Shlomo Yona's Blog -- יומן הרשת של שלמה יונה

תמונות מיום ההולדת של אחותי ושל אימי

2012-01-29T21:18:00.002+02:00

תמונות מיום ההולדת של אחותי ושל אימי

הורים רוצים הוראת מתמטיקה ברמה גבוהה בכפר יונה

2012-01-26T10:05:00.000+02:00

הודעהחשובה להורי התלמידים בביה"סעמל, כפריונה

מתקשיםלעזור לילדיכם במתמטיקה?מדועישראל במקום ה – 41בעולםבמתמטיקה?

רוציםלתת לילדכםהזדמנות ללמוד,לחשובולהבין מתמטיקה?

חולמים עלילדים שאוהבים מתמטיקה וגם מצליחיםבמתמטיקה?

אלתחמיצו -רישמולכם ביומנים

ביוםראשון,5 בפברואר2012,בשעה20:30

במתנ"סכפר יונהיתקיים כנס הסברה

איך להצליחבמתמטיקה?

איך תלמידים במדינות אחרות כן מצליחים?
יש שיטה שכן עובדת, אפשר להצליח ולאהוב מתמטיקה
נקים מרכז לימוד וסיוע לתלמידים והורים ברוח השיטה
נפרוש סט כלים להורים שיהוו חלק מהפתרון
נביא דוגמאות להצלחת השיטה בעולם וגם בארץ

עלהפרק:

נציג קבוצת ההורים – החזון למרכז לימודים ישובי
פרופסור רון אהרוני – מתמטיקאי, מרצה מצטיין בטכניון, סופר(ביןספריו:"חשבוןלהורים")וממייסדיהעמותה

משה ריין – מדריך מורים, תלמידים והורים במתמטיקה וממייסדי העמותה
דיון פתוח בין באי הכנס למארגנים ולנציגי העמותה

הכנסהוא פרי יוזמתם של קבוצת הורים מביה"סעמל המקימים מרכז לימודי ברוח השיטה,בשיתוףובסיוע"העמותההישראלית לקידום החינוך המתמטי לכל"שחברויחדיו כדי להציע פתרון לתלמידי כלהכיתות,א'- ו'.

על אודות העמותההישראלית לקידום החינוך המתמטי לכל:

העמותההישראלית לקידום החינוך המתמטי לכל,הוקמהבשנת 2002על-ידיאנשי חינוך,מתמטיקאיםואנשי תעשיית ההיי-טקעל רקע הירידה המוכחת בהישגי התלמידיםבארץ בלימודי המתמטיקה. העמותהשמה לה למטרה לקדם את החינוך המתמטיבישראל.חבריהעמותה מאמינים שלימודי חשבון וגיאומטריהצריכים להיות פשוטים ומובנים לכל.העמותהפועלת ללא כוונת רווח,ופועליםבה בהתנדבות אנשי מקצוע רבים.

חינוך כהייטק

2012-01-17T07:03:00.000+02:00

אלי בסקין, ברשימתו "החינוך כהייטק" ב-מגאפון, תוהה מדוע שמערכת החינוך לא תנוהל כמו חברת הייטק.

כח אדם איכותי ישפר גם לדעתי את מערכת החינוך. שכר גבוה והולם בהחלט ימשוך יותר כח אדם שכזה למערכת החינוך. הכותב מעלה כמה נקודות מעניינות אך מתעלם מהדינמיקה של ניפוי תלמידים לכל בית ספר (קבלה על סמך תשלום גבוה או רף כניסה לימודי) -- שזה יפה וטוב לבית ספר פרטי אך פסול בבית ספר ציבורי. תוצאה של מציאות של זליגה של תלמידים שהוריהם בעלי יכולת ושל תלמידים בעלי יכולת לימודים טובה לבתי ספר פרטיים והשארת השאר למערכת הציבורית לא בהכרח תשפר את המערכת הציבורית גם בתנאים שעליהם חולם הכותב (מס חברות על בתי הספר הפרטיים ינותב למערכת החינוך הציבורית).

בעיות כח האדם והשכר הן מהותיות גם לדעתי.

יחד עם זה אני סבור שלו הכשרת המורים היתה רלוונטית ומכוונת ידע וכישורים וחשיבה ולא רק להספיק חומר למבחן (שאחריו המבול) אפשר היה לשפר את המערכת גם בתנאי השכר וכח האדם הנוכחיים.

http://megafon-news.co.il/asys/archives/10828

האם גרף חסר משמעות משמש להבעת דיעה במסווה של אובייטיביות?

2012-01-17T06:45:00.000+02:00

אני נהנה לקרוא את הרשימות ביומן הרשת "שקרים יפים". טענה מעניינת שהועלתה ברשימה "איך קוראים לגרף שלא מבוסס על מידע?" האם מידע שהוצג בגרף, גם אם ללא כל קשר בין פרטי המידע התפס בעיני הקורא למידע אובייקטיבי ולא כהבעת דיעה?
יש שלל בעיות באינפוגרפיקה וביניהן: עיוות שיפועים וחוסר משמעות לציר האנכי.

מכירות מחסן של ספרים

2012-01-12T14:38:00.001+02:00

עם עובד מוכרים ספרים מהמחסן במחירים שבין 10 ל-20 ש"ח לספר

בספריית המתמטיקה בטכניון נפטרים מספרים

הוראת המתמטיקה שלי בסופ"ש הזה

2012-01-07T21:30:00.000+02:00

מידי סופ"ש אני עמוס בהוראת מתמטיקה:

ביום שישי אחרי סיום הלימודים בבית הספר היסודי אני מלמד בהתנדבות בסדנת המתמטיקה בבית הספר עמל. הנה קישור לסיכום השיעור של יום שישי הזה.

משעות אחה"צ לימדתי אתמול את סיון (כתה ב') את מושג האורך, אומדן, מדידות ויחידות ואח"כ בערב את ניר (גן חובה) שאיתו ביחד סיימנו את העבודה על כל החומר במתמטיקה של הגן. השיא היה עבודה על כסף (זה נושא שאנחנו משחקים בו כבר שבועות רבים. בשבת בערב (בבוקר טיילנו בנחל אלכסנדר -- מזג האויר היה נפלא!) עבדתי עם אביב וסיימנו את החצי הראשון של חומר הלימודים של כתה ו' ופתחנו בחזרה מעמיקה על נושא השברים שוב.

עם ניר סיימתי לעבוד על כל החומר של הגן. מבחינתי הוא מוכן לכתה א'. התחלתי איתו באופן מסודר במתמטיקה של הגיל הרך כשהיה בן 3-4 לאט לאט. היום (בן 5) הוא שולט היטב ובטוח. בימים הקרובים אתחיל לעבוד איתו באופן מסודר על חומרים במתמטיקה של כתה א'. את הסדר אני משיג באמצעות עבודה עם חוברות הגן של "מתמטיקה יסודית" ומעת לעת אני מתייעץ עם תלמה גביש בנוגע לתוספות ולשינויים. זה במקביל לגישה האוריינית שממילא נהוגה אצלינו בבית. אני גם מדריך הורים מעת לעת בגישה האוריינית של חינוך מתמטי לגיל הרך ומחזיק יומן רשת בנושא בשם "סדנה להורים במתמטיקה יסודית לגיל הרך".

עם סיון במתמטיקה סיימנו חלק אחד מתוך ארבעה חלקים של חומר הלימוד במתמטיקה של כתה ב'. היא שולטת היטב ובטוחה בעצמה. הסוד הוא לא להתקדם עד שאין שליטה מלאה והפגנת הבנה. לדרג את הדברים המורכבים. להסביר הכול באופן מוחשי, אח"כ לתת מודל בציור ורק בסוף באופן מופשט. כל עניין שלומדים מקשרים לשפה, לחיים ומחפשים דוגמאות בבית ובסביבה. כך זה גם מהנה ומגוון ובכלל לא משעמם. סיון בילתה בסופ"ש בבית במדידות אורכים ובשקילה. נתתי לה מטלות שונות ומשונות לאמוד אורך, למדוד, להשוות, וכך גם במשקל. סיון התקדמה באופן משמעותי וניכר ופיתחה בטחון רב.

עם אביב סיימנו את העבודה על מחצית מהחומר של כתה ו' וברמה גבוהה מאוד. אביב שולט היטב. איננו רק פותרים תרגילים (שהפכו מסובכים למדי) -- זה רק חלק מהתהליך. העיסוק העיקרי הוא בקשר בין השפה למתמטיקה, להבחין בין משמעויות ולזהות דקויות, לנצל רמזי שפה ולסווג בעיות לסוגים שונים. בכל נושא יש לנו עבודה מוחשית, דגמים בתרשימים ואז עבודה רבה בהמצאת תרגילים ובעיות ופתירתן לפי סוגים שונים. במצב הזה, מפגש עם בעיה מילולית או ציורית (וקל וחומר "סתם" תרגיל) גם שלא פגש בהם מעולם הוא מפגש מסקרן, שמסתיים בפתרון נכון, בדרך יעילה ועם נימוק מלא ומרשים מדוע הפתרון כך. אביב, אגב, בכתה ה'.

עם אביב ועם סיון אני עובד (ומעתה גם עם ניר אעבוד) בספרי "מתמטיקה יסודית". אני משתמש במדריכים למורה שכתבה תלמה גביש ומתייעץ עמה באופן קבוע. הספרים משמשים לי לסדר ולתכנון. ההקנייה ברובה אינה בהכרח מתוך הספרים -- יש לי רעיונות משלי להקנייה שאני משתמש בהם מעת לעת ומשלב עם הספרים.

הספר יסודות הגיאומטריה של הילברט מ-1902 חופשי באינטרנט

2012-01-05T23:14:00.001+02:00

אפשר למצוא, להוריד, לקרוא, להשתמש ולהפיץ באופן חופשי ספר מעניין מאוד בשם יסודות הגיאומטריה. הגרסה האלקטרונית היא תרגום לאנגלית מהספר שנכתב במקור בגרמנית. את הספר כתב מתמטיקאי ידוע וחשוב בשם דויד הילברט. הספר ראה אור ב-1902. הגרסה האלקטרונית שוחררה ב-2005.

הקישור לספר:
http://www.gutenberg.org/files/17384/17384-pdf.pdf

תמונה קבוצתית מהאקאתון באאוטבריין -- Outbrain Hackathon group shots

2012-01-04T06:28:00.000+02:00

באאוטבריין יש לנו 3 ימי האקאתון. התחלקנו לצוותים לפי רצוננו ואנחנו מפתחים כל מיני רעיונות שלנו, כאשר המטרה היא להצליח להציג פיתוח משמעותי בתום 3 הימים. קיבלנו גם חולצה נחמד מאוד והנה כל הנוכחים במשרד מציגים את החולצה לראווה.

אני הצטרפתי לצוות של איתי רולניק, אלעד סלים לאלעד קאראקו. אנחנו מנסים לחזות CTR של המלצות תוכן על פי כותרות ההמלצות בשיטות של Machine Learning.

תמונות קבוצתיות מהאקאתון באאוטבריין -- Outbrain Hackathon group shots

איך לפצח הצפנות XML-Enc?

2012-01-01T08:08:00.001+02:00

לשבור את XML-Enc

לשבור את XML-Enc או איך לחשוף מידע מוצפן במסמכי XML

זמן קצר לאחר תחילת חגיגות השנה החדשה פורסם הגליון ה-28 של DigitalWhisper ובו גם מאמר שלי שבו אני מנסה להסביר כיצד אפשר לפצח צפנים ב-XML-Enc תוך כדי ניצול חולשה שאותה גילו והדגימו חוקרים מאוניברסיטת רוהר שבגרמניה. מדובר בליקוי מהותי בתקן XML-Enc של W3C. בתקן הזה משתמשים כדי להצפין מידע במסמכי XML. במשך שנים נחשבו המימושים של התקן לאמצעי יעיל בהגנה על מידע ששודר על ידי יישומים רבים במערכות מסחר אלקטרוני, מערכות רפואיות, מערכות פיננסיות, ממשלתיות ואפילו צבאיות. אולי השימוש הנפוץ ביותר של מימושים של התקן הוא בשידור מידע שקשור לעסקאות בכרטיסי אשראי.

איך עושים את זה? בעקבות חולשה קריפטוגרפית ב-CBC, שקיימת בכל אלגוריתם הצפנה מבוסס קידוד בלוקים, ניתן לבצע התקפת chosen-cyphertext אשר מחלצת את הטקסט שהוצפן (הסוד) מתוך הצופן.

הנה קישור למאמר ב-DigitalWhisper:

http://www.digitalwhisper.co.il/files/Zines/0x1C/DW28-4-Breaking-XML-Enc.pdf

אז מה אפשר לעשות כדי להתמודד עם החולשה כרגע?

החדשות הרעות: התקן כמו שהוא אינו ניתן לתיקון ללא שינוי מהותי שיגרור שינוי מהותי במימושים שלו. ההתקפה דורשת בממוצע 14 בקשות לכל בית מידע (byte) בטקסט שהוצפן ולמרות זאת היא מתבצעת במהירות, יחסית.

החדשות הטובות: ניתן לגלות את ההתקפה, במיוחד אם יש ניטור, בקרה ודיווח מידיים על כשלים ועל טעויות בניתוח מסמכי XML בעיבוד השכבות השונות של הפרוטוקולים ושל התקנים. אפשר לקנפג XML Firewall שידווח בזמן אמת ואפילו יחסום את המשך התקשורת. כמובן, שניתן לצמצם ככל הניתן את המשוב השלילי שחוזר ובכך לנטרל את ה-אורקל שמשרת את ההתקפה. כדוגמה, ה- F5 ASM עשוי אפילו שלא להשיב לבקשה שגרמה לטעות תחבירית ב-XML (ואין זה אפילו משנה אם זה כחלק מפענוח) וניסיונות נשנים יגרמו לחסימת שירותים (ואפילו לפעולות נוספות) הרבה לפני שיוכלו להתקיים מספר הניסיונות הדרושים לשם ההתקפה הזאת גם אם השירות שעליו מגן F5 ASM פגיע להתקפה.

לסיכום, ההתקפה יעילה מאוד בזמן ובחישוב ומתבקש לתקן את תקן XML-Enc כדי להתגבר עליה.

לשבור את XML-Enc או איך לחשוף מידע מוצפן במסמכי XML

אביב בנה רכבת הרים בקנקס

2011-12-31T13:41:00.000+02:00

אביב בחר מתנה שקיבל מאמי, מבנה של רכבת הרים מקנקס.
הוא בנה את הכול בתוך כשעה וזה עובד היטב.

מצב מסע הפרסום שלי באאוטבריין באתרי התוכן בעברית

2011-12-26T11:29:00.000+02:00

במסע הפרסום שלי באאוטבריין (גם אתם יכולים רק לגשת ל-self serve ב-Outbrain Amplify ולהתקדם) עם רשימות בנושאים של מתמטיקה יסודית יש כבר מעל 443000 צפיות.

המשמעות היא שמעל ל-443 אלף פעמים הופיעו באתרי תוכן בעברית המלצות על התכנים הללו.

הרשימה שעליה מקליקים הכי הרבה כדי לראות במלואה היא רשימה שבה אני מתאר כיצד עם סיון עבדנו כדי להמחיש לה את המבנה העשרוני. ברשימה יש גם סרטון שבו רואים את הבת שלי סיון מסבירה על איגוד לעשרת: http://shlomoyona.blogspot.com/2011/11/blog-post_19.html. היחס שבין מספר הופעות ההמלצה לבין מספר ההקלקות עליה עומד על 0.3% כרגע (תשאלו פרסומאים -- הם היו משלמים הון כדי לקבל יחס שכזה. פרסומאים באינטרנט מקבלים יחס שקטן בסדרי גודל מזה). במקום השני רשימה שמקשרת לכתבה של ינון מילס שבה הופיעו תלמה,גביש רון אהרוני ומשה ריין: http://shlomoyona.blogspot.com/2011/02/blog-post.html -- היא עם יחס של 0.23% כרגע.

במקום השלישי רשימה שלי על יחסים מבלבלים: http://shlomoyona.blogspot.com/2011/08/blog-post_25.html עם 0.19%.

עקומת באטמן

2011-12-26T10:43:00.003+02:00

אפשר לצייר את הלוגו של באטמן בעזרת ניסוח מתמטי. הנה דוגמה שאפשר לראות ולנסות בעצמנו באמצעות מנוע Wolfram alpha. אז הנה עקומת באטמן. התיאור במנוע של וולפרם הוא באמצעות המילה equation, משוואה, שלדעתי היא שגוייה בהקשר שכן, אין כאן משוואה אלא מערכת אילוצים ואולי הביטוי המתאים הוא "עקומת באטמן".

האמצעי הוא לתאר מערכת של אי שיוויונות כזאת שהלוגו מתקבל מתוך השטח שכלוא בין העקומים הנוצרים.

המתמטיקה שצריך לדעת כדי להצליח לעשות את זה היא מתמטיקה תיכונית. די להכיר פונקצית שורש, חזקה, ערך מוחלט וכמובן שברים ואי שיוויונות בשני משתנים.

באופן דומה ניתן לשרטט דמויות אחרות. אם עולים לשלושה משתנים אפשר גם ליצור גופים במרחב.

לימוד R באאוטבריין

2011-12-25T07:25:00.001+02:00

היום מקדישים את יום העבודה באאוטבריין ללימוד עצמי. כל אחד בוחר לו נושא ועניין ללימוד עצמי. אני בחרתי להתמקד וללמוד את הסביבה ואת השימוש ב-R לטובת מחקר ויישומים ב-Machine Leraning בכלל ומעל Hadoop בפרט. שאר חברי צוות האלגוריתמים באאוטבריין ילמדו על Mahout, אז אני קצת הולך כנגד הזרם, אבל משער שאין לי מה להפסיד, כי גם אם אשאר בדעת מיעוט אז ארוויח מלימוד שתי המערכות.

אני חושב שמתישהו אני צריך לבדוק מה זה hadoop streaming ולנסות ולראות איך אני עובד עם זה עם Perl Data Language.

את הרוח הגבית ללימוד R קיבלתי מעצה של רני נלקן, מעצה של איתי הוכמן ומטל גלילי, כמובן.

עבודות קרמיקה של סיון ושל אביב

2011-12-25T07:07:00.001+02:00

בתמונה אפשר לראות כמה מעבודות הקרמיקה שסיון ושאביב הכינו בשבועות האחרונים.

הרצאות פופולריות על מתמטיקה בחיפה בחנוכה

2011-12-21T08:36:00.001+02:00

הרצאות פופולריות על מתמטיקה בחיפה בחנוכה

‫סדרת הרצאות במסגרת התערוכה‬
‫מתמטיקאים יהודיים במרחב הדובר גרמנית‬

http://ymath.haifa.ac.il/images/stories/hitpathut/popularmath-2011.pdf

פרופ"ח משה ברו‬ך
‫הפקולטה למתמטיקה, הטכניו‬ן
‫‫מספרי קונגרואנטים ועקומים אליפטיי‬ם
‫‪Congruent numbers and elliptic curves‬‬

‫פרופ' רון אהרוני
הפקולטה למתמטיקה, הטכניון‬
‫המהפכה הקופרניקאית של אלן טיורינג‬
‫‪The fourth Copernican Revolution‬‬

‫
פרופ' דוד בלנק‬
החוג למתמטיקה, אוניברסיטת חיפה‬
‫הגיאומטריה של האר‬ץ
‫‪The Geometry of the Earth‬‬
‫

‫שר המדע‬
‫פרופ' דניאל הרשקובי‬ץ
‫הפקולטה למתמטיקה, הטכניו‬ן
‫על נחשים , עכברים ויציבות מתמטית‬
‫‪On Snakes, Mice and Mathematical Stability‬‬

‫החוג למתמטיקה, אוניברסיטת חיפה‬
‫ד"ר אלי ברגר‬
‫תורת הגרפים בשירות משרדי שידוכים‬
‫‪Graph Theory in aid of Matchmaking‬‬

מכירת מחסן בסטימצקי

2011-12-20T16:24:00.003+02:00

בסטימצקי מנקים מחסנים בחנוכה.
מכירות מחסן.
21-28 בדצמבר בין 10:00 ל-20:00 ובימי שישי עד 14:30.

פונקציות מתמטיות ומנועי חיפוש

2011-12-08T07:32:00.001+02:00

עדי אבידור כתב פוסט שבו הוא מספר על יכולת חדשה של מנוע החיפוש של גוגל. מדובר על היכולת להכניס בתור שאילתה ניסוח של פונקציה מתמטית. גוגל בתמורה יחזיר תרשים ובו גרף הפונקציה. אפשר להרכיב פונקציות ואפשר לשרטט כמה שונות על אותה מערכת צירים (הן תבדלנה זו מזו בצבע הגרף).

יכולות כאלה ואפילו יכולות מתקדמות יותר יש למנוע החיפוש wolfram alphs אשר גם מאפשר לפתור משוואות, לראות את הדרך באופן סימבולי, לקבל הגדרות וגן מידע ויכולות מניפולציה על המידע מתוך מאגרי נתונים אזרחיים בעולם.

הנה הפלט של גוגל לשאיתה שבה יש מספר פונקציות לשרטוט על אותה מערכת צירים. להשוואה הנה הפלט של wolfram alpha לשאילתה זהה.

מעניין שגוגל מחזירים תשובה מיידית עבור הפונקציה הזאת, ואילו wolfram alpha נדרשים לזמן עיבוד ארוך של מספר דקות ומספקים את התוצאה הזאת בעבור אותה הפונקציה.

ואני עדיין מחכה ליכולת לכתוב טקסט פשוט, באיזושהי מטה-שפה, כמו למשל, LaTeX, בתוך קוד HTML או במערכת כמו blogger כדי להיות מסוגל לכתוב רשימות שבהן יש מתמטיקה, מבלי להזדקק להפוך את המתמטיקה לתמונות ולשלבן בטקסט, כי השיטה עם התמונות מסורבלת, קשה לעריכה ולשינוי ואינה מאפשרת חיפוש.

אפשר לעזור לילדים לפתח את החשיבה המתמטית כבר מהגיל הרך

2011-12-07T07:26:00.001+02:00

הורים, רוצים להבין כיצד אתם יכולים לפתח את החשיבה של ילדיכם? למה מתכוונים כשמדברים על חינוך מתמטי לגיל הרך?

תשובות לשאלות הללו ועוד בסדנת מתמטיקה יסודית לגיל הרך ששלמה יונה (זה אני!) מעביר.

הסדנה שערכתי בגן נעים בכפר יונה היתה מוצלחת מאוד (נסו לדמיין כ-20 הורים עייפים אחרי יום עבודה והשכבת הילדים לישון יושבים על כסאות קטנים של הגן ונשארים מרצונם ומיוזמתם עוד שעה נוספת מעבר לשעתיים כדי לשאול עוד ולקבל תשובות והצעות כיצד לפעול עם הילדים ומדוע זה מועיל).

עסקנו בלימוד על ידי חיקוי ובדוגמה אישית, עסקנו באוריינות בעת משחק בעת נסיעה בעת התמודדות עם משבר ועם בעיות ועוד.

נתתי להורים סקירה של בעיות בחינוך המתמטי שלנו בישראל ומה אנחנו ההורים יכולים לעשות כדי לקדם את ילדינו גם אם המערכת בעצמה לא תשתנה ולא תשתפר.

הדיון לא היה אקדמי, אלא בגובה העיניים. על כל בעיה שהעליתי אני או שהעלה אחד ההורים ניסיתי להסביר את הבעיה, מה הפתרון ומדוע הוא מועיל ואז נתתי עצות מעשיות שכל הורה יכול לבצע גם ללא השכלה או מיומנות מיוחדת כיצד להתמודד.

הסדנה הבאה תתקיים ביום חמישי ב-21:00 בבית משפחת לויסון בהוד השרון. אני מציין שאת הסדנאות הללו אני מעביר בהתנדבות מלאה וללא תמורה.

למתעניינים, אפשר לקרוא חומר רלוונטי בנושאים שקשורים לחינוך מתמטי לגיל הרך ביומן רשת שפתחתי בשם "סדנה להורים במתמטיקה יסודית לגיל הרך" -- אני מוסיף לשם מעת לעת חומרים נוספים ואשמח להתייחס לשאלות הורים ולפרסם תשובה והסברים בפירוט.

כמה שאלות ותשובות על אודות הגישה ועל אודות הסדנה:

מה זה בכלל חינוך מתמטי לגיל הרך? שאלות ותשובות

מה הציפיות מחינוך מתמטי בגן ובבית?

וכמובן, ההזמנה לסדנה הקרובה:

הזמנה לסדנה

ביום ה', 15 בדצמבר 2011, בשעה 21:00 תתקיים בהוד השרון סדנה להורים:

כיצד נפתח את החשיבה לילדינו?

מתמטיקה יסודית לגיל הרך

הסדנה מיועדת להורים ולצוות הגן. אפשר וכדאי להגיע שני בני הזוג ביחד ואפשר להזמין הורים אחרים גם כן. משך הסדנה כשעתיים. המקום: בית משפחת לויסון, רחוב מזל עקרב, מול מספר 16, הוד השרון.

האם צריך קורס הכנה לכיתה א'? ומה עם מילוי חוברות? מה מצופה מהילדים? מה חסר? איך אנחנו ההורים יכולים בזמן האיכות המועט שיש לנו עם הילדים לפתח אצלם שפה מתמטית, חשיבה כמותית וכיצד כל אלה אינם עומדים בסתירה ללמידה תוך כדי משחק והתנסות מוחשית.

מתמטיקה היא מיומנות בסיסית, והיא חלק מפיתוח שפת האם. ככל שנפתח את החשיבה המתמטית בדרך משמעותית ועשירה, כך יגדלו ילדינו ויידעו להתמודד בכבוד עם מקצועות העתיד הדורשים תובנה מתמטית. התחרות שנוצרה בכלכלה העולמית שינתה את כללי המשחק. בעתיד יחזיקו מעמד החזקים, המשכילים והיצירתיים. כבר עתה רואים שרבים משנים את מקצועם מספר פעמים במהלך חייהם וחוזים שמגמה זו תתעצם בעתיד. ליכולות המתמטיות תפקיד מרכזי בהתפתחות המקצועית של הבוגר, כי הן הבסיס להתפתחות מדעית וכלכלית של הפרט ושל החברה.

בנייה שיטתית של חשיבה כמותית, הקניית עקרונות, ניסוחם והשימוש בהם תורמים לפיתוח החשיבה בכלל, והחשיבה המתמטית בפרט. פיתוח החשיבה הוא תהליך שנבנה בשלבים. תוך כדי פעילות עוסקים ילדים צעירים במיון חפצים, בהשוואה בין גדלים שונים, בפיתוח היכולת להכליל, בארגון כמויות, בארגון ובסידור תופעות שנתונות במרחב ובזמן.

מתוך ניסיון רב שנים בפיתוח תכניות לגיל הרך ולבתי הספר למדנו* כי כאשר הדרך לחשיבה מדעית נחסמת בגיל הרך ובשנים הראשונות של בית הספר היסודי, קשה מאוד, ולעתים בלתי אפשרי, לתקן זאת בעתיד. אימון בבסיסי השפה ובפעילות מאורגנת ומטפחת ירחיב ברבות הימים את אפשרויות הבחירה של תחומים שבהם ירצו ילדינו לעסוק.

מטרתה של הגישה שאציג בפניכם להכין את הילדים לקראת לימודי ההמשך. ילדים שמגיעים מוכנים לבית הספר נהנים יותר מהלימודים, מפיקים מהם תועלת רבה יותר ומפתחים גישה חיובית ללימוד בכלל. ילדים כאלה גם יודעים לשאול את השאלות הנכונות ולדרוש תשובות מתאימות כשהם מזהים שהסבר לקוי. תלמידים כאלה הופכים להיות לומדים יותר ויותר יעילים ויותר עצמאיים כך שיוכלו להתמודד בהצלחה גם עם פתרון בעיות שמעולם לא ראו ועליהם מעולם לא למדו.

בין הנושאים נדבר על: חרדת המתמטיקה: גורמים, מניעה והתמודדות; מילוי הוראות;שיטתיות; חשיבות מילים וניסוחים; הבנת מושגים; למידה תוך כדי התנסות; הקניית מבני חשיבה

הורים שמעוניינים מוזמנים לשלוח אליי בדוא"ל שאלות מראש שמעסיקות אותם ושירצו שאתייחס אליהן בסדנה. גם במהלך הסדנה אהיה פתוח לקבל שאלות שעליהן אענה בשמחה.

שלמה יונה – shlomo.yona@gmail.com

* העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכול (www.ifma.org.il)

איך ללמד את הילדים לאחוז נכון כלי כתיבה ולכתוב נכון ספרות?

2011-12-01T08:43:00.001+02:00

כתיבת ספרות

יש ילדים בגיל הרך שמתקשים בכתיבת הספרות. הכלל, שאין ללחוץ על הילדים נכון גם לעניין זה. עם זאת, אין לוותר על הקנייה נכונה של כתיבת הספרות. יש להרבות בתרגול כתיבת הספרות על דפים חלקים או על גבי דפים שמשובצים במשבצות גדולות. לעתים נדרש תרגול נוסף של ספרות מסוימות, למשל הספרה 8, אפשר להקל על המתקשים ולהנחות אותם להתחיל בחלק המוכר -- תחילת הכתיבה של הספרה 2.

אנו ההורים יכולים להנחות את הילד באופן הבא: "עכשיו נעגל את הקו התחתון של 2 ונחזור אל תחילת ה-2." יש להתאמן עם הילדים עד שידעו לכתוב את הספרות בשלמותן.

מדוע כתיבת ספרות באופן הנכון חשובה כל כך?

אחיזת עיפרון

כאן יש אוסף רב של נימוקים שמחזקים אלה את אלה:

1. חשוב לכתוב כמו שכותבים בכל העולם.

2. כתיבה ברורה ומדויקת של הספרות מבטיחה בהירות בתקשורת. אם אנחנו כותבים טקסט מילולי ויש בו מילה אחת שאינה ברורה, אז אפשר בדרך כלל להבינה על פי ההקשר. במספרים אין זה כך. כל ספרה עומדת בפני עצמה ולעתים טעות בקריאתה עלולה לגרום לטעויות ולאי-הבנה. למשל, כתיבת 5 ברצף אחד עלולה להפוך במרוצת הזמן לדמוי S. בעת שילוב 5 שכזה

בטקסט באותיות לטיניות עלולה להיווצר הטעייה. הנה כמה דוגמאות לכתיבה לא נכונה של ספרות, כפי שכותבים ילדים, שעלולה לפגוע בהבנה:

3. ההקניה משפיעה על שליטה בתהליכים מוטוריים עתידיים, למשל, כתיבת אותיות בעברית ובשפות זרות.

4. כתיבה נכונה של הספרות תורמת תרומה חשובה לשיפור הכישורים המוטוריים ולפיתוח קשר עין-יש, החשוב כל כך.

5. ליווי בלימוד בהסברים מקנה מושגים מרחביים ומפתח את כושר הריכוז.

6. בתום התהליך נהנים הילדים מתחושת שליטה בפעולות מקובלות ומסוגלות לבצען כהלכה.

החזקת העיפרון

אחיזת עיפרון נכונה ביד ימין

החזקה נכונה של עיפרון מפתחת את הכישורים המוטוריים העדינים ואת הקשר עין-יד, החיוני לביצוע פעילויות רבות. החזקה שכזאת מקלה על הכתיבה במיוחד כאשר הכתיבה היא רבה ומהירה. שלבי הלימוד:

1. החזיקו את העיפרון קרוב לקצהו בעזרת האגודל והאצבע.

2. קפלו את 3 האצבעות הנותרות כך שישמשו בסיס להנחת העיפרון.

3. קרבו בעזרת האצבע והאגודל את העיפרון, כך שהוא ינוח על 3 האצבעות הקמוצות. העיפרון אחוז על ידי האצבע והאגודל, ונשען על יתר האצבעות. באופן זה נוצרת אחיזה יציבה, המבטיחה כתיבה יעילה ושליטה בתנועתיות של היד בפעילויות מוטוריות עדינות.

זיהוי וכתיבת ספרות – שיתוף פעולה אקטיבי בין המוח לחלקי הגוף

אחיזת עיפרון נכונה ביד שמאל

יש להבחין בין מספר תהליכים שבונים את הקניית הספרות:

א. הבנת המשמעות של כמות

ב. זיהוי הספרות וההבנה מה הן מייצגות

ג. כתיבת הספרות

שלושת התהליכים האלה מחייבים שיתוף פעולה אקטיבי בין המוח לבין חלקי הגוף השונים. הפעלתם מפתחת את תפקוד המוח המפקח עליהם ובונה את הקשר בין הפונקציות השונות של החשיבה ושל המוטוריקה.

החל מגיל צעיר מאוד ובאופן אינטואיטיבי, ילדים מונים, משווים כמויות, מוסיפים ומחסרים, מחלקים לחצאים ולפעמים לרבעים, עורכים התאמה חד חד-ערכית, מבינים מהי קבוצה חלקית וקבוצה כוללת, מסוגלים לפרש תמונה על כל מרכיביה ולחבר לה סיפור. ילדים בגיל צעיר גם יודעים להסביר מהו אפס.

ילדים יכולים לזהות ספרות ואפילו להבין שהן מייצגות כמויות.

כאשר הילדים מתבקשים לרשום את הספרות, הם מגלים לא אחת קשיים הנובעים מחוסר בשלות בהתפתחות הקשר עין-יד המותנה בשיתוף המוח ושרירי הגוף ומודעות של שרירי הגוף המשתתפים בכתיבה תקנית של ספרות.

פעילות כתיבת הספרות מעמיקה את הקשרים בין המוח לשאר חלקי הגוף כאשר היא מלווה בהקניית מושגים לשוניים.

בעת הלימוד של כתיבת ספרות חשוב להתייחס לקווים ישרים, עקומים ואלכסונים, קווים ארוכים וקצרים, קווים סגורים ופתוחים. רצוי להשתמש במושגים הללו בעת ההסבר, ההדגמה והכתיבה עצמה של הספרות.

במשחקי הכתיבה של ספרות יש להפעיל את כל הגוף, ליצור קשר בין הפעילויות המוטוריות האלה למושגים המוקנים לילדים, ולשלב פעילויות אלו תוך כדי מתן הוראות וביצוען.

הפעלת כל המערכות האלה והתיאום ביניהן נעשית באמצעות המוח ותורמת להתפתחותו הגוף והמוח כאחד.

ילדים שאינם בשלים עדיין לאחוז בכלי כתיבה (למשל בגיל 3) יכולים ליצור את הספרות מבצק משחק ואפשר לעבוד עמם על יצירת "נקניקיות" מהבצק ועיצובן בכיוון הנכון, מלמעלה למטה, לספרות.

נשתמש במושג נקודת מוצא כדי לפתח כתיבה תקנית. לדוגמה: מוצא הספרה 6 הוא למעלה, אבל היא מעוקלת מטבעה לצד שמאל. הספרה 2 מתחילה בראש זקוף, פונה עם כל הגוף ימינה, פונה שמאלה וכך הלאה.

בדרך זו אפשר לבצע התעמלות בוקר במסגרתה הילדים יוצרים מספרים בעזרת הגוף, ובמוח מתקיימת הטבעה של צורת הספרה ואופן כתיבתה.

פעילות עם כל הגוף תקדים את פעולת הכתיבה עם כף היד. פעילות כתיבה בכף יד תתחיל בכתיבה באוויר, במים, בחול על לוחות גדולים, עם כל כף היד, עם שלוש אצבעות ושתי אצבעות. חשוב לכתוב ספרות גדולות, ושהילדים ירגישו שהיד אינה מנותקת מהגוף ושכל מארג השרירים משתתף בתהליך.

כמה הצעות להורים כדוגמאות:

כתבו את הספרה 2 באוויר וזהו אילו אברים משתתפים בתהליך.
נסו לזהות אילו שרירים משתתפים בכתיבת הספרה 8 (זו הסיבה מדוע קשה להעתיק את הספרה 8). חיוני להבין את המושגים הבאים: נקודת מוצא, פנייה, צד ימין ו-צד שמאל, קו אנכי, קו עקום סגור, קו מעוקל.

הכתיבה על נייר מייצגת אותן הטבעות שנעשו במוח בעזרת הגוף ובתנועות גדולות. בתהליך הכתיבה על נייר יש להתייחס גם לצורת אחיזת העיפרון או הצבע, ולכן יש להקדים לאימון זה פעולות ומשחקים גופניים רבים. הפעלת הגוף כולו חשובה במיוחד בתקופתנו בה הילדים אינם פעילים די הצורך ברמה המוטורית. הפעלה כללית של כל הגוף ושל חלקים נרחבים של המוח מסייעת במניעת כישלונות בכתיבת ספרות ומבטיחה כתיבה ברורה ותקשורת נאותה. מניסיוננו, ילדים שלא למדו כתיבה תקנית בגיל הגן, מתקשים לשנות את דרך כתיבתם, כי במוחם הוטבעה הכתיבה המשובשת.

כיצד מציגים את דרך כתיבת הספרות בד בבד עם התייחסות לצורת הקווים בתמונות ולכמות המוצגת? לדוגמה, אונייה אחת (1) , שני חתולים עם עניבות (2), שלושה בלונים עגולים (3) וכך הלאה. אפשרי לילדים להתנסות תוך כדי מתן הסבר על נקודת המוצא לכתיבת הספרה ומרכיביה.

[כמובן שיש ללוות את זה בתמונות ואפילו רצוי יותר בעצמים מתאימים: אוניית צעצוע אחת, שתי בובות חתול עם עניבה, שלושה בלונים... -- אין זה משנה מהם החפצים ואפילו רצוי לגוון בהם בין הדוגמאות כדי שלא ליצור קיבעון].

פעילות גופנית המדמיינת ספרה , מקדמת זיהוי וכתיבה נכונה של ספרות, מונעת ניוון של השרירים ומפתחת את המוח.

הנה דוגמה להנחיה לגננת ובאותו האופן להורים:

כיצד לכתוב את הספרות?

הספרה 2:

הבא נבחן דוגמה לפיתוח המודעות של הילדים לזיהוי סוג הקו הבונה את הספרה 2.

הילדים יתמקדו בקו היוצר את העניבה, ואת הקשר הכמותי אליה.

השיחה עם הילדים תתייחס למבנה הספרה (קו עקום).

הצעה לפעילות:

עברו עם האצבע על העניבה של כל אחד מהחתולים
מה הרגשתם?
האם התחושה דומה?
כמה חתולים יש בתמונה?
מה ההבדל בין החתולים?
שימו לב לנקודת המוצא של הספרה

זוהי הזדמנות טובה לדבר על מקומו של ה-2 ברצף הספרות: בין 1 לבין 3. 2 הוא מספר זוגי ולכן ניתן לומר שבתמונה יש זוג חתולים.

נבקש מהילדים לספר סיפורים על חתולים.

נקפיד על התפתחות השפה: חתול אחד, חתול שני, שני חתולים, חתול אחד ועוד חתול הם שני חתולים וכו'.

מתוך חוברת מתמטיקה יסודית לגיל הרך, חוברת 2, עמוד 9

והנה דוגמה לעבודה על הספרה 8:

נמחיז בעזרת 8 ילדים ו-8 כדורים מצב שבו ישנו קשר בין חתולים לבין כדורים. נדגיש את הדמיון ואת השוני שבין החתולים השונים ואף בין צבעי הכדורים.

בעבודה עם התמונה הזאת (ראו למטה) מסבירים את הקשר שבין הספרה לבין כמות.

בתמונה יש 8 חתולים. אפשר לבחור אחד מהם ולתאר אותו ביחס לתנועה שלו, וביחס לכדור. נשאל את הילדים במה שונים החתולים זה מזה מבחינת הצבע, התנועה והמגע עם הכדור.

אפשר למצוא את הקשר בין העיגול, כמדמה כדור, לבין מרכיבי הספרה 8.

נשאל שאלות מנחות כגון:

כמה כדורים יש לכל אחד מהחתולים?
כמה כדורים יש בסך הכול בתמונה?

נדגיש את ההתאמה שבין הכדורים לבין החתולים: לכל חתול יש כדור אחד.

נפנה את תשומת לב הילדים לחיצים שעל גבי הספרה 8:

לאיזה כיוון פונים החיצים?
מהי נקודת המוצא? היכן היא?

נבקש מהילדים להשתמש בכל חלקי היד כדי "לכתוב" את הספרה.

הסיפור המתמטי יתייחס למספר נושאים:

חיבור של כל החתולים: ...1+1+1
הבדלים בצבעים ובתנועה של החתולים
כיצד החתולים מזיזים את הכדורים?

נבקש מהילדים לצבוע את הכדורים בצבעים שונים ולאחר מכן נבקש מהילדים לבנות סיפור חשבוני ביחד איתנו:

כמה כדורים צהובים יש? כמה אדומים?

כל פריט בקבוצה הוא חלק אחד מהקבוצה השלימה.

מתוך חוברת מתמטיקה יסודית לגיל הרך, מספר 2 עמוד 19

באופן דומה אפשר לעבור על הספרות כולן.

האפס

את האפס כדאי ללמד לאחר שהילדים למדו כבר כמה מספרים.

משחק: מניחים על השולחן מספר בקבוקים. מבקשים מילד למנות אותם ולהסיר מן השולחן בקבוק אחרי בקבוק תוך מניית הבקבוקים הנותרים בכל פעם. לבסוף לא יוותרו בקבוקים על השולחן.

נשאל: כמה בקבוקים יש על השולחן?

תשובה: אפס

שאלה: כמה ילדים יש פה? (נצביע על מקום שבו אין ילד שיושב)

תשובה: אפס

שאלה: כמה פילים יש בחדר?

תשובה: אפס

שאלה: אני מניח על הרצפה בובה. כמה בובות הנחתי על הרצפה?

תשובה: בובה אחת.

שאלה: עתה אתן את הבובה ל____. כמה בובות יש עתה על הרצפה?

תשובה: אפס

שאלה: על הרצפה הנחתי 5 תיקים. אני רוצה שיהיו לי על הרצפה 0 תיקים. מי יכול להראות לי מה יש לעשות כדי שיהיו לי אפס תיקים על הרצפה?

תשובה: ילד בא ולוקח את התיקים

שאלה: מי יכול לספר מה קרה?

תשובה: היו 5 תיקים ____ לקח אותם ועכשיו יש אפס תיקים.

יש לעודד את הילדים לספר סיפורי אפס.

כתיבת האפס

חשוב להנחות את הילדים בכתיבה נכונה של הספרה: "נחזיק את העיפרון ביד שבה אנחנו מציירים. נרים אותו כלפי מעלה." נסביר כיצד יש להחזיק נכון את העיפרון. "נצייר ביחד באוויר מעגלים גדולים ככל שנוכל. נקטין אותם לאט לאט." ילד שמאלי יחוג מעגלים ביד שמאל. "נתפוס את הנקודה העליונה של המעגל בעיפרון שלנו ונפנה עם העיפרון שמאלה כלפי מטה. נגיע לנקודה התחתונה של המעגל, נפנה ימינה כלפי מעלה ונסגור את המעגל."

אם יש אפשרות להשמיע מוזיקת רקע -- כדאי לנצלה. הריתמוס מסייע לקליטה ולהפנמה ומהנה את הילדים.

לסיכום,

החזקה נכונה של עיפרון מפתחת את הכישורים המוטוריים העדינים ואת הקשר עין-יד, החיוני לביצוע פעילויות רבות. החזקה שכזאת מקלה על הכתיבה במיוחד כאשר הכתיבה היא רבה ומהירה. ילדים שלא למדו כתיבה תקנית בגיל הגן, מתקשים לשנות את דרך כתיבתם, כי במוחם הוטבעה הכתיבה המשובשת. יש ילדים בגיל הרך שמתקשים בכתיבת הספרות. הכלל, שאין ללחוץ על הילדים נכון גם לעניין זה. עם זאת, אין לוותר על הקנייה נכונה של כתיבת הספרות. יש להרבות בתרגול כתיבת הספרות על דפים חלקים או על גבי דפים שמשובצים במשבצות גדולות. ילדים שאינם בשלים עדיין לאחוז בכלי כתיבה (למשל בגיל 3) יכולים ליצור את הספרות מבצק משחק ואפשר לעבוד עמם על יצירת "נקניקיות" מהבצק ועיצובן בכיוון הנכון, מלמעלה למטה, לספרות. אנחנו ההורים יכולים לבלות עם הילדים ולהעסיקם ובעת ובעונה אחת לפתחם מוטורית וקוגניטיבית להעשיר את שפתם ולקשור את השפה לפעילות ולתרום לתפישתם הכמותית.

רוצים לקרוא עוד רשימות שבהם מוסבר כיצד אנו ההורים יכולים לעזור לילדינו ללמוד?

הרשימה הזאת ורשימות אחרות מופיעות בבלוג שעוסק בחינוך מתמטי לגיל הרך: סדנה להורים במתמטיקה יסודית לגיל הרך.

שלמה יונה

* החומר עובד מתוך חוברות מתמטיקה יסודית לגיל הרך וממדרשי התמונה ב-"חושבים ומחשבים" מאת אסיה לויטה ותלמה גביש.

מצב החינוך בישראל והשלכותיו

2011-11-27T13:57:00.001+02:00

מצב החינוך בישראל והשלכותיו

קיבלתי בדואר אלקטרוני את המכתב הבא ובצרופה שני קבצים (אחד בעברית ואחד באנגלית) ובהם המידע המדובר.

אני מקשר את הקבצים כאן:

Dan Ben-David Education's impact - a visual roadmap (Oct 2011) Eng.pdf

Dan Ben-David Education's impact - a visual roadmap (Oct 2011) Heb 2.pdf

הנה הקישור למסמך ממרכז טאוב: http://taubcenter.org.il/index.php/publications/special-issues/the-state-of-israels-education-and-its-implications-a-visual-roadmap/lang/he/

היה מוצלח מאוד, לדעתי, לו המידע שממנו נבנו האינפוגרפיקות היה זמין במקביל, גם לטובת יכולת השחזור וגם לטובת יצירת אינפוגרפיקה נוספת ותובנות נוספות..

המקור הוא פרופסור דן בן דוד ממרכז טאוב לחקר המדיניות החברתית בישראל.

המסקנות: ככל שההשכלה גבוהה יותר כך יכולת ההשתכרות וכך היכולת לשמר על התעסוקה גבוהה יותר (הירידה בהשתכרות והירידה בתעסוקה איטיות ומתונות יותר).

אז מה עושים? בפרסום מוזכר מסמך שבו המלצות. אותו לא הצלחתי לאתר.

הנה הצגת הפרסום ב-"מהיום למחר" בערוץ הראשון:

From: info [mailto:info@taubcenter.org.il] Sent: Sunday, November 27, 2011 11:54 AM
To: info
Subject: מצב החינוך בישראל והשלכותיו

שלום רב,

בחוברת המצ"ב (גרסאות בעברית ובאנגלית) נמצאת מפת דרכים ויזואלית יוצאת דופן על ההשפעה של החינוך בישראל על החברה והמשק. ייחודה של החוברת בהדגשים הגרפיים, הויזואליים, של הסוגיות השונות – עם תרשים אחד או שניים בכל עמוד (15 בסה"כ) מלווה בהסבר קצר מתחתיו.

המפה מתחילה בתמונה כלכלית-חברתית של ישראל ביחס למדינות המובילות במערב ומראה היכן היתה ישראל ולאן פניה. המפה ממשיכה עם הצגת הקשר בין חינוך לבין תעסוקה והכנסה ומסיימת עם מראה המשקפת היכן נמצאת מערכת החינוך הישראלית בתחומי היסוד לעומת מדינות המערב הרלוונטיות.

התמונה הכוללת שמתקבלת היא של מדינה שאיבדה את דרכה. אולי בעזרת מפת הדרכים הויזואלית היא תתעורר ותמצא את דרכה בחזרה אל דרך המלך.

אני מתכבד לצרף כאן את התמונה הויזואלית על מצב החינוך בישראל והשפעתו הכלכלית-חברתית. אשמח לקבל הערות והצעות.

בברכה,

פרופ' דן בן-דוד

מנהל מרכז טאוב

שירת העץ בראש פינה

2011-11-27T07:25:00.001+02:00

לפני שנכנסנו ל-דוריס קצבים בראש פינה כדי לאכול ארוחת בשרים טעימה ראינו בחנות הסמוכה שילוט שמרמז על כלי נגינה. נכנסנו. איזה יופי. שמענו את בעל המקום מדגים לנו את כלי הנגינה השונים שהוא מכין. הכלים יפים מאוד ונשמעים מצויין. בית המלאכה שלו מרשים.

שווה להיכנס ולהציץ ולהאזין: http://www.woodsong.co.il/

הוקסמנו מהנגינה. שאלתי את פיטר שאלות על אופן הבנייה של הכלים השונים. היו לנו כ-10 דקות מעניינות ביותר. אני עדיין מתפלא שלא חזרנו משם עם אחד מכלי הנגינה לנוי הביתה.

מיכל והילדים באגמון החולה

2011-11-26T23:48:00.001+02:00

מיכל והילדים בטיול שלנו להחולה. לינה בבקתות וינר ביסוד המעלה, שני ביקורים באגמון החולה (אחד לקראת שקיעה והשני עם הזריחה) וביקור בשמורת החולה. התמונות כולן ב: http://yeda.cs.technion.ac.il/~yona/aviv/index.html#26.11.2011

משקפי תלת מימד בעופוריה בשמורת החולה

2011-11-26T22:47:00.001+02:00

אביב, סיון וניר עם משקפי תלת מימד במיצג עופוריה בשמורת החולה.

אומנות יפה בג'עוני בראש פינה

2011-11-26T22:44:00.001+02:00

לפי המלצתו של ידידי, דודי הולצמן, הגענו לאכול בג'עוני בראש פינה.
נהנינו מהאומנות, ממשחקי החשיבה, מהשירות הטוב ומהאוכל הטעים.

חגב בשמורת החולה

2011-11-26T22:01:00.001+02:00

חגב בשמורת החולה.

חגב התאהב במכנסיים של אביב.

שפמנונים בשמורת החולה

2011-11-26T21:58:00.001+02:00

שפמנונים בשמורת החולה

שפירית אדומה בשמורת החולה

2011-11-26T21:56:00.001+02:00

שפירית אדומה בשמורת החולה

פשפשים אדומים בשמורת החולה

2011-11-26T21:55:00.001+02:00

פשפשים אדומים בשמורת החולה

פרפרי דנאית בשמורת החולה

2011-11-26T21:51:00.001+02:00

פרפרי "דנאית הדורה" (דנאית תפוח סדום) בשמורת החולה

הילדים בג'קוזי -- חופשה עם ילדים

2011-11-26T21:48:00.001+02:00

ניר, סיון ואביב בג'קוזי. ככה זה כשיוצאים לחופשה עם הילדים ומתארחים בצימר. את הג'קוזי הילדים מאכלסים בשמחה.

זה מטיול הסופ"ש שלנו בהחולה. הלינה בבקתות וינר ביסוד המעלה. היה טוב.

ניר מצא חלזונות בעת טיול רגלי באגמון החולה -- המון חלזונות

2011-11-26T21:11:00.001+02:00

ניר מצא חלזונות בעת טיול רגלי באגמון החולה -- המון חלזונות

עגורים באגמון החולה

2011-11-26T21:03:00.001+02:00

טיילנו בסופ"ש באגמון החולה. הנה סרטונים שצילמתי בחיפזון ובהם מופיעים המונים עגורים. בחלק מהסרטונים מצולמים העגורים ממרחק רב מאוד כשטיילנו רגלית באגמון וחלק ממרחק קרוב יותר מתוך עגלת המסתור בעת סיור זריחה עם צלמים.

התמצאות במרחב -- בניית כישורים -- ואיך להסביר לחייזר מה זה ימין ושמאל

2011-11-21T23:36:00.001+02:00

לפני כשנה כתב אמיר אהרוני רשימה בשם "לשם" ביומן הרשת שלו שבה הוא מספר על בעיות שיש לו בהתמצאות במרחב. באותה העת הגבתי לו ברשימה משלי "התמצאות במרחב בזעיר אנפין" בניסיון משלי לסייע ולהסביר כיצד אפשר למנוע בעיות מסוג זה ובעצם באותם הכלים אפשר גם "לתקן" בעיה שכזאת (בלשון מקצועית מדובר בתקיפת הפונקציה הקוגניטיבית הפגומה).

במהלך ההכנות שלי לקראת סדנה להורים בנושא מתמטיקה יסודית לגיל הרך החלטתי לכתוב בפירוט מסוים על כמה מהנושאים שאעלה בסדנה. הצורך בא מתוך הכרה שלא אוכל לכסות מספיק מהנושאים במהלך הסדנה ויחד עם זאת חשוב לי שלהורים ששמעו תהיה היכולת להשיג הדרכה מסודרת כיצד לעשות את הדברים שעליהם שמעו ושהתלהבו מהם. נושא ההתמצאות במרחב צץ לי מתוך הרשימה ההיא של אמיר. אני מנצל את ההזדמנות הזאת ומזמין אותו לקרוא ולנסות ליישם על עצמו, ביחד עם שותף, שותפה או שותפים -- ולספר לי איך זה עובד בשבילו.

אגב, נושא ההתמצאות במרחב עמוק ורחב הרבה יותר מכיל עוד אך גם כך קצרה היריעה. הנה הרשימה מתוך יומן הרשת שאני בונה לסדנה. לכל מבוגר שקורא ושמרגיש שההנחיות ושהתרגולים הללו עשויים לעזור לו עם בעיה בהתמצאות במרחב אני מציע להחליף את המילה "ילד" בשמו שלו. מי שצריך עזרה יוכל למצוא אותה אצל אנשים שהוכשרו לבצע אבחון דינאמי ובהתערבות באמצעות העשרה אינסטרומנטלית -- כאלה אפשר למצוא באמצעות מרכז פויירשטיין.

ומשהו למתקדמים, לפני שנצלול לעמקי פעילות לגיל הרך: בסדרה של 4 חלקים (חלק I, חלק II, חלק III ו-חלק IV ואחרון), דויה קלסטווצ'הי כתב בבלוג של סיינטיפיק אמריקן מאמר מעניין ומרתק בנושא ימין ושמאל, תקשורת ומדע. סיפור המסגרת עוסק באתגר: "כיצד תסביר לחייזר מה זה ימין ומה זה שמאל"? הצורך בא מתוך אתגר אחר: להעביר לחייזר בשיחת טלפון הוראות הגעה לכדה"א ממאדים. הקושי הוא שבשלב מסוים יעלה הצורך להשתמש בצדדים, אך כיצד נגדיר אותם? יש קישור בכתבה (אני מביא אותו פה) להרצאות שהעביר ריצ'ארד פיינמן ושבחלק מאחת מהן הוא עוסק בחידה הזאת ממש ובפתרונה וביישומים בפיסיקה. מרתק!

ועתה לעיקר: התמצאות במרחב -- בניית כישורים

ברשימה הכנת הילדים ללימוד החשבון הזכרתי את נושא ההתמצאות במרחב והסברתי על חשיבותו ומשמעותו.

ברשימה השלבים ההכרחיים לפיתוח התפיסה המרחבית הסברתי כיצד נמחיש ונלמד את הילדים את הצדדים (ימין ושמאל) ואת השינויים וההבדלים בין ימין ושמאל שלי, לבין ימין ושמאל של הזולת, לבין ימין ושמאל של מי שעומד מולי כשפניו כלפי; וכן יישומים של היכולת להשתמש בימין ובשמאל בדמיון גם כשמסובבים בעיני רוחנו את עצמינו או את הזולת כדי לעמוד במקומו וכדי לתת הכוונה נכונה ומדויקת של הוראות הגעה למקום אחר.

ברשימה הזאת אשוב ואסביר את מהלך ההוראה של הצדדים ימין ושמאל אך ביתר פירוט. בניית כישורים של התמצאות במרחב היא תהליך הדרגתי שמחייב התנסות בשבעה שלבים (שאותם אפרט בסעיפים א'-ז'). התהליך המתואר מתפרש על פני כל שנת הלימודים.

א'. הכרת הצדדים האישיים של הגוף

המטרה: הילד יוכל לזהות בקלות איברים בגופו שנמצאים בצד ימין לעומת איברים בגופו שנמצאים בצד שמאל.

ההורה מפנה את פניו לאותו הכיוון שאליו מופנים פני הילדים, כלומר כשגבו לילדים.

הנחיות לתרגול: "הרימו יד ימין, הרימו יד שמאל, הרימו רגל ימין, הרימו רגל שמאל, קפלו ברך ימין, קפלו ברך שמאל, הרימו כתף ימין, הרימו כתף שמאל, געו באוזן ימין, געו באוזן שמאל, הצביעו על לחי ימין, הצביעו על לחי שמאל, הצביעו על עין ימין, הצביעו על עין שמאל, הצביעו על נחיר ימין, הצביעו על נחיר שמאל."

דגשים:

(!) ההורה אומר את ההוראה, ומבצע ביחד עם הילדים. אחרי שברור, אין צורך לבצע עמם, אך עדיין להישאר עם הגב כלפיהם בעת מתן ההוראות.

(!) יש ילדים שאינם עדיין שולטים בשמות של איברי הגוף. זאת הזדמנות לדרג את הפעילות ולתווך לילדים את שמות ואת מיקום איברי הגוף. אחרי שיש שליטה בשמות ובמיקומם של איברי הגוף חוזרים לעיסוק בהתמצאות במרחב.

(!) מתי נוח ללמד את איברי הגוף לקטנטנים? בעת ההלבשה וההתפשטות, כשמסתבנים במקלחת ובעת משחקים שבהם ההורה אומר שם של איבר בגוף שעל הילד לגעת בו. הכל בדרך של משחק ושל הנאה.

(!) אין דחיפות ואין לאן למהר. על הדברים להיטמע ולהיקלט וללא לחץ.

(!) הילדים מתבקשים לבצע את ההנחיות בזו אחר זו.

(!) חשוב להסביר לילדים שהאימון בהכרת הצדדים האישיים של הגוף חיוני ללימוד החשבון.

(!) כאשר הילדים מבצעים את האימון ללא טעויות אפשר להגביר את הקצב ואפילו להקשות מעט. למשל, "הניחו יד ימין על רגל שמאל, הניחו יד שמאל על כתף ימין" וכו'. תרגול שכזה חשוב לחציית קו האמצע שמחבר בין שני חלקי המוח.

סימטריה

הכרת הצדדים האישיים של הגוף מבוססת על הבנת המושגים "סימטריה" ו-"ציר סימטריה". ההורה יכול וצריך להשתמש במילים "סימטריה" ו-"ציר סימטריה". אין לחשוש משימוש במושגים ומהדגמתם ומהגדרתם. ילדים אינם חוששים, בניגוד לדעה הרווחת, ממושגים ואינם מסתבכים עמם -- ההפך הוא הנכון -- ילדים זקוקים להגדרה ולהדגמה. כאשר לכל רעיון יש שם ולכל מושג כינוי וכך לכל פעולה ולכל עצם, בונים שפה ותקשורת וניתן לחשוב על הדברים, לפעול עליהם במוחנו ולתקשר אותם לזולתנו. בהיעדר שמות התקשורת קשה, מעורפלת ואינה יעילה. לכן, אל חשש -- השתמשו במושגים הנכונים לתיאור הנושא והפעולות.

הילדים מצביעים על הנחיריים. אצבע ימין על נחיר ימין, אצבע שמאל על נחיר שמאל. הילדים מקרבים את אצבעותיהם, מעלים אותם בעודן צמודות עד מצחם ומורידים אותן עד הרצפה. כך הם "משרטטים" בעזרת שתי אצבעותיהם קו דמיוני לאורך גופם, שהוא ציר הסימטריה של הגוף.

הורה: "ציר הסימטריה הוא קו ישר שמחלק צורה לשתי צורות שוות, כך שמול כל חלק בצד האחד מתאים חלק זהה לו בצד השני של הציר."

(!) הורים שנבהלים מהמילים הגבוהות יכולים להירגע. המילה ציר מפחידה? אז לפני שמגיעים לשלב הזה מקיימים בהזדמנות שיחה עם הילד ובה מעלים את המילה "ציר". שואלים למשמעויותיה השונות, מסבירים מדגימים וכו'. למשל: יש ציר של דלת וציר בחלון וציר סיבוב של כדור או של מטרייה מסתובבת וציר בפרלמנט וכו'. זאת הזדמנות להעשיר את השפה ולהדגים שבשפה שלנו יש מילים רבות שלהן יותר ממשמעות אחת. המשמעות נקבעת לפי ההקשר. באופן דומה כך גם במתמטיקה (להורים אני מזכיר למשל את סימן המינוס "-" שיש לו כמה תפקידים, גם לציון מספרים שליליים כמו 3- גם לציון הנגדי למספר וגם לסימון פעולת החיסור... וגם בתור פעולת חיסור יש בהקשרים שונים משמעות שונה לחיסור).

הגוף שלנו סימטרי לגבי ציר הסימטריה האנכי. כל סימטריה (מהסוג הזה של סימטריית מראה) מתקיימת רק אם קיים ציר סימטריה שמאפשר את ההתאמה בין שני צדי הציר.

ציר הסימטריה בגופנו

(!) המילה אנכי נראית גבוהה מידי? ראשית, ההסבר מהמשפט הקודם מיועד להורים ולא לילדים. אך מי שמעוניין להסביר זאת לילדים יכול. לפני שמשתמשים במילה אנך במשפט, צריך להגדיר ולהסביר מהו אנך ומה זה אנכי. רעיון הדירוג עובר כחוט השני בגישתנו -- אין צורך מהתחמקות או מהסתבכות -- כשקשה, מפשטים, מדגימים ומגדירים ומביאים את השיח לרמה של הילד. ורק אחרי שהבסיס ברור, אחרי שהמושגים שבהם משתמשים ברורים, רק אז ממשיכים. אין להשאיר חורים בהבנה.

(!) כשיש חשש מעודף מידע בבת אחת, לזכור שאיננו בתחרות ואין לנו חומר להספיק. מטרתנו לחנך וללמד את הילדים ולא "לסיים את החומר". אם קשה או נראה שעמוס, אז לחלק, לפשט, להסביר ולהדגים. אין בעיה להתעכב בעניין מסוים עד שחשים עמו בנוחות.

(!) חשוב להקפיד שלא לדלג על שלבים.

ציר הסימטריה בגופנו

(!) כשמתעכבים בשלב מסוים ומוצאים את עצמינו חוזרים ומסבירים, להקפיד לגוון בדוגמאות ולא להתקבע על אותה הדוגמה -- דווקא מועיל להראות כמה דוגמאות שונות שבהן אותו העיקרון פועל ובא לידי ביטוי -- זה ימנע מהילדים קיבעון ואת הרושם המוטעה שמה שנאמר נכון רק בהקשר מסוים ובתנאי מסוים. הכללות שברורות לנו כבוגרים אינן בהכרח (ולפעמים בהכרח אינן) ברורות לילדים.

לאחר שהילדים יודעים לצייר על גופם בדמיונם את ציר הסימטריה, הם לומדים להכיר את הצד הימני ואת הצד השמאלי של גופם, על ידי תנועת מישוש של צידי גופם לאורך כל הגוף, עד שמגיעים אל רגל ימין ואל רגל שמאל.

ציור שכזה יכול להיות תלוי במקום נוח כשעושים את הפעילות (אפשר להציע לילדים לנסות את כוחם בעצמם לצייר את זה או לצבוע את אשר אתם שרטטתם).

תרגול שמלווה בתנועתיות ובזיהוי תופעות בסביבתו הקרובה של הילד: מציאת גופים סימטריים בסביבה.

לדוגמה: הורה שירצה להעמיק עם ילדו את העיסוק בסימטריה יכול לשלב במשחקים פעילויות של מציאת ציר הסימטריה של חפצים שונים: שולחן, ארון, ספר, וכו'. פעילויות אלה אינן שייכות בבלבדיות למתמטיקה והן מהוות תשתית לתחומים רבים כגון קריאה, כתיבה, התמצאות יומיומית בסביבה ועוד. יש לשלבן בפעילות השגרתית בהתנהלות בבית ובמשפחה.

ב'. הכרת הצדדים מחוץ לגוף: מיקום מרחבי של עצמים ביחס לגוף

המטרה: הילד יוכל לזהות בקלות מיקום מרחבי של עצמים מחוץ לגופו.

הנחיות לתרגול: "מה/מי לפניך, מה/מי מאחוריך, מה/מי מימינך, מה/מי משמאלך".

בתרגול עד לסוף שלב זה על ההורה לעמוד באותו הכיוון כמו הילד בעת מתן ההוראות (ולא לעמוד מול הילד בעת מתן ההוראות).

(!) תלמידים בכתה א' שמגיעים לשלב כתיבת ספרות עוד בטרם שולטים בשלב זה של הכרת הצדדים מחוץ לגוף, נתקלים בחלקם בקשיים ומתחילים בפתיחת פערים. לדוגמה, בעיות בכתיבת הספרות בכיוון הנכון ומאוחר יותר אפילו בלבול, למשל בין 23 לבין 32. -- אעסוק בהרחבה בכתיבה נכונה ברשימה אחרת.

ג'. הכרת הצדדים של הזולת

המטרה: הילד יוכל לזהות בקלות איברים בגופו של אדם אחר שעומד כשפניו אל מול פני הילד. אליו להבין שאיבריו שלו נמצאים בצד ימין שלו, לעומת אותם האיברים שנמצאים בצד שמאל של העומד מולו.

הילדים שמאומנים בזיהוי איברים שנמצאים משני צידי הגוף ובמיקום במרחב של עצמים מחוץ לגוף, בשלים לשלב ההיפוך של הצדדים, כשהזולת מולם. זוהי פריצת דרך מנטלית שמחייבת את ההבנה שצד ימין שלי, וצד שמאל שלי הפוכים מאלה של אדם אחר שעומד מולי.

(!) תלמידים בכתה א' שלא הגיעו לשלב זה ואינם שולטים עלולים להתקשות ולפתוח פערים כשתלמד פעולת החיסור שהפוכה לחיבור. בעוד שבחיבור אפשר להחליף את סדר המחוברים ולקבל את אותה התוצאה בחיסור יש הבדל בתוצאה כאשר מחליפים בסדר שבין המחוסר לבין המחסר. ההכרה שהתוצאה שונה לא תספיק לחלק מהתלמידים הללו להבין, כי חסרה להם עדיין הבנה ושליטה בשלב בסיסי יותר של התמצאות במרחב.

הנחיות לתרגול: כאן כדאי לפעול עם מספר זוגי של ילדים. ההורה: "עמדו בזוגות פנים מול פנים. הרימו יד ימין, הרימו יד שמאל, הטו ראש לימין, הטו ראש לשמאל, הרימו רגל ימין, הרימו רגל שמאל... מה ראיתם?" כאן יבחינו הילדים שבעומדם זה מול זה, פנים מול פנים, חל היפוך: לכל אחד יש ימין ושמאל וכשאנו עומדים זה מול זה, הצדדים הפוכים.

"עמדו בזוגות פנים מול פנים. ילד אחד מתרגל, האחר עומד ללא תנועה (אחר כך מתחלפים בתפקידים). ההנחיות ניתנות לילד המתרגל: הצבע על יד ימין של העומד מולך, הצבע על יד שמאל שלו, הצבע על עינו הימנית, על עינו השמאלית, הצבע על ברכו הימנית, ברכו השמאלית, ..., הצבע על פניו, הצבע על גבו."

ילדים עומדים אלה מול אלה ומבינים שהצד של זולתם הפוך משלהם. כדי שיוכלו להבין את ההיפוך, הם לומדים שקודם עליהם לזהות את הצדדים האישיים שלהם ואחר כך להפוך צדדים אלה במחשבתם. יכולת היפוך זו חשובה, בין היתר, גם לקליטת הספירה העולה והיורדת.

ד'. הכרת הצדדים מחוץ לגופו של הזולת: מיקום מרחבי של אובייקטים ביחס לגוף הזולת

המטרה: הילד יוכל לזהות בקלות מיקום מרחבי של עצמים מחוץ לגופו של הזולת.

הנחיות לתרגול: "עמדו בזוגות פנים מול פנים. ילד אחד מתרגל, האחר עומד ללא תנועה (אחר כך מתחלפים בתפקידים). ההנחיות ניתנות למתרגל: "מה/מי נמצא לפניו של העומד מולך, מה/מי נמצא מאחוריו, מה/מי נמצא מימינו של העומד מולך, מה/מי נמצא משמאלו."

אימונים נוספים: צורות, עצמים ומערכות יחסים

"ציירו פרח בצד ימין למטה של דף מנייר ובצד שמאל למעלה של הדף ציירו חיפושית." (אני מזכיר שיש הסכם שכשכותבים על נייר או כקוראים ממנו או כשמסתכלים עליו מוסכם שצד ימין של הדף הוא באותו צד ימין שלנו -- כל זאת אף על פי שאין לעצמים שאינם אנושיים או מואנשים צד)
לילדים שמכירים צורות: "ציירו משולש בצד ימין למעלה ועיגול בצד שמאל למטה." וכך הלאה
לילדים שמכירים ספרות: "רשמו את הספרה 1 על הדף מימין." "רשמו את הספרה 5 על הדף משמאל." "רשמו את הספרה 4 מימין למעלה." "רשמו את הספרה 6 על הדף משמאל למטה."
אם יש לוח בנמצא אז ההורה עומד בסמוך ללוח ושואל את הילד "באיזה צד שלי נמצא הלוח?" ואפשר לנסות ולהעמיד בני משפחה אחרים ולשאול "באיזה צד של ____ נמצא הלוח? הלוח נמצא מימין ל_____ ומשמאל ל______." זהו בסיס להבנת היחס, כי הלוח נמצא משמאלי ביחס אליי, ומימינו של ____ ביחס אליו.
מאיזה צד של ______ נמצא החלון?
מי יושב מימינך?
איפה יד ימין של __________ שעומד ממולך?

ה'. תנועה במרחב: הכרת היחסים במרחב בשעת תנועה

בשעת תנועה משתנים היחסים במרחב בין האדם לבין הסביבה במהירות רבה.

המטרה: הילד יוכל לזהות בקלות מיקום מרחבי של עצמים מחוץ לגופו, תוך כדי תנועה.

הנחיות לתרגול: "צעד שני צעדים קדימה: מה/מי לפניך, מה/מי מאחוריך, מה/מי מימינך, מה/מי משמאלך. פנה ימינה: מה/מי לפניך, מה/מי מאחוריך, מה/מי מימינך, מה/מי משמאלך. פנה לאחור: מה/מי לפניך, מה/מי מאחוריך, מה/מי מימינך, מה/מי משמאלך."

תרגול על ידי משחק: לאן הלך העכבר?

כל ילד מקבל דף משובץ שבו מצויר עכבר בנקודת המוצא (משבצות גדולות בגודל 8x8) וכן מספר מטרות: גבינה, לחם, חסה. המשחק מתבצע בזוגות. אחד מבני הזוג מצייר לעצמו מסלול (לפי בחירתו) על קווי המשבצות (מנקודת המוצא לכל אחת מהמטרות) ונותן לחברו (שבידו דף משובץ ללא המסלולים) הוראות מילוליות על מסלולו של העכבר מנקודת המוצא לכל אחת מהמטרות.

למשל: מנקודת המוצא הלך העכבר שתי משבצות ימינה, אחר כל הלך קדימה שלוש משבצות וכו'.

החבר מצייר את המסלולים על הדף הריק שברשותו (כל מסלול בצבע שונה), לפי ההוראות שניתנות לו. כאשר מקבל ההוראות מגיע אל המטרה הוא מכריז למשל: "העכבר הגיע לגבינה." המסלולים נבדקים, הילדים מחליפים תפקידים.

ו. תנועה היפותטית: הכרת היחסים במרחב בשעת תנועה במחשבה בלבד

התרגילים בשלב הזה חשובים לפיתוח הדמיון ולהבנת מערכות יחסים מופשטות, כי הילד מבצע במחשבה בלבד את המעברים מהמצב שבו הוא מצוי במציאות המוחשית אל מצב שאינו נתפס בחושים, אלא רק במחשבה.

הנחיות לתרגול: "פנה בדמיונך ימינה: מה/מי לפניך, מה/מי מאחוריך, מה/מי מימינך, מה/מי משמאלך. אם תפנה שמאלה אז מה/מי יהיה מאחוריך? אם הדלת תהיה לפניך אז מה/מי יהיה מימינך...?"

לאחר שהילד מסוגל לזהות את היחסים במרחב בשעת תנועה היפותטית שלו עצמו, נבקש ממנו להתאמן בזיהוי יחסים במרחב בשעת תנועה היפותטית של הזולת.

שאלות לתרגול:

אם ___ יסתובב כך שהדלת תהיה מאחוריו, מה יהיה משמאלו?
אם ___ תעמוד כשגבה אל החלון, מה יהיה לפניה? לימינה?
אם ___ יעמוד כשפניו אל ארון המטבח, מה יהיה מאחוריו? מימינו? משמאלו?

ז. תנועה לאורך מסלול: הוראות ליציאה מהמרחב שבו אנו נמצאים, וחזרה אליו

בשלב זה הילד מתקדם בהתאם להוראות המכוונות אותו לצאת מן המרחב שבו הוא נמצא ולשוב אליו בחזרה. אפשר לנהל את ההתנסות הזאת כמשחק "חפשו את המטמון."

המטרה: התמצאות במרחב בעזרת הוראות.

הנחיות לתרגול: כדאי לבצע פעילות זאת עם יותר מילד אחד. אחד הילדים מתנדב להיות "מחפש מטמון" וממתין בנפרד, למשל מחוץ לחדר. בחדר מוטמן "אוצר" (פרי, מדבקה צבעונית וכו'). המחפש חוזר לחדר ומתחיל לנוע בהתאם להוראות מילוליות שהוא מקבל מאחד הילדים שהיו שותפים להטמנת האוצר.

למשל: פנה ימינה, לך חמישה צעדים, פנה שמאלה, לך שבעה צעדים, הגעת לשולחן המורה וכו'. ההוראות אמורות להוביל את המחפש למציאת האוצר.

ההתנסות במתן הוראות המיועדות להוביל אדם בחזרה אל המרחב שממנו יצא, עלולה להיות קשה ומבלבלת.

בשלב זה נדרש הילד לצייר בעיני רוחו מסלול, ובעזרת הוראות מילוליות להחזיר את הזולת לנקודת המוצא שלו.

המטרה: פיתוח חשיבה מופשטת בעזרת שימוש בייצוג פנימי מרחבי.

הנחיות לתרגול: "אתה נמצא במטבח בגן. הסבר לעדו כיצד יוכל להגיע מן המטבח אל ארגז החול שבחצר הגן." או "אורח שנמצא בחצר שבגן הסמוך מתכוון להתארח גם בחצר הגן שלנו. הסבר לו כיצד יוכל להגיע ממקומו אל חצר הגן שלנו." וכו'.

משחק:

שלב א': אנחנו רוצים להגיע לביתך, תאר לנו את הדרך מהגן ועד לבית

שלב ב': הגענו לביתך. עכשיו עליך "להוביל" אותנו, במילים בלבד, משם בחזרה אל הגן

למתקדמים: משחק צוללות ברמות שונות. (אפשר להכין עם נייר משובץ וכלי כתיבה -- אין הכרח לרכוש משחק מוכן)

לסיכום

התרגולים שתוארו עד עתה משרתים את תהליך הלמידה בתחומים רבים ומגוונים ואינם משפיעים רק על לימוד מתמטיקה. לכן חשוב לשלב אותם בפעילויות שגרתיות בהזדמנויות שונות.

שימוש במילים כמו "ימין", "שמאל", "קדימה", "אחורה", "לפני", "אחרי", "למעלה/מעל", "למטה/מתחת", יעשה באופן קבוע. הדיוק השפתי בהגדרת המיקום המרחבי חיוני לפיתוח ייצוג פנימי מרחבי, לתגובה יעילה, לתקשורת בין אישית ברורה ולהבנה החשבונית.

רצוי מאוד להימנע מכינויים רומזים כמו "זה", "פה", "שם". כינויים אלה יוצרים ערפול מחשבתי, אינם ממוקדים ומהווים מלל שאין בו מידע רלוונטי לפיתוח חשיבה ויש בשימוש בהם נזק ארוך טווח להפשטה.

משפט כמו "הספר נמצא על ____ מימינו של ____", מבסס את הייצוג הפנימי המרחבי, מספר מידע ממוקד ויוצר תקשורת בהירה בין הילד לסביבתו.

שלמה יונה

* הרשימה מבוססת על הדיון ועל ההנחיות של התמצאות במרחב מתוך המבוא לספר המורה של מתמטיקה יסודית לכתה א' שכתבה תלמה גביש

השלבים ההכרחיים לפיתוח התפיסה המרחבית

2011-11-21T07:27:00.001+02:00

השלבים ההכרחיים לפיתוח התפיסה המרחבית

התמצאות במרחב דרושה לילדים בתחומים רבים. פגימה כלשהי בתפיסה המרחבית מונעת במישרין מהילדים את ההצלחה במתמטיקה ובתחומים אחרים. יש דוגמאות רבות להשפעתה המזיקה של פגיעה כזאת, הנה שתי דוגמאות:

כתיבת העברית מימין לשמאל לעומת כתיבה חשבונית משמאל לימין עלולה לעכב ילדים רבים מלהבין את השיטה העשרונית שבה הכתיבה היא בכיוון שהפוך לכיוון הכתיבה בעברית
הבנת הפעולות ההפוכות: החיסור והחילוק, מתונית בתפיסה מרחבית תקינה וביכולת "ללכת אחורה" בתהליך שכבר נרכש (חיבור, וכפל).

הכרת הצדדים האישיים בגופו של הילד

הילד יכיר את איברי גופו בדרך של משחק: יד ימין, יד שמאל, כתף ימין, כתף שמאל, אוזן ימין, אוזן שמאל, עין ימין, עין שמאל, לחי ימין, לחי שמאל, צד ימין, צד שמאל, רגל ימין, רגל שמאל.

לסדר המוצע יש משמעות. אנחנו יוצאים מהחוץ כלפי מרכז הגוף, וממרכז הגוף כלפי מטה. סדר זה מבטיח תחושת גוף תקינה לכל אורכו.

המשחקים יהיו מלווים בתנועות.

הוראות לילדים: הרימו את יד ימין, הרימו את יד שמאל, הצביעו על אוזן ימין, הצביעו על אוזן שמאל בעזרת יד ימין וכו'. יש לשמור על מקצב בעת התרגול ועל רוח המשחק. את הטעויות של הילדים מתקנים במגע עדין בצד המתאים. אפשר לסייע לילדים ברמזים: באיזו יד אתה מצייר (או כותב)? או: באיזו יד את מחזיקה את הכף בעת הארוחה?

יש להימנע משימוש באביזרים שאינם תמיד בנמצא, למשל: על איזו יד עונדים שעון? השעון אינו נמצא בדרך קבע (אם בכלל בימינו) על היד, וכשהוא איננו נעלם גם הרמז.

לאחר שהילדים קלטו את הצדדים בגוף, אפשר לשחק עמם במשחקי "מחבואים" או "סימני דרך", כמו: פנה ימינה, לכי קדימה וכו'.

מרגע זה יש להימנע מכינויים רומזים כמו: "זה", "פה" ולעבור להנחיות בשפה מדויקת יותר כמו: "הדובי מימינך", "הצלחת מאחוריך" וכו'.

הצדדים של הזולת שעומד באותו הכיוון שבו עומד הילד

התמצאות במרחב

הילד לומד שהימין שלו, הפנים שלו, האחור שלו והשמאל שלו הם גם אותם הצדדים של מי שעומד לידו כשפניו מופנות לאותו הכיוון. הנחו את הילדים שעומדים בשורה באופן הבא: "הרימו את יד שמאל" הילדים יסתכלו על ידיהם של הילדים האחרים בשורה ויראו שלילדים האחרים אותו צד כמו להם.

כלל חשוב: הנייר מקבל את הצדדים ימין ושמאל של העומד או של היושב מולו. שמאל של הנייר זה השמאל של המחזיקים בו. זהו הסכם מקובל. אך יש להבין שצדדים יש לעצמים שהם אנושיים או שאנחנו מאנישים אותם, אין באמת לשולחן, לקיר או לפרח צד ימין וצד שמאל. אולם אם נצייר על השולחן, או על הקיר או על הפרח פנים או שנדמיין בעיני רוחנו פנים אזי קל יהיה לנו לחזור לתמונה של אדם ולשחזר את הצד המתאים.

הצדדים של הזולת שעומד כשפניו מול הילד

עומדים עם הפנים אל הילד, מושיטים ידיים ושואלים: "איפה יד ימין שלי?". אם הילד יודע את התשובה הנכונה, שאלו: "איך ידעת?" ולסייע לו לנסח את תשובתו: "קודם ידעתי איפה יד ימין שלי ואחר כך ידעתי שאצלך זה ההפך, כי אתה עומד מולי". אם הילד מתקשה במתן תשובה נכונה, נוטלים את יד ימינו בידינו השמאלית, שהילד הצביע עליה, מסתובבים לכיוון של הילד ומפנים את תשומת ליבו לכך שכאשר אנו באותו כיוון רואים מהי היד הנכונה.

חוזרים על פעילות זו גם עם יד שמאל, עד שילדים מפנימים את הרעיון.

לשלב זה השלכות רבות על החשיבה. יש להתמיד בו.

קבלת הוראות או מתן הוראות במרחב שבו נמצאים הילדים והמנחה

הילד "מסתובב" במחשבתו.

ההוראות לדוגמה:

"אם תסתובבו (אבל אינם מסתובבים ממש, אתם רק מדמיינים שאתם מסתובבים) והפנים שלכם יפנו אל החלון, מה יהיה מימינכם?"

"אם תסתובבו ומשמאלכם החלון, מה יהיה מאחוריכם?"

"אם תסתובבו ומאחוריכם הדלת, מה יהיה משמאלכם?"

וכו'.

קבלת הוראות או מתן הוראות ל"טיול" אל מחוץ למרחב שבו נמצאים הילדים והמנחה

דוגמה: "לכו אל הדלת, צאו מהחדר, פנו ימינה, אחרי שלושה צעדים פנו שמאלה, שם מחכה לכם הפתעה."

או:

"שלחו אותי במילים לחדר המשחקים."

או:

"אני אומר לכם לאן ללכת, מההדרכה שלי עליכם לגלות לאן שלחתי אתכם."

הוראות כיצד לחזור מנקודה מרוחקת אל המרחב שבו נמצאים הילדים

לדוגמה: "אני ברחוב כשפניי לכיוון ____. הסבירו לי כיצד עליי לחזור הביתה."

"אני בחצר ופניי פונים אל הנדנדה. תנו לי הוראות כך שאדע מה עליי לעשות כדי לחזור אל החדר."

פעילויות נוספות

הוראות לילדים: "רשמו את שמכם על הדף משמאל למטה", או: "ציירו בפינה הימנית התחתונה של העמוד."

התרגול בהתמצאות במרחב חייב להמשך זמן רב ולהיות משולב בכל הפעילויות האחרות עם הילדים, רק לאחר שהילדים הפנימו את כל השלבים תורגש השפעתו כל תרגול זה לטווח ארוך.

שלמה יונה

* הנוסח עובד מתוך המבוא לחוברות מתמטיקה יסודית לגיל הרך -- רוח הדברים והפעולות מבוססות על פעילויות בהעשרה אינסטרומנטלית בהתמצאות במרחב אשר למדתי מהמורה הוותיקה תלמה גביש ממייסדי העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכול.

הכנת הילדים ללימוד החשבון

2011-11-21T06:41:00.001+02:00

הצלחת לימוד החשבון דורשת הכנה שכוללת תיווך למשמעות המספר ופיתוח כישורים של התמצאות במרחב.

תיווך למשמעות

החשבון שאנחנו מלמדים הוא חלק מעולם התוכן היומיומי של הילד.

אנו רוצים שהילדים יבינו לשם מה לומדים חשבון. על כן, עוד בטרם ילמדו חיבור וחיסור, כפל וחילוק עלינו לסייע להם לפתח את משמעות המספר ואת ההיבט הכמותי שלו. לשם כך, נבקש מהם, לספר על סביבתם, על אחיהם, על חבריהם, על החפצים שהביאו עמם, לתאר את החדר ועוד.

מטרת השיחה היא להראות לילדים שקיימת זיקה טבעית בין תוכן הסביבה (מה שרואים, מה ששומעים...) לבין כמות. למשל: "יש לי שולחן אחד ותיק אחד" או: "אני מכיר שני ילדים מהגן".

עבור הילדים שכבר יודעים למנות או לספור נציע להם למנות: כמה בתים יש ברחוב שבו אני גר? כמה שכנים יש לי? כמה שכנים גרים גרים בקומה שמעליי? כשנכנסים לרחוב שלי והולכים לביתי, כמה בתים אפשר לספור לפני הבית שלי? מה מספר הבית שלי? כמה חלונות יש בגן? מה מחירה של כיכר לחם? כמה עולה הגבינה למריחה? ועוד.

בדרך זאת לומדים הילדים לאסוף מידע, למיין אותו, לארגן ולהציג אותו במספרים. כך הם לומדים שהחשבון שזור בחייהם ובעולמם.

התמצאות במרחב

התמצאות במרחב

התמצאות במרחב היא היכולת לזהות צד וכיוון (ימין ושמאל, למעלה ולמטה, פנים ואחור, נקודת מוצא, כיוון הפעולה), לזהות מערכת יחסים בין עצמים בכיוונים שונים (למשל: יואב יושב לימיני ולשמאלו של עידן, תקרת החדר גבוהה מן הרצפה ונמוכה מתקרת האולם שבמבנה הסמוך, וכו'), ולמקם עצמים במרחב.

מה הקשר בין התמצאות במרחב במציאות לבין כישורים מתמטיים?

לכל ספרה יש מקום במספר ומקום זה מקנה לה את משמעותה (אחדות, עשרות, מאות, אלפים... ). היכולת להבחין במיקום השונה של הספרה 5 בשני המספרים הבאים: 65 ו-56 חיונית להבנת משמעותה (פעם אחת היא מייצגת אחדות ופעם אחרת היא מייצגת עשרות).
לכל מספר בפעולה חשבונית יש מקום, ומקום זה מקנה לו את משמעותו (מחובר -- סכום, כופל -- נכפל -- מכפלה, מחלק -- מחולק -- מנה): כאשר מחברים במאונך 5 ל-68, מחברים את האחדות עם האחדות, לכן ה-5 נכתב מתחת ל-8 ולא מתחת ל-6. תלמיד שמתקשה בהתמצאות במרחב יתקשה גם בכתיבת תרגיל שכזה ובפתרונו.
התמצאות במרחב מאפשרת זיהוי של כיוונים הפוכים (אם יצאתי מביתי והלכתי 100 צעדים ימינה וברצוני לשוב הביתה באותה הדרך, עליי ללכת את אותם 100 צעדים שמאלה). היכולת להבין פעולות חשבוניות הפוכות (חיבור -- חיסור, כפל -- חילוק) מבוססת על התמצאות תקינה במרחב.
כיווניות הכתיבה של הספרות -- תלמיד שמתקשה בהתמצאות במרחב עלול לכתוב את 1 בכיוון הלא נכון (כתב מראה). כל הספרות עלולות להיכתב באותו האופן.

מה אפשר לעשות כדי לשפר את ההתמצאות במרחב של הילדים?

כדי לשפר את ההתמצאות במרחב של הילדים חיוני לתרגל צדדים, כיוונים ומערכות יחסים בין עצמים במרחב. התרגול הכרחי למניעת בעיות אצל לקויי למידה שמתקשים בכתיבה.

ברשימה הבאה אפרט כיצד ללמד וכיצד לתרגל התמצאות במרחב לילדים. התרגול מדורג והאימון מתבצע בדרך של משחק יומיומי מתוך מטרה להגיע עד לשלבים האחרונים של התרגול בתקופה של כ-3 חודשים. אחרי השלמת כל שלבי התרגול, ממשיכים בתרגול לאורך השנה כולה עד לשליטה מלאה בכל השלבים.

תרגול שכזה תורם לכל מקצועות הלימוד, ולא בהכרח לחשבון בלבד.

לתרגול הזה תרומה חשובה להעלאת כושר הריכוז של הילדים. ככל שמתקדמים בשלבים וככל שהילדים שולטים בתרגילים, אפשר וצריך לבצעם במהירות רבה יותר.

שלמה יונה

מה ההבדל בין ספירה לבין מנייה

2011-11-21T06:39:00.001+02:00

ההבדל בין ספירה לבין מנייה

אז מה בכלל ההבדל בין ספירה לבין מנייה? איך אדע מתי אני סופר ומתי אני מונה?

ספירה
ספירה היא אמירת שמות המספרים לפי הסדר.
זאת הפעולה שהילדים מבצעים כאשר הם אומרים את שמות המספרים לפי הסדר: אחת, שתיים, שלוש, ...

הספירה גם מופיעה בשימוש במספרים סודרים -- אשר מעידים על הסדר בין עצמים או בין ישויות:
ראשון, שני, שלישי, ...

למספר טהור אין כינוי והוא מבטא רצף.

מנייה
מניה היא התאמה בין שמות המספרים לכמויות.
זאת הפעולה שהילדים מבצעים כאשר הם מנסים לענות על השאלה כמה?

למספר מונה יש כינוי (שלוש עגבניות, תשע ביצים) והמספר המונה מבטא כמות של העצמים או של היחידות שהכינוי מסמל.

הספירה עוסקת במשמעות הסודרת של המספרים בעוד שהמנייה עוסקת בכמות.

ישנה חשיבות לשימוש נכון במספרים המונים בזכר ובנקבה:

בזכר, כלומר, כאשר מונים עצמים שהמין הדקדוקי שלהם הוא זכר, נשתמש במספרים המונים:
אחד, שניים, שלושה, ארבעה, חמישה, ששה, שבעה, שמונה, עשרה

ואילו בנקבה, כלומר, כאשר מונים עצמים שהמין הדקדוקי שלהם הוא נקבה, נשתמש במספרים המונים:
אחת, שתיים, שלוש, ארבע, חמש, שש, שבע, שמונה, תשע, עשר

שלמה יונה

סדנה להורים על מתמטיקה יסודית לגיל הרך

2011-11-20T23:08:00.001+02:00

הזמנה לסדנה

ביום ב', 5 בדצמבר 2011, בשעה 20:30 תתקיים בגן נעים סדנה להורים:

כיצד נפתח את החשיבה לילדינו?

מתמטיקה יסודית לגיל הרך

לפרטים:

http://parents-pre-school-math-workshop.blogspot.com

ציורים מיוחדים שאביב הכין ונתן לי

2011-11-20T17:26:00.001+02:00

ציורים מיוחדים שאביב הכין ונתן לי: פותחים את החלון והנוף מבעד לחלון שונה מהנוף כשמסירים את ה"קיר עם החלון"

ציורים שסיון הכינה ונתנה לי מתחילת השנה

2011-11-20T17:24:00.001+02:00

ציורים שניר צייר ונתן לי מתחילת שנת הלימודים

2011-11-20T17:22:00.001+02:00

זירוקס פיתחו אלגוריתם למיון תמונות לפי איכות אסתטית

2011-11-20T07:12:00.001+02:00

ארגון ומיון תמונות שאנחנו מצלמים במצלמות השונות שלנו הוא עניין שנדמה שתמיד יש מה לשפר ומה לייעל בו. בזירוקס פיתחו אלגוריתם שמנסה לדרג את התמונות ולארגן אותן בהתאם לפי איכות אסתטית.

למשל, בצילום דיוקנאות (פורטרטים) האלגוריתם מזהה את הסוג ומסווג את הדיוקן ל-"טוב" ול-"רע" לפי אמות מידה טכניות כמו, ניגודיות בין הפנים לבין הרקע, מידת מילוי התמונה בדיוקן וכיוצא באלה. התוצאות מעניינות מאוד. אפשר לקבל גם עיצות בהתאמה: להתקרב אל הדמות, להמנע מצלליות קשות, להשתמש באור טבעי וכו'.

הדוגמאות שבהדגמה באתר של קבוצת הפיתוח של זירוקס בגרנובל ממחישות את הרעיון כמו גם את שלבי הבוסר של הפיתוח (יש ברווזי צעצוע בתמונות הפרחים, יש גיישה יפנית בתמונות הציפורים וכו') -- אבל לטעמי הכיוון מוצלח והרעיון יפה. עוד צעד בכיוון האוטומציה של הצילום והנגשת היכולת לצלם תמונות טובות ומעניינות לקהל רחב יותר.

יום הולדת 9 לנועה

2011-11-19T22:55:00.001+02:00

יום הולדת לנועה -- נועה בת 9

אגו וניר (ביום ההולדת של נועה)

2011-11-19T22:51:00.001+02:00

אמא שלי (הידועה בכינוייה "אגו" בפי הנכדים) ובני, ניר במסיבת יום ההולדת 9 לנועה.

עלילות עוגי באאוטבריין

2011-11-19T22:33:00.001+02:00

עוגי, מפלצת העוגיות, של בתאלס בא לבקר באאוטבריין.

הוא פתח בביקור בצוות אלגוריתמים (זאת הפינה שלי...):

המשיך בבילוי במטבחון: מה אוכלת מפלצת עוגיות במטבחון של אאוטבריין? עוגיות! כמו שהיא אוכלת בכל מקום אחר.

ולסיום חזר לכסא של בתאלס

המחשת המבנה העשרוני

2011-11-19T21:51:00.001+02:00

אני ממשיך ומעמיק ביחד עם סיון את ההבנה שלה את מבנה המספר. כבר כתבתי רשימה אחרת שבה פירטתי את ההבדל בין "אחדות" לבין "יחידות" -- בזאת עסקנו בשבוע שעבר. בכל פעם שרציתי להדגיש אצלה את נושא האיגוד לעשרת או נושא של פריטה של עשרת לאחדות בודדות המחשתי לה את הדוגמאות באמצעות עטים, עפרונות, גרעיני תירס, חרוזים... מכל הבא ליד. איך זה עובד?

כך התחלנו עוד בכתה א':
מתחילים בהסכם: כל עשרה פריטים מקבצים לעשרת. כל 10 גרעיני תירס הכנסנו לכוסית קטנה. (עם עטים ועם עפרונות מאגדים כל עשרת בגומייה ובאופן דומה מסמנים חפצים אחרים שנעזרים בהם, למשל כל 10 חרוזים השחלנו דרך חוט ויצרנו מחרוזת). פתאום רואים שאפשר בקלות לזהות עשרת (מאשר למנות 10 גרעיני תירס) -- פשוט רואים את הכוס. הרושם מתעצם כשמאגדים עוד כמה עשרות ופתאום רואים שבנקל מונים 90 (למשל) גרעיני תירס רק מתוך מניית הכוסות: "10, 20, 30, ..., 90". משם בונים מספרים כמו: 37 (שלוש כוסות שבכל אחת מהן עשרה גרעיני תירס) ועוד 7 גרעיני תירס בודדים או כמו 12 (כוס אחת שבה עשרה גרעיני תירס ושני גרעיני תירס בודדים).
מכאן ממשיכים עם תרגילי חיבור וחיסור שחוצים את גבול העשרת:
?=8+3
?=12-5
וכדומה.
בתרגיל הראשון מקבצים לעשרת (מכניסים 10 גרעיני תירס לכוס) ונשארים עם גרעין תירס בודד אחד -- מקבלים 11 גם לפי ההסכם וגם מתוך מנייה ישירה של הגרעינים. יש כמה דרכים לעשות זאת , להשלים את השמונה ל-10 ואז לראות כמה נשאר היתה הגישה המועדפת על סיון.
בתרגיל השני מגלים שאין לנו מספיק אחדות בודדות ב-12 כדי לחסר 5 אחדות. אז מה עושים?
דרך אחת: לחסר 2 אחדות (ונשארים עם 10 במחוסר ועם 3 במחסר) ואז צריכים לפרוט את העשרת לאחדות בודדות: מוציאים את 10 גרעיני התירס מהכוס (ומרחיקים את הכוס) וממשיכים לחסר הפעם 10-3 ומקבלים 7.
דרך שנייה: פותחים בפריטת העשרת שממנה מחסרים 5 (ונשארים עם 5) ומחברים את ה-2 ומקבלים 7.
סיון כשנעזרנו עוד בגרעיני התירס כעזר מוחשי העדיפה את הדרך הראשונה אך בהמשך כשהראתה שליטה ומהירות ועברנו לפתרון תרגילים ללא העזר המוחשי (ללא גרעיני תירס, או עפרונות וכו') היא נוטה להעדיף את הדרך השנייה. בכל מקרה, היא שולטת בשתי הדרכים ובוחרת בנוחה ביותר לפי הצורך. בדיוק כמו שצריך.

בהמשך כשעברנו את הטיפול במספרים עד 20 נוצר הצורך להדגיש את מבנה המספר עבור מספרים גדולים יותר. כך לקחנו שיפודים (שקיצצתי להם את החודים) ואגדנו כל 10 שיפודים לעשרת באמצעות קשירתם בסרט וכשהיו לנו 10 עשרות אגדנו את 10 העשרות למאה אחת. ושמחנו. פתאום יכולנו לראות ולחוש מה משמעות מספר כמו 123: יש מאה אחת (איגוד של עשר עשרות שכל אחת מהן מאגדת עשר אחדות בודדות), שתי עשרות (שתי אלומות שבכל אחת מהן 10 שיפודים) ושלוש אחדות בודדות.

ובכתה ב':
עתה, בכתה ב' כבר מצאתי את סיון מתעניינת במספרים גדולים יותר ובבדיקה האם המבנה העשרוני ממשיך להתנהג כך גם במספרים גדולים יותר. אז קניתי הרבה מאוד גפרורים, וגם גומיות והבוקר קבענו שננסה לאגד לפחות 1,000 גפרורים. (מטעמי בטיחות את הגפרורים השריתי במים כדי שלא יוכלו להידלק בחיכוך). וכך עשינו. אגדנו יותר מ-1,000 -- תוך כדי הפעילות לסיון היו שאלות ותובנות מעניינות שעליהן עניתי בשמחה. עיסוק בתרגילים במספרים כאלה ברור יותר לאחר עיסוק מוחשי באיגוד ואח"כ במשחק של פריטה ושל קיבוץ. הנה סרטון שבו סיון ואני מסכמים מה עשינו.

בהמשך, ככל הנראה בחומר של כתה ג', כבר נחזור על העניין, הפעם מתוך כוונה לאגוד כמות של לפחות רבבה (10,000).

כל העיסוק הזה טיפוסי ואופייני לגישה של מתמטיקה יסודית: מוחשי, אח"כ ציורי ולבסוף מופשט. זאת אומרת עוסקים בדוגמאות ממשיות ובעצמים מוחשיים (מוחשי), אח"כ נעזרים בתרשימים (ציורי) ולבסוף במופשט.