה או בכתה א'?

איך ללמד קריאת שעון ילדים בגן חובה או בכתה א'?

כדי ללמד בהצלחה קריאת שעון מחוגים כדאי לוודא קודם כל שהילדים יודעים, מבינים ושולטים בנושאים הבאים (סבלנות, הרשימה ארוכה -- ראו כמה דברים אנחנו מניחים שהם יודעים ומבינים -- ולא כך היא):

מה כדאי מאוד שהילדים ידעו, יבינו ויפנימו וישלטו לפני שמתעסקים באופן רציני בשעון?
  • שווה ושונה
  • מנייה וספירה
  • סדר ורצף
  • קטן יותר; גדול יותר
  • הקטן ביותר; הגדול ביותר
  • קצר, ארוך
  • הקצר ביותר; הארוך ביותר
  • קריאה וכתיבה של ספרות
  • מספרים מונים וסודרים
  • סידור מספרים ברצף
  • ספירה לאחור מ-10 ל-0
  • רצף זמן: מה קודם ומה אח"כ
  • התאמת אירועים ליום או ללילה, בוקר, לילה, ביום, בלילה, שמש, ירח, בהיר, חשוך, מוקדם, מאוחר
  • זיהוי מספרים סודרים: ראשון, שני, שלישי...
  • למעלה, למטה, תנועה סיבובית
  • זיהוי עיגולים ותנועה מעגלית
  • מנייה בע"פ
  • ייצוג רצף בעזרת מספרים
  • הבחנה בין סדר עולה לבין סדר יורד
  • מספר כמייצג כמות מצטברת
  • הבחנה בין המספר כשם והמספר ככמות
  • הבחנה בין כמות, כיוון, צורה וצבע
  • הבחנה בין אחדות לאחדות בודדות
  • ארגון המספר לעשרות ולאחדות בודדות
  • העשרת השנייה
  • מנייה בע"פ
  • ייצוג גרפי מספרי ומילולי של המספרים עד 20
  • מנייה בתחום ה-20
  • זיהוי רבע וחצי (ומושגים של שלם וחלקיו...)
  • ספירת המשך
  • ספירה לאחור
  • חיבור וסיפורים חשבוניים של חיבור
  • חיסור וסיפורים חשבוניים של חיסור
  • לוח השעון
  • פעילויות בזמנים שונים
בד"כ הבשלות בגיל והאפשרות ללמוד, להבין ולהפנים את כל מה שקודם מגיעים בגן חובה, לפעמים בכתה א'. יש גם מקרים שקודם לכן, כמו שיש מקרים שמאוחר יותר. 

אני ממליץ מאוד לקיים עם הילדים פעילויות שונות ומשונות בשגרה ובמשחק ולציין להם כמה זמן עבר. למשל, כמה זמן (בערך) לוקח לנו לשיר שיר מסויים, כמה זמן (בערך) לוקח לנו ללכת ברגל מהבית למכולת, או לגן, או לחבר... למשל, מטיילים ברגל וברגע מסויים להפנות תשומת לב הילדים לעץ או מבנה ואחרי דקה לציין שעברה דקה מאז שעברנו את העץ או את המבנה. עכשיו נחזור בחזרה ונרגיש שוב כמה זאת דקה (בערך).

כמה זמן לוקח לצחצח שיניים?
כמה זמן לוקח לקרוא סיפור שאוהבים?
כמה זמן לוקח לשתות כוס מים מלאה?
כמה זמן אורכת תוכנית אהובה בטלוויזיה?
כמה זמן לוקח לסדר את החדר?
וכך הלאה -- ככל שיותר ויותר תביאו למודעות הילדים כמה זמן אורכת פעולה שהם מבצעים כך הם יפתחו תחושת זמן. חשוב לדבר על מה אורך יותר ומה אורך פחות זמן מבין הפעולות שאנחנו עושים? אפשר אפילו לדבר על מה מספיקים ועל מה לא מספיקים לעשות ב-5 דקות -- ואז לנסות.

לחובבי היצירה והפעילויות אפשר לנסות לבנות עם הילדים שעון חול, למשל משני בקבוקי שתייה ריקים. את הפתחים של הבקבוקים אפשר להצר עם פלסטלינה ובמרכזה קשית בעובי לפי הצורך. החול הזורם נותן לילדים את התחושה שהזמן עובר.

השעון

כשאנחנו מציינים בפני הילדים שעה מסויימת, אז להצביע לשעון מחוגים (שכדאי שיהיה בחדר, או שיהיה לנו דגם של שעון מחוגים שאפשר לסדר את המחוגים כך שיצביעו על השעה שאנחנו רוצים לדבר עליה) ולהראות כיצד נראה השעון שמורה על השעה הזאת.
ככל שנרבה לעשות זאת עם הזמן, הילדים יתרגלו למראה -- אין פה למידה מעמיקה של משמעות או הבנה -- רק חיקוי ושינוי, אבל זה הופך דבר חדש למשהו פחות זר ויותר מוכר ויסייע מאוחר יותר לשינון.

פעילות
דאגו שבחדר יהיה שעון מחוגים גדול ידני שניתן להזיז את מחוגיו ביד. כמו, למשל, זה שבתמונה, אף על פי שכל שעון מחוגים שניתן להזיז את המחוגים בקלות יתאים (חשוב שכל הספרות תהיינה על השעון):


אפשר בקלות לצייר שעון עם מחוגים, להכין מחוגים מרצועות נייר ולקבע צד אחד שלהם למרכז המעגל (השעון) בעזרת נעץ.

הראו את שעון המחוגים לילדים ושאלו שאלות כמו: "האם שני מחוגי השעון הם באותו האורך?" "האם שני המחוגים זזים כרגע?" "האם המחוגים משנים את מקומם?" "איזה מחוג זז מהר יותר, המחוג הקצר או המחוג הארוך?" בקשו מהילדים לקרוא את הספרות על לוח השעון והפנו את תשומת לבם לתזוזה בכיוון השעון. בקשו מהם להראות את הכיוון בעזרת האצבעות.

אפשר להכין דגם של שעון מחוגים ולתת לילדים להשלים את הספרות במקומן (עוזר לבדוק האם זוכרים ועוזר להפנים אם עדיין לא זוכרים). ילדים ששולטים בכתיבת ספרות ומבינים את הסדר ביניהן ככל הנראה לא יתקשו.

אפשר עכשיו לבקש מהילדים לצייר מחוג ארוך שמצביע על 12 ומחוג קצר שמצביע על 4. אמרו להם שהמחוג הארוך הוא מחוג הדקות ושהמחוג הקצר הוא מחוג השעות.

שאלו: "על איזה מספר מצביע מחוג הדקות?" "על איזה מספר מצביע מחוג השעות"" אמרו לילדים שבשעון הזה השעה היא 4 כי המחוג הקטן מצביע על 4 והמחוג הארוך מצביע על 12.

הראו לילדים שרושמים את השעה 4 כך: 4:00 (או 04:00). פרטו על התפקיד של סימן הנקודתיים כמפריד בין המספר שמציין את השעות לבין המספר שמציין את הדקות. לילדים שמתעניינים ושמכירים סימוני מחירים אפשר לספר שבמחיר מוצרים סימן הנקודה מפריד בין השקלים לבין האגורות. אפשר לחפש עוד דוגמאות שאנחנו מכירים עם הפרדה.

פעילות

במהלך היום, מידי יום, הסבו מעת לעת את תשומת לבם של הילדים לשעון המחוגים כשהוא מורה על שעה שלמה והביאו לתשומת לבם את השעה ואת הפעילות שהם עוסקים בה. זאת כדי לקשר בין השעה, בין המראה של שעון המחוגים באותה השעה לבין הפעילות האופיינית לאותה השעה. אפשר לעשות זאת עם הקימה בבוקר, עם ההתארגנות, בארוחת הבוקר, בהגעה לגן וכך הלאה... עד לשעת השינה. הקפידו בהתחלה להציג את השעה השלמה.

שוחחו עם הילדים על פעילויות שונות שמתרחשות בשעות שונות של היום, למשל בשעה 7 בבוקר קמים ובשמונה כבר מגיעים לגן, בשעה אחת בצהריים אוכלים וכו'... הצביעו מידי פעם על השעון המורה שעה שלמה והסבו את תשומת לב הילדים לעיסוקם בשעה הזאת.


 כשהילדים מתרגלים לכך אפשר לעבור למשהו קצת מופשט יותר, אבל עדיין מוחשי, לאותו הדבר אבל בתמונות (זוכרים? מתחילים במוחשי --> עוברים לציורי --> ורק בסוף בסוף למופשט):

איספו תמונות שבהם רואים דמות ילד שמבצע פעילויות שאופייניות לשעות מסויימות ביום: למשל, יקיצה מהשינה (חשוב שיהיו רמזים בתמונה, כמו שמש שזורחת, הילד שקם מהמיטה מפהק וכו'), הליכה לבית הספר או לגן עם התיק, ארוחת הבוקר, ארוחת הצהריים, ארוחת הערב, צפייה בתוכנית שבה צופים בשעה אופיינית, מקלחת, הכנה לשינה... וכך הלאה -- חשוב מאוד שהפעילוות שמצולמת בכל תמונה ותמונה תהיה מובהקת וברורה ושיהיו רמזים ברורים לגבי החלק ביום לרבות האם מואר או חשוך מבעד לחלון או בחוץ. אפשר לעשות מבצע ולצלם את הילדים שלכם בשלבים שונים ביום בפעילויות אופייניות לחלק ביום.

הנה כמה דוגמאות:



וכך הלאה. ליד כל תמונה שכזאת הכינו שעון מחוגים או דגם שעון מחוגים שמורה על השעה שאופיינית לפעילות:
למשל ליד היקיצה אפשר לכוון את השעון ל-שבע בבוקר. ליד ארוחת הצהריים, למשל, לכוון את השעון לשעה אחת. וכך הלאה.


עם התמונות והשעונים שהכנו בעמל רב, בקשו מהילדים להתבונן בתמונות. שאלו: "מה עושה הילד בתמונה העליונה?" "באיזו שעה הוא קם?" הראו את השעון שהכנתם ליד התמונה הזאת כשמחוגיו מורים על השעה של היקיצה, נאמר על השעה 07:00, ושאלו: "על מה מצביע  מחוג הדקות?" "על מה מצביע מחוג השעות?". שאלו שאלות דומות לגבי שאר התמונות שהכנתם. הזכירו לילדים ששעה שלמה רושמים עם נקודתיים ושני אפסים, למשל, 7:00. בקשו מהילדים לכתוב את השעה שמתאימה לכל תמונה ולכל שעון במקום מתאים שתכינו לצד התמונה והשעון.

פעילות

הציגו לילדים שעון מחוגים והראו בו את השעה 08:00. בקשו מהילדים לומר מה השעה. אמרו: "השעה שמונה בבוקר". בקשו מילד להציג מה הוא עושה בשעה הזאת בשבת או בחופשה ואז ביום רגיל בשגרה. אמרו: "עכשיו השעה שמונה בערב". בקשו מהילד להציג מה הוא בדרך כלל עושה בשעה זו. המשיכו בהצגת פעילויות בשעות אחרות ביום, למשל 10:00 בבוקר ו-10:00 בלילה, 04:00 לפנות בוקר ו-04:00 אחרי הצהריים ועוד.

אתם יכולים להכין לילדים עוד תמונות משעות שונות ביום שמציגות פעילות של ילד ולבקש להסיק באיזו שעה ביום מדובר, לפי הפעילות, ואז להראות את השעה הזאת בשעון מחוגים לילד, ואז לבחור תמונה אחרת ולהציג בשעון את השעה המתאימה והפעם אחרי שהילד מתאר מה הוא רואה בתמונה, מה מבין ומה החלק ביום המשוער, לבקש שיקרא מה מורה השעון שכיוונו, אח"כ שיכתוב את השעה כראוי (עם הנקודתיים ו-ה-אפס אפס, למשל, שמונה בבוקר: 8:00).

פעילות

הציגו לילדים שעון מחוגים ואמרו: "השעה ____". בקשו מאחד הילדים להזיז את מחוגי השעון כדי להראות את השעה האמורה. חזרו על הפעילות מספר פעמים.

חזרו לתמונות שהכנתם עם הפעילויות של הילדים במהלך היום (לא לחשוש לחפש באינטרנט תמונות, או לצלם בעצמכם את הילדים, או לגזור מירחונים או משבועונים -- חשוב לגוון וחשוב גם שהפעילות תהיה ברורה ושיהיו רמזים לשעה ביום או לחלק ביום שבו הפעילות מתרחשת). עודדו את הילדים לשוחח על הפעולות שהילד מבצע בתמונות ולומר את השעה ביום. לאחר מכן בקשו מהם לכתוב את השעה שמתאימה לשעה שמורה השעון שציירתם ליד כל תמונה ותמונה כדי להורות את השעה שמתאימה לפעילות.

פעילות

הציגו לילדים שעון מחוגים ידני. כוונו את השעון לשעה ארבע. אמרו לילדים שאתם תזיזו את מחוגי השעון עד שהשעון יראה את השעה חמש. הסבירו שהמחוג הארוך עושה סיבוב שלם ושהמחוג הקצר זז מ-ארבע ל-חמש. חזרו על התהליך, הזיזו את מחוגי השעון, עצרו בשעה ארבע וחצי והסבירו לילדים שהמחוג הארוך עשה חצי סיבוב והמחוג הקצר נמצא באמצע הדרך שבין ארבע לבין חמש. אמרו להם שהשעון מראה את השעה ארבע וחצי. הדגימו חצאי שעות  על השעון.

ציירו לילדים שעוני מחוגים שונים שמורים על חצאי שעות: למשל, על שלוש וחצי, על תשע וחצי וכך הלאה. תנו להם לצבוע אותם ולקשט. בקשו מהילדים לקרוא את השעה בכל שעון. הזכירו להם מהו כיוון השעון והראו להם שכאשר יש שעה ועוד חצי שעה נהוג לכתוב זאת כל, 8:30 ולומר: "השעה היא שמונה ושלושים" וגם "השעה היא שמונה וחצי" ושהכוונה היא אותה הכוונה. וכאשר יש שעה שלמה נהוג לכתוב אותה כך: 8:00.

פעילות

הראו את השעה שתיים בשעון מחוגים ובקשו מהילדים לקרוא את השעה. הסבירו שמחוג הדקות מתחיל ב-12 ועושה סיבוב שלם סביב השעון, עם כיוון השעון. שאלו: "אם אנחנו רוצים להזיז את מחוג הדקות רק חצי סיבוב סביב השעון איפה אנחנו צריכים לעצור?" (ב-שש). "איפה יהיה מחוג השעות?" (בחצי הדרך שבין שתיים לבין שלוש). אמרו: "השעה שתיים וחצי". כתבו: 2:30 ואמרו: "השעה היא שתיים ושלושים". השתמשו בשעון ההדגמה הידני ובקשו מהילדים לומר את השעה כאשר מכוונים את השעון לשעה ארבע, ארבע וחצי, חמש, חמש וחצי, שש, שש וחצי וכך הלאה. הסבו את תשומת לב הילדים למחצית של שעות שונות ולפעילויות שהם מבצעים בהן. לדוגמה: ב-10:30 מסיימים את ארוחת העשר.

ציירו לילדים שעוני מחוגים. ציירו מחוגים על כל אחד מהשעונים כך שיורה על מחצית שעה אחרת (חמש ושלושים, שמונה ושלושים וכו') תנו להם לצבוע ולקשט אותם. בקשו מהילדים להתבונן בכל שעון, לקרוא את השעה ולרשום אותה. למשל ,9:30.

פעילות

הכינו פעילות עם תמונות מצבים ממהלך היום ושעונים שמורים שעה מתאימה, והפעם בחצאי שעות. הכל אותו הדבר כמו בפעילות הדומה שעשינו אלא שהפעם השעונים שליד כל תמונה (אפשר לצייר) יורו מחציות שעה ולא שעות מלאות. בקשו מהילדים להתבונן בכל שעון, לקרוא את השעה ולרשום אותה במבנה, למשל, 10:30.

פעילות

הראו שמונה וחצי על שעון ההדגמה. בקשו מהילדים לתאר את מיקום מחוג הדקות ומחוג השעות. אחר כך אמרו מחצית שעות אחרות ובקשו מהילדים להראות את השעה על שעון ההדגמה. 

ציירו לילדים שעוני מחוגים. ציירו מחוגים על כל אחד מהשעונים כך שיורה על מחצית שעה אחרת (חמש ושלושים, שמונה ושלושים וכו') תנו להם לצבוע ולקשט אותם. בקשו מהילדים להתבונן בכל שעון, לקרוא את השעה ולרשום אותה. ואז בקשו מהם להצביע על השעון שמראה (למשל) אחת וחצי, ולתאר את מיקום מחוג הדקות ומחוג השעות. קשרו את השעות לפעילויות היומיומיות. הקפידו שירשמו את השעות בצורה המבוקשת, למשל, 8:30 או 8 וחצי.


על כל פעילות ופעילות ניתן לחזור שוב ושוב, אבל לא כדאי לדלג על הפעילויות -- אלא להמשיך רק אחרי שליטה.
אפשר תמיד לחזור שוב לפעילויות שעשינו ולגוון.

חשוב מאוד שלא להלחיץ את הילדים ולא להעיק. לשחרר כשרואים שהילדים לא בקטע. לשלב את זה בבילוי ובשגרה ולנסות מעט בכל יום במשך ימים ברציפות.

* ברשימה אחרת אפרט על התהליך הזה לילדים בכתה א' ובכיתות מאוחרות יותר.

המורה,


אני מעביר סדנאות להורים: כיצד לעזור לילדים לפתח חשיבה מתמטית ואוריינות מתמטית.
הנה פרטים על הסדנה להורים לילדים בגיל הגן: http://mrheshbon.blogspot.co.il/2012/11/blog-post.html



Monday, November 12, 2012

סדנאות ופעילויות לפיתוח חשיבה מתמטית בכפר יונה

סדנאות ופעילויות לפיתוח חשיבה מתמטית בכפר יונה

מיכל ואני אני מציעים מגוון סדנאות להורים ומגוון סדנאות וקורסים לילדים ולנוער. חלקן בתשלום וחלקן ללא תמורה ובהתנדבות מלאה:

בתשלום, להורים (בשעות הערב המאוחרות) במסגרת "מר חשבון: א"ב של אחת ושתיים"

בתשלום, לילדים ולנוער (אחרי שעות הלימודים בבית הספר ואחה"צ)
  • הסטוריה ושימושים במציאות של מתמטיקה שלומדים בתיכון -- מיועד לתיכוניסטים ולחובבי מתמטיקה מכל הגילאים
  • מפגשי הנחייה, הרחבה והעמקה, שיתוף פעולה ועזרה לתלמידים שבתוכניות של מכון ויצמן במדע בהתכתבות ובמתמטיקה בהתכתבות
  • פיתוח החשיבה ומשמעויות במתמטיקה -- לתלמידים החל מכתה ד' -- לפי רמות -- שילוב של העשרה אינסטרומנטלית ושל הוראת מתמטיקה יסודית: שני מפגשים שבועיים של 90 דקות: באחד עוסקים בכלים של העשרה אינסטרומנטלית ומפתחים את החשיבה ואסטרטגיות למידה ופתרון בעיות ובמפגש השני בכל שבוע עוסקים בתוכן מתמטי תוך כדי שימוש בכלים שנרכשו במפגשי ההעשרה.
  • קורסים לילדים ולנוער בנושאים ממוקדים: בעיות מילוליות, שברים ואחוזים, טכניקה אלגברית, גיאומטריה, פונקציות, הוכחות,... וכל נושא ותחום במתמטיקה שלומדים בבית הספר בכל הרמות -- קבוצות התלמידים לפי רמה.
בהתנדבות, להורים:
בהתנדבות, לילדים ולנוער:

ההיצע כולו אינו זמין כל הזמן, ומעת לעת יש אצלינו הזדמנויות מעניינות, אז צרו עמנו קשר לפרטים נוספים:
מיכל יונה: michal.yona@gmail.com 057-7326361
שלמה יונה: shlomo.yona@gmail.com 057-7326360