נטגר: עיתון מתמטי לנוער באינטרנט

רשימה שלי על נטגר, עיתון מתמטי באינטרנט, באתר 2bdaddy.

ללמוד ללמד ילדים מתמטיקה של בי"ס יסודי

אני שמח לספר שביום רביעי 8 במאי התקיים המפגש הראשון בסדנה להורים: "ללמוד ללמד ילדים מתמטיקה של בי"ס יסודי" שאותה אני מעביר.

בכל מפגש נושא מרכזי, דיון בחשיבותו, כיצד מתקשר לתוכנית הלימודים, כיצד הרעיונות והעקרונות משתלבים במתמטיקה ובחיים. לומדים את הנושאים ובמקביל לומדים כיצד להסביר וכיצד ללמד אותם. המפגשים נוגעים במהות -- ינתנו קישורים והפניות לחומר קריאה נוסף ולחומר לימודי מתאים.

הנה, למשל, קישור לסיכום המפגש הראשון של הסדנה.

עדיין אין זה מאוחר להצטרף. המפגש הבא ב-22 במאי, יום ד'. המפגשים מידיי יום רביעי בין השעות 20:30 ל-22:00 ומתקיימים בכפר יונה.

לפרטים, פנו אליי.

שלמה

אפס: ביוגרפיה של רעיון מסוכן

שאלתי מהספרייה את הספר אפס: ביוגרפיה של רעיון מסוכן מאת צ'רלס זייף וקראתי אותו בעניין ובהנאה. כמו ספרים רבים על מתמטיקה ועל ההסטוריה של המתמטיקה, ספר זה מתורגם מאנגלית.

מהכריכה האחורית:

אפס ביוגרפיה של רעיון מסוכן מתאר בהומור ובהתפעלות את סיפורה של סיפרה אחת שהביכה וריתקה את הוגי הדעות מאז ימי אתונה עד ללוס אלאמוס. צ'רלס זייף טוען שההתמודדות עם מושג הלא-כלום יחד עם תאומו: האינסוף גרמה פעם אחר פעם למהפיכות במחשבה הפילוסופית ובתפיסות היסוד של הציביליזציות. אם הנכם ששוחרים של מתימטיקה ומדע תיהנו מספר זה: אם אינכם כאלה, וודאי תהפכו לכאלה עם סיום קריאתו. צ'רלס זייף הצליח ליצור משהו מהנה במיוחד ממש מתוך הלא-כלום. 256 עמודים כולל מפתח שמות ונושאים וביבליוגרפיה.

בספר מסופר על הסטוריה של המתמטיקה ושל המדע ומוזכרות בו פריצות דרך, התקדמויות ונושאים חשובים יותר ופחות. חוט השני בספר הוא העיסוק באפס כספרה, כמספר וכמושג ושימושים שלו במתמטיקה וכיצד ההתייחסויות לאפס או אי ההתייחסות לאפס גרמו לבעיות ולצרות שדרשו פתרונות יצירתיים אך עקביים. בתור ספר על הסטוריה של המתמטיקה הוא מזכיר ועוסק בנושאים שספרים רבים על אודות ההסטוריה של המתמטיקה מזכירים.

בספר, שבתרגומו יש פה ושם (אבל לא המון) נפילות מביכות מבחינה מתמטית, שאני מקווה שאינן קיימות במקור,  ישנו עיסוק בשני רעיונות ומושגים: האפס והאינסוף והדואליות ביניהם. אפס הוא מספר, אך לאנושות לקח זמן רב להשתמש בו ובספרה שלו באופן עקבי במבנה המספר. הקשיים שנוצרו מתוך בעיות כגון חלוקה באפס (שאינה מוגדרת במתמטיקה) והתנגדויות מתוך תפיסה שמרנית אפילו לאור מציאות שמראה אחרת, עיכבו את האנושות במשך תקופה ארוכה מאוד.

האינסוף, שגם אותו מזכירים לא מעט בספר (כ-תאום של האפס, תיאור שאינני כל כך מחבב ומסכים עמו) אינו כלל מספר. אין כזה מספר, אינסוף. 

כמו ספרים רבים על אודות הסטוריה של מדע ומתמטיקה גם הספר הזה פותח בנושאים עם יותר הסברים ומסיים בפחות, מתחיל במתמטיקה שיותר נגישה לרוב הקוראים וככל שהספר מתקדם כך גם הנושאים הופכים פחות ופחות נגישים. בעוד שההסברים המתמטיים נשארו פחות או יותר באותה רמת עמימות ותמצות הנושאים בפיסיקה הלכו והפכו מעורפלים יותר ויותר, אם כי הדיונים הזכירו רבים מהמושגים המלהיבים: "חור תולעת", "המפץ הגדול", "תורת הקוונטים", תורת המיתרים, יחסות כללית ו-יחסות פרטית ועוד... מעניין תמיד לקרוא על התפתחות מושג המספר והרחבתו, כולל הטיפול במספרים מרוכבים, על פיתוח כלים חשובים כמו אלגברה, חדו"א, תורת הקבוצות ועוד. דחיסות הנושאים בפיסיקה ביחס לשטח הדפים שעמדו לרשותו של הכותב והמורכבות ברעיונות שאינם אינטואיטיביים כלל הופכים את הסיפא של הספר למתסכל מעט ולמעייף. בקיאים בנושאים יצלחו אותו בקלות אך אחרים עלולים להתייאש וחבל.

נהניתי מאוד, כרגיל, מקריאה על מתמטיקה ומדע ועל אישים והתפתחויות. השימוש באפס ובאינסוף כנושא המרכזי שעליו תלויים כל הנושאים המוצגים הוא מעניין מאוד והופך את הקריאה על ההסטוריה של המתמטיקה לשונה מאשר בספרים אחרים שכך אין כאן רק התקדמות לאורכו של ציר זמן אלא לתובנות על אודות היתרונות, הקשיים והפתרונות שבהתמודדות עם האפס והאינסוף.

הספר מומלץ לחובבי מתמטיקה ומדע.

שלמה יונה

גליונות "אתגר" מתמטי זמינים באינטרנט

אתגר - גליונות למתמטיקה הוא כתב עת שיצא לאור בישראל בשנים 1985-2001. הגליונות זמינים בחינם באינטרנט לכל דורש.

 http://imu.org.il/Education/Etgar/etgar.html

הנאה מובטחת לחובבי המתמטיקה!!

איזה יופי של מתנה.

מה זאת זווית?

מה זאת זווית? מהי ההגדרה לזווית?

עם פתיחת שנת הלימודים מתחילים תלמידים בכיתות ג' בשיעורי ההנדסה (כך קוראים לנושאים בגיאומטריה) בכמה מושגי יסוד, כמו נקודה ו-ישר ובהמשך אפילו מגדירים את ה-זווית. משום מה תחת הרושם שזה משהו שקשה מידי לילדים ביסודי אין עומדים על ההבדל בין מושג יסוד לבין מושג שאותו מגדירים בעזרת הגדרה ואין דנים בכלל בצורך במושגי היסוד ובחשיבות ההגדרה. להורים המתעניינים, הגדרות בגיאומטריה בנושאים של בית הספר היסודי אפשר למצוא באתר משרד החינוך בקישור הזה. את ההגדרה לזווית, למשל,  באתר הזה אפשר למצוא בקישור הזה. מושגי יסוד הם מושגים שאין אנו מגדירים אותם: אלה הם מושגים שאין להם הגדרה ולכן משמעותם מובנת בצורה אינטואיטיבית או על פי מאפייניהם. בעזרת מושגי היסוד נגדיר מושגים נוספים. הזווית אינה מושג יסוד ויש לה דווקא הגדרה. למעשה, לזווית יש כמה הגדרות נפוצות ומאוד בעייתיות.

מדוע חשוב להגדיר? הגדרה מבדילה בין המושג שאותו היא מבארת לבין שאר הדברים בדומה לגדר שמפרידה בין מה שנמצא בתחום שאותו היא תוחמת לבין שאר העולם. הגדרה תספק לנו מידע על המהות (מה-הוא) של המושג, או איך לזהות אותו או מה מאפיין אותו ואיך ליצור אותו.

הנה דוגמה להגדרת הזווית בכתה ג' כפי שהעתקתי ממחברתה של תלמידת כתה ג':
"שתי קרניים שיוצאות מאותה נקודת התחלה יוצרות ביניהן זווית. הזווית זה הרווח שבין שתי הקרניים."

ואז המורה "מבהירה":
"גודל הזווית תלוי ברווח שבין הקרניים. ככל שהרווח (המפשק) גדול יותר הזווית גדולה יותר."

יש בטקסט הזה בעיות רבות מאוד:

1. המשפט הראשון אינו מציין מהי הזווית ואיך לזהות אותה, אלא רק מה יוצר זווית. אין כאן תיאור של מהות הזווית. אי אפשר להבין מהי זווית.
2. התיאור שבמשפט הראשון בעייתי עוד בתור הגדרה כי שתי קרניים שיוצאות מנקודה משותפת יוצרות שתי זוויות ולא רק אחת (יש את זאת שמתכוונים אליה ויש את המשלימה ל-360°.
3. המשפט השני כבר שגוי במלואו. הזווית אינה הרווח שבין שתי הקרניים. על איזה מהרווחים מדובר? איך רווח יכול להיות זווית? איך אפשר למדוד זווית בתור רווח? איך מודדים את הרווח הזה? הרווח הזה הוא אורך? הרווח הזה הוא שטח? הרי גם זה וגם זה אינו נכון.
4. ההבהרה שגויה והיא טעות חשיבה שמועברת לילדים: אין כל קשר בין "גודל הרווח" ואין כל קשר בין "מפשק" או בין "מפתח" הקרניים לבין גודל הזווית.

הגדרה מקובלת נוספת ובעייתית גם היא לזווית:

"זווית היא חלק המישור הכלוא בין שתי קרניים שיוצאות מנקודה אחת"

אף על פי שזאת הגדרה נפוצה גם בה יש שגיאות:

1. חלק המישור שכלוא בין השוקיים הוא אינסופי. איזו משמעות, אם כך, יש למדידתו?! לכן אין זאת הגדרה טובה לזווית, כי כידוע אנחנו מודדים זוויות.
2. אם מדובר בחלק המישור אזי יש משמעות של שטח, אז איננו מודדים שטח: היחידות למדידת זווית אינן יחידות שטח ואינן ברות המרה ליחידות שטח
3. גם ההגדרה הזאת  מפיקה שתי זוויות ולא אחת

התייחסות לשגיאות

כאשר אנחנו מודדים את גודלה של זווית איננו מודדים שטח. חלק המישור שתחום בין שתי שוקי הזווית (ואין זה משנה כרגע מאיזה צד) הוא אינסופי ולכן אין משמעות למדידה שלו מתוך כוונה לקבל מספר בתור תשובה. אם נתייחס רק לשטח שכלוא בין שתי השוקיים ונתייחס לכל שוק כקטע ולא כקרן -- אזי השטח הכלוא יהיה סופי -- אבל אז תהיה לנו בעיה -- לזווית עם שוקיים ארוכות יותר השטח הכלוא יהיה גדול יותר ולזווית עם שוקיים קצרות יותר יהיה שטח כלוא קטן יותר. אין פה שימור של המידה שאותה אנו רוצים למדוד. לכן השטח אינו מה שנמדוד כאשר נרצה למדוד זוויות.

גם איננו מודדים אורך. טעות נפוצה היא לחשוב שהזווית היא הקשת שמותחים כדי לסמן את הזווית בשרטוט ולכן גודל הזוית הוא אורך הקשת -- הרי אורך הקשת יקטן ככל שנסמן אותה קרוב יותר לקודקוד  הזווית  והאורך יגדל ככל שנסמן את הקשת רחוק יותר מהקודקוד של הזווית. ה-"הסבר" המוטעה עם ה"רווח" מתייחס אולי למרחק שבין שוקי הזווית: אבל שימו לב, שאם מוחים קטע משוק אחת לשנייה אז אורכו תלוי במקום על כל אחת מהשוקיים שבוחרים, אבל הזווית היא אותה הזווית.

מספרים לנו כבר מכיתות נמוכות בבית הספר היסודי שזוויות מודדים ביחידות שנקראות מעלות. זה אולי צריך לרמוז לנו שאין מדובר כאן ביחידות של אורך וגם שאין מדובר ביחידות של שטח.

אנחנו זקוקים למדידה של משהו שנשמר ושיש לו משמעות.

התרשים מתוך ויקיפדיה

כדי למדוד אנחנו צריכים משהו קבוע ואחיד.

הגדרה נכונה וטובה לזווית

"נתונים שני ישרים (או חלקי ישרים) שנחתכים זה על ידי זה. נגדיר זווית להיות כמות הסיבוב שאחד הישרים צריך לבצע סביב נקודת החיתוך על מנת שיגיע למקומו של הישר השני."

זווית, אם כך, קשורה בסיבוב: לא ברווח, לא באורך ולא בשטח. מהי מידת הסיבוב המדוברת? איך מודדים את מידת הסיבוב ובעצם, איך מודדים זווית?

אז איך מודדים זווית ומה מודדים שם?

לפני כ-3,500 שנה חילקו מעגל ל-360 חלקים שווים. החלוקה נעשתה כמו שמחלקים עוגת יום הולדת עגולה או כמו שמחלקים פיצה עגולה: מהמרכז כלפי חוץ. לכל חלק כזה של המעגל נקרא קשת ולכל חלק כזה מהעיגול נקרא גִזְרה. כל פרוסת עוגה או מנת פיצה היא בעצם גִזְרה כי היא חלק מהעיגול. נבחין כי אורכי הקשתות שמתקבלים מהחלוקה הזאת שווים זה לזה ושנשמר מספר הקשתות וגם מספר הגזרות. מספר הקשתות ומספר הגְזרות נשמר גם אם נשרטט מעגל גדול יותר או קטן יותר כרצוננו, ובלבד שלמעגלים הללו יהיה מרכז משותף.

קשת היא חלק מהמעגל. המעגל הוא הקו שסביב לעיגול.

גִזרה היא חלק מהעיגול. העיגול הוא השטח שהמעגל כולא בתוכו.

גזרה היא הצורה שכלואה 

 בין שני מחוגים במעגל לבין קשת על המעגל

הרעיון של הקדמונים היה שיש להתחיל את המדידה של הזווית מקודקוד הזווית, שעליו יונח מרכז המעגל המחולק לקשתות.

אנחנו רואים שבין שוקי זווית שנשרטט יש אותו מספר של קשתות או של גזרות ואין זה משנה מהו גודל המעגלים (שמרכזם בקודקוד הזווית) שנשרטט.

יש שימור כמות (של הקשתות ושל הגזרות) כאשר משתמשים במעגלים גדולים יותר או קטנים יותר שלהם יש מרכז משותף.

אין שימור של גודל (של הקשתות ושל הגזרות) כאשר משתמשים במעגלים גדולים יותר או קטנים יותר שלהם יש מרכז משותף.

מצאנו משהו קבוע שיכול לשמש יחידת מידה! מצאנו שמספר הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית נשאר קבוע. אם המעגל קטן -- הקשתות קטנות, אם המעגל גדול -- הקשתות גדולות, אבל מספרן נשאר קבוע. כל מעגל שנשרטט ומרכזו יהיה בקודקוד הזווית ייתן בחלוקתו את אותה התוצאה.

• לכל חלק בחלוקה הזאת ל-360 חלקים נקרא מעלה ונסמן מעלה אחת כך: 1°
• חשוב מאוד להבין שמעלה היא גם יחידת מידה של טמפרטורה ושאין מדובר באותה היחידה שבה אנו משתמשים למדידת זוויות -- רק השם משותף ואין כל קשר אחר בין השתיים! אז איך נדע להבחין בית השתיים? לפי ההקשר. כלומר, בקשר למה נעשית המדידה. אם החזאי אומר שמחר הטמפרטורה תהיה 23 מעלות צלזיוס אזי ברור לנו שאין הוא מתכוון למדידה של זווית ולכן אין הוא מתכוון למעלות של זווית.
• הזווית בין שתי קרניים נקבעת על ידי מעגל שמרכזו בנקודת החיתוך שלהן.
• אנחנו מודדים כמות ולא גודל (כמה גזרות כאלה תעבור אחת השוקיים בסיבובה סביב הקודקוד המשותף לקרניים עד שתתלכד עם השוק השנייה)

לסקרנים: כמה שיטות שונות למדוד זוויות ביחידות מידה

נזכיר כעת כמה שיטות שונות שמקובלות למדידת זוויות. מי שרוצה לדלג, יכול ישר להמשיך בחלק שמסביר על מדידת הזווית על פי ההגדרה. 

• מעלות  (מתוך ויקיפדיה):

מעלה היא יחידת מידה למדידת גודל של זווית. במעגל יש 360 מעלות (מספר זה נקבע על פי שיטת הספירה הבבלית), כלומר מעלה היא זווית שגודלה הוא 1/360 של המעגל. סימנה של מעלה הוא °, ולכן ניתן לכתוב "זווית של 90°", במקום "זווית של 90 מעלות".

המעלה נחלקת ל-60 דקות, כלומר דקה שווה לחלק ה-1/60 של מעלה. יחידה זו ידועה גם כ"דקת מעלה" או דקת קשת, וניתן לחלק אותה, אנלוגית לזמן, ל-60 שניות קשת, כלומר שנייה שווה לחלק ה-1/60 של דקה, או לחלק ה-1/3600 של המעלה.

הסימון הפורמלי לדקה הוא גרש ישר - (′). לדוגמה, 15 דקות ייכתבו כך - 15′. אולם, הסימון הנפוץ ביותר הוא הגרש הנטוי המקובל. באופן דומה מסומנת שנייה על ידי זוג גרשיים, לדוגמה 25 שניות ייכתבו כך - 25′′. 

• רדיאנים (מתוך ויקיפדיה): -- [בשיטה זו איננו משתמשים עד אשר נתחיל ללמוד חשבון אינפיטיסימלי או עד שנתעמק בטריגונומטריה -- אבל חשוב להכיר] 

רדיאן היא יחידת מידה חסרת ממד למדידת זוויות הכלולה במערכת היחידות הבינלאומית. בעבר היה הרדיאן יחידה משלימה של מערכת היחידות הבינלאומית, אך קטגוריה זו בוטלה ב-1995.הרדיאן מוגדר כזווית היוצאת ממרכז מעגל ונוצרת על ידי קשת שאורכה שווה לאורך של רדיוס המעגל -  (ראו באיור משמאל). כיון שהיקף מעגל הוא , במעגל כולו יש בסך הכל  רדיאנים.לרוב, גודל זווית ברדיאנים ניתן ללא ציון היחידה המפורשת. לעתים היחידה מצוינת בקיצור כ-rad.  מעלה שווה 180/π רדיאנים.

• גראדים (מתוך ויקיפדיה):

הגראד (Grad) היא זווית המתקבלת מחלוקת המעגל ל-400, כך שבכל זווית ישרה ישנן 100 זוויות בנות גראד.

יתרונה של יחידה זו היא הקלות לחשב בה חישובים פשוטים. כך, למשל, אם פניתי בזווית של 117 גראד, בכיוון השעון מצפון, ניתן להבין בקלות כי פני מופנות בזווית של 17 גראדים מן המזרח. מקורה של חלוקה זו של המעגל בצרפת, והיא חלק מן השיטה המטרית. עם זאת חלוקה זו לא התקבלה באופן אוניברסלי, והיא נהוגה רק בענפי התמחות מסוימים כמדידות, או תותחנות ובמקומות מסוימים, במיוחד במקומות שהיו בשליטה צרפתית. בשנות ה-80 וב-שנות ה-90 רוב מחשבי הכיס המדעיים כללו אופציה לחישובים בגראדים. דגמים מאוחרים יותר לא כללו אופציה זו ומאפשרים חישובים במעלות ורדיאנים בלבד.

אולי עוד משהו שכדאי להזכיר בהקשר הזה הוא מדידה של שיפועים בעזרת אחוזים ולא בעזרת זווית השיפוע. בארצות מסוימות אפשר למצוא תמרורים שבהם מציינים את מידת השיפוע של כביש בעזרת השימוש באחוזים ולא באמצעות זוויות. גם אצל הגננים, החקלאים ואצל בנאים מקובל לפעמים להשתמש בשיפועים שנמדדים באחוזים ולא בזוויות. אז איך מודדים שיפוע באחוזים? אחוזים מתוך מה?!

דמיינו משולש ישר זוית כך שהכביש עם השיפוע המדובר הוא על היתר של המשולש. ניצב אחד מקביל לפני כדה"א באזור והניצב האחר ניצב לפני כדה"א. אזי 15% מתקבלים מתוך חילוק אורך הניצב שמאונך לפני כדה"א באורך הניצב שמקביל לפני כדה"א. הזוית שבין היתר לבין הניצב שמקביל לפני כדה"א תתקבל מחישוב ה-arctan (הפונקציה ההפוכה לטנגנס) של 0.15, שזה יוצא 8.53 מעלות לערך.שיפוע של 100% יתן לפי השיטה הזאת זוית של 45 מעלות (המשולש ישר הזוית יהיה גם שווה שוקיים).

מדידת הזווית לפי ההגדרה

בדרך זו מצאנו מרכיב קבוע שיכול לשמש יחידת מידה! מצאנו שמספר הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית נשאר קבוע. במקרה שלנו: 3, שהן 30 מעלות. אם המעגל קטן - הקשתות קטנות, אם המעגל גדול - הקשתות גדולות, אבל מספרן של הקשתות נשאר קבוע. גודל הזווית נמדד לפי מספר הקשתות שבין שוקי הזווית. כל מעגל שנשרטט ומרכזו יהיה בקדקוד הזווית ייתן בחלוקתו אותה תוצאה: 30 מעלות (° 30).

מד הזווית -- מדידת זוויות על פי ההגדרה בעזרת מכשיר

נתקשה מאוד לשרטט מעגלים ולחלק אותם ל-360 חלקים שווים בכל פעם שנרצה למדוד זוויות. כדי למדוד זוויות באופן קל ונוח נשתמש במכשיר מד הזווית. נזכיר שמד-הזווית הוא מכשיר שמודד את מספר חלקי המעגל (הקשתות) הכלואים בין שוקי הזווית.

אם המעגל שעליו נעשית החלוקה הוא קטן, אז גודל הקשתות יהיה קטן, אם המעגל שעליו נעשית החלוקה יהיה גדול, אז גודל הקשתות יהיה גדול, אבל בשני המקרים כמות הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית נשארת קבועה והיא יחידת המידה שמודדת את גודל הזווית.

מד זווית

במד-הזווית יש שני טורי מספרים: בכל טור יש 180 מעלות: במעגל הפנימי, הקטן יותר, הקשתות קטנות יותר מאלה  שבמעגל החיצוני, אבל מספרן שווה למספר הקשתות הגדולות יותר, השייכות למעגל החיצוני. הנקודה ממנה מתחילים את המדידה במעגל החיצוני היא מצד שמאל (מתחילים בספרה 0).

הנה דוגמה לזווית בת 70 מעלות הנמדדת על המעגל החיצוני.

הנקודה שממנה מתחילים את המדידה במעגל הפנימי היא מצד ימין (מתחילים בספרה 0).

הנה דוגמה לזווית בת 60 מעלות הנמדדת על המעגל הפנימי.

ברבע מעגל יש 90 מעלות (° 90).  ° 90 = 4 : ° 360.

בחצי מעגל יש 180 מעלות (° 180).  ° 180 = 2 : ° 360.

בשלושה רבעים של מעגל יש 270 מעלות (° 270) כי שלושה רבעים של ° 360.

זווית ישרה. 90 מעלות. רבע סיבוב על מעגל.

זווית ישרה. 90 מעלות. רבע סיבוב על מעגל.

זווית שטוחה. 180 מעלות. חצי סיבוב על מעגל.

זווית נישאה. זאת שבדוגמה היא בת 270 מעלות. 3/4 של סיבוב על מעגל.

זווית מלאה. 360 מעלות (מקובל גם לסמן ב-0 מעלות). סיבוב שלם של מעגל (או בעצם לא הסתובב שומדבר בכלל...)

סימון זוויות

זוויות נסמן בקשת קטנה בין השוקיים, כדי להבחין על מה מדובר וכדי לסמן שמדובר בסיבוב מעגלי. זווית ישרה מקובל לסמן באמצעות קו שבור, כך:

מיון זוויות לסוגים:

• זווית ישרה היא בת  ° 90.
• זווית חדה היא זווית שקטנה מזווית ישרה.
• זווית שטוחה היא זווית בת  ° 180 והיא שווה לסכום של שתי זוויות ישרות.
• זווית קהה היא זווית שגדולה מזווית ישרה, וקטנה מזווית שטוחה.
• זווית נישאה היא זווית שגדולה מזווית שטוחה, וקטנה מזווית בת  ° 360.

כיצד מחשבים את גודלה של זווית נישאה?

כדי למדוד זוויות נישאה, מודדים בעזרת מד-זווית את גודל הזווית החדה המשלימה אותה ל-° 360 ומחשבים את ההפרש בינה ל-° 360. לדוגמה, כדי לחשב את זווית ד' בסרטוט, מודדים במד זווית את הזווית החדה שהיא בת ° 20 ומחסרים אותה מ-° 360.

סיכום

יש להיזהר בהגדרת הזווית. השגיאה נפוצה, אולי מקורה בספר לימוד שלא נבדק כהלכה, אולי אצל מורה שלא מבינה, אינני יודע. מה שבטוח, שצריך ללמד את הילדים את ההגדרה הנכונה. אני מקווה שברשימה הזאת תמצאו את הנימוקים להתמודד עם ההגדרות השגויות ועם ההגדרות הטובות ולהבין מדוע וגם להבין את כלי המדידה שמקובל היום, מד הזווית.

איך מודדים שיפוע באחוזים?

איך מודדים שיפוע באחוזים?


אחוזים מתוך מה?!

דמיינו משולש ישר זוית כך שהכביש עם השיפוע המדובר הוא על היתר של המשולש. ניצב אחד מקביל לפני כדה"א באזור והניצב האחר ניצב לפני כדה"א. אזי 15% מתקבלים מתוך חילוק אורך הניצב שמאונך לפני כדה"א באורך הניצב שמקביל לפני כדה"א. הזוית שבין היתר לבין הניצב שמקביל לפני כדה"א תתקבל מחישוב ה-arctan (הפונקציה ההפוכה לטנגנס) של 0.15, שזה יוצא 8.53 מעלות לערך.שיפוע של 100% יתן לפי השיטה הזאת זוית של 45 מעלות (המשולש ישר הזוית יהיה גם שווה שוקיים).

תודה רבה ליערה על השאלה ועל התמונה.

בלבול ושקר והקשר למערכת התייחסות ולנקודת מוצא

בעיתון דה-מרקר פורסמה ב-3 ביולי כתבה ובה הובאה פרשנות בנוגע למצב הכלכלי-חברתי בארץ וכן נתונים שכביכול תומכים בעמדת הכותבת ומחזקים אותה. הכתבה עצמה לא היתה מעניינת בשבילי עד שראיתי את האינפוגרפיקה ששולבה כדי להמחיש באופן ציורי את הנתונים המספריים. אני מתעלם מהשאלה לגבי נכונות הנתונים ומתייחס רק לשימוש בהם.

הנה תרשים שהובא בכתבה:

מתוך כתבה של דה-מרקר מה-3 ביולי 2012

תרשים ה"פטישים", שאינו אלא גרף עמודות, מציג מגמה מדאיגה ביותר של צניחה אדירה במה שמכונה שיעור ההשתתפות של בני 15-65 בכח העבודה. את המספרים לקחתי לתוך גיליון אלקטרוני והפקתי גרף עמודות משלי (באותו האופן יכולתי להכין אותו ידנית במחברת) ולפניכם התוצאה:

עד עכשיו זה נראה דומה מאוד. הרווחנו גם קנה מידה בצד. מייד מתעוררת השאלה: "מדוע תחתית התרשים היא 59% ולא 0%?". את זה קל לתקן, משנים את נקודת המוצא להיות 0 ומשרטטים. הנה התוצאה:

וואו! איזה שינוי! איזה הבדל! פתאום הירידה המשמעותית נראית כל כך זניחה שאולי אפילו אין מבחינים שיש ירידה. 

אז איך מסבירים את ההבדלים הללו? התשובה: הכל תלוי בנקודת המוצא! לפי מערכת ההתייחסות שלכם, זאת אומרת, ביחס למה משווים. אם נקודת המוצא היא נקודת הנתונים הראשונה שיש, למשל, 62.8% בשנת 2009 אז עכשיו כל שאר הנתונים בתרשים משורטטים ביחס לגודל הזה. לעומת זאת, אם נקודת המוצא היא ערך 0 מקבלים קנה מידה שונה.

האם היתה כוונה "לטפל" בנתונים? האם מדובר רק בכוונה טובה "לעזור" לקוראים להבחין בשינויים? האם מדובר בבחירה מכוונת כדי ליצור רושם של שינוי משמעותי בשעה שהשיעור זניח? לכותבת הכתבה יש את התשובות. אינני יודע. ברור שאפילו אם אין אנחנו מטילים ספק בנתונים, יש מקום לבדיקה קלה של אופן הצגתם כדי לקבל מבט נוסף. 

מה קרה כאן? עכשיו משורטטים חלקים משלם אחר. 

דוגמה מתחום הביטחון

בישראל היום, במהדורה המודפסת של יום שישי, 25 בנובמבר 2011 (תודות ליוסי לוי שכתב על זה) פירסמו כתבה, עם כותרת מרעישה ותרשים מדאיג ביותר:

שימו לב ששטחו של המלבן של ה-כן גדול בערך פי שלושה משטחו של המלבן של ה-לא אף על פי שהערך קטן יותר. האם טעות? האם מגמתיות? כנראה שטעות... אבל איזו טעות!!

דוגמה מתחום האנרגיה

רוצים דוגמה נוספת? הנה, כאן רשימה של דפנה שיזף. איכשהו יצא שגם שם מטפלים בתרשים שפורסם ב-דה-מרקר. שם מדובר על תחום האנרגיה: נפט.

התרשים בכתבה שמנסה לקשור (באופן מגמתי?!) צריכת חביות נפט עולמית ל-אוכלוסיית העולם:

 אותם הנתונים בתרשים שהופק באמצעות גיליון אלקטרוני מספרים סיפור אחר:

 שינוי בנקודת המוצא ושרטוט מחדש מספר סיפור שונה משני קודמיו, ואנחנו עם אותם הנתונים:

 אין מקום באמת להשוות שני דברים שונים אחד ליד השני כשמודדים אותם באמצעות יחידות מידה שונות ולצפות מהקורא להסיק את הדבר "הנכון" -- לכן מה שראוי לעשות הוא לתת תרשים שונה לכל סוג נתונים, כדי שאפשר יהיה להתרשם מהמגמה במקום מהגדלים שלהם אחד ביחס לאחר. הנה התרשים המוצע, ושוב, מתקבל סיפור שונה:

 למעשה, מקריאת הכתבה, יוצא שכנראה כוונת המחבר היא להתייחס לצריכת חביות הנפט העולמית ביחס לאוכלוסיית העולם. אז מדוע שלא לבנות את המבוקש מתוך הנתונים ולשרטט? הנה, שוב, תמונה שונה:

מהי ההצגה המתאימה? תלוי במערכת ההתייחסות של הכותב ושל הקורא. את אותם הנתונים, כך אנו רואים, אפשר להציג באופנים שונים ולהביא את הקורא להסיק מסקנות שונות מאוד.

כדי לקבל טיפול מסודר עוד יותר ודוגמאות מפורטות יותר, כדאי מאוד לקרוא רשימה של טל גלילי שבה הוא מנתח ומסביר היטב אילו הטיות יש בכתבה ובתרשים שעוסק במחירי הדלק -- הוא גם מסביר כיצד הקוראים המתעניינים להביא את הנתונים להצגה מוטה פחות: כך זינק המס שאנחנו משלמים על הדלק?!

דוגמה מתחום הפוליטיקה

ועוד דוגמה, הפעם מהפוליטיקה, רשימה של דובי קננגיסר. הפעם התרשים לקוח מתוך וואינט.

הנה התרשים שהובא בכתבה. מה מבינים ממנו?

והנה תרשים נוסף שהובא בכתבה כשמתייחסים למועמדת נוספת שאולי תרוץ:

מה הבעיה? הנה מה שכותב דובי קננגיסר:

לערוך סקר זה קל. להכין אינפוגרפיקה, לעומת זאת, זה קשה. כנראה. קשה להסביר אחרת את העובדה שהגרפיקה שמציגה את הסקר השני היא פשוט העתק של חמשת העמודות הראשונות מהסקר הראשון, אבל עם מספרים שונים (ותוספת ליבני לעמודה של לפיד). כך לפיד (15 מנדטים) ממוקם במקום החמישי באותו גובה כמו קדימה (11 מנדטים), ונמוך מישראל ביתנו (13 מנדטים). לא ספרתי פיקסלים, אבל אני מוכן להתערב שגם העמודות של הליכוד ושל העבודה לא זעו מילימטר ביחס לעמודות האחרות, חרף אובדן של שלושה-חמישה אחוזים מערכן. 

כי באמת, בשביל מה צריך לשנות את הגרף כשמשתנים המספרים? זה לא כאילו שכל מטרתה של האינפוגרפיקה היא שלא נצטרך לעיין באופן מדוקדק בנתונים כדי לקבל את התמונה הכללית…

קפיצה קלה לבית הספר היסודי

אחד מהמושגים החשובים שהכרחי לדעתי שתלמידים בבית ספר יסודי ילמדו וילמדו להשתמש בו הוא "נקודת מוצא". נקודת מוצא קובעת מהיכן יוצאים לדרך, היא קובעת ביחס למה מחשבים חישובים. קחו למשל את הבעיה הבאה:

נתון שהיחס בין שני מספרים הוא 4:7. בכמה אחוזים גדול המספר השני מהראשון? בכמה אחוזים קטן המספר הראשון מהשני?

והפתרון: 

נענה בכמה אחוזים גדול המספר השני מהראשון. מילית היחס מ- קובעת שמערכת ההתייחסות שלנו היא המספר הראשון. יחידה אחת של המספר הראשון היא רבע מערכו. משום שההפרש ביחידות בין א' לבין ב' הוא 3 אזי המספר השני גדול מהמספר הראשון ב-3/4 מערכו של המספר הראשון. כדי לקבל את התוצאה באחוזים נכפול את השבר ב-100 ונקבל 75%.

באופן דומה המספר הראשון קטן מהמספר השני ב-3/7 מערכו של המספר השני. כדי לקבל תוצאה באחוזים נכפול ב-100 ונקבל בערך 42.86%. ולכן התשובה: המספר השני גדול מהמספר הראשון ב-75% ואילו המספר הראשון קטן מהמספר השני בכ-43%.

נושא מערכת ההתייחסות אינו מקבל תשומת לב ראויה, לפחות לא בקרב התלמידים שיש לי אפשרות לפגוש. זה נכון אצל תלמידים שנחשבים חלשים ונכון גם כן עבור תלמידים שנחשבים חזקים, מתקדמים, מחוננים וכו'. איכשהו, נדמה שזה נושא שהמורים לא יודעים אותו בעצמם, או שלא יודעים ללמד אותו או שלא מכירים בחשיבותו. כך או כך, הנושא אינו מובא לידיעת התלמידים בכיתה ואם כן, לא באופן שמאפשר להם להבין שזהו אמצעי משמעותי ב"טיפול בנתונים" בתקשורת, בפרסום ובכלל...

הנה, נקח דוגמה אחרת, פשוטה, שיכולה להדגים איך קל לעבוד עלינו (אם איננו מבינים מהי נקודת מוצא וכשאיננו מבינים באיזו מערכת התייחסות להשתמש) כשאנחנו מנסים להבין איזו הלוואה לקחת (למשל, במשכנתא), או מה יקרה לחסכונות הפנסיוניים שלנו כשאנחנו בשיחה עם סוכן ביטוח ממולח [הדוגמאות לקוחות מתוך שיעור שהעברתי לתלמידי כתות ו' בבית הספר היסודי עמל בכפר יונה בשנת הלימודים התשע"א]:

בעיה א':

אסתר ורחל הן שתי אחיות. אסתר קיבלה סכום כסף במתנה. הסכום שהיא קיבלה גדול ב-30 ש"ח מהסכום שרחל קיבלה במתנה. בכמה ש"ח קיבלה רחל פחות מאסתר?

התשובה: 30 ש"ח. כאן אין הפתעות. נמשיך:

בעיה ב':

אסתר קיבלה סכום כסף שגדול ב-30% יותר מהסכום שקיבלה רחל. בכמה אחוזים קיבלה רחל פחות מאסתר?

[דיון] -- תלמידים רבים עונים גם במקרה הזה 30, וטוענים שמדובר באותה הבעיה ובאותו הפתרון.

נבחן את התשובה ונצביע על מהות השגיאה: אם אסתר מקבלת ב-30% יותר מרחל, מערכת ההתייחסות היא רחל. ברגע שנאמר 30% יותר מ... נקבעו שני דברים:

א. אסתר קיבלה ב-30% יותר
ב. שרחל קיבלה 100% כי היא הגודל היסודי שביחס אליו נעשה החישוב של האחוזים

אף שזה לא נאמר במפורש הרי 30% הם ביחס לשלם, במקרה שלנו ביחס לרחל. בבעיות כאלה השלם הוא בתפקיד הגודל היסודי כי הוא מהווה את המסגרת של מערכת ההתייחסות. הנתונים הם:

רחל	אסתר
100%	130%

את זה הסקנו מכך שנאמר שאסתר קיבלה 30% יותר מהסכום שקיבלה רחל. הסכום של רחל משמש כמערכת ההתייחסות.

אז איך פותרים? נמצא כמה הם 100% של רחל מתוך 130% של אסתר (מה היחס בין הסכום שקיבלה רחל לבין זה שקיבלה אסתר):

היחס בין היחלק של רחל לבין זה של אסתר הוא 100:130 ולכן, 100/130 מראה איזה חלק מהווה כספה של רחל מזה של אסתר, ואם נכפיל אותו ב-100 נקבל באחוזים שהם בערך 76.9%. אבל מה שנתבקשנו למצוא הוא בכמה אחוזים רחל קיבלה פחות מאסתר. אז הם היא קיבלה כ-77% מתוך ה-100% של אסתר הרי שהיא קיבלה כ-23% פחות מאשר קיבלה אסתר. וזאת התשובה.

רמז השפה שלנו הוא מילית היחס מ-. מי או מה שלפניו באה המילית הזאת הוא מערכת ההתייחסות שלנו, וביחס אליו נחשב את האחוזים. המשפט הראשון בבעיה מערכת ההתייחסות שלנו היא רחל ("... יותר מהסכום שקיבלה רחל") ובמשפט השני מערכת ההתייחסות שלנו היא אסתר ("... פחות מאסתר"). אם כך, הצגת הנתונים באחוזים במשפט הראשון צריכה להיות כשה-100% הוא הסכום שבידי רחל, והצגת הפתרון לפי המשפט השני מתייחסת ל-130% של אסתר כאל שלם אחד שיש להשוות ביחס אליו שלם אחר (100%) ולהבין מה היחס ביניהם.

בחזרה למקרה הראשון שלנו

ההצגה בתרשים שבכתבה היא כאשר השינוי בגובה (בשטח) העמודות נובע מההבדל היחסי לנתון הראשון, כאילו שהוא השלם ואילו ההצגה כאשר משווים אחוזים לאחוזים כאילו הם מאותו השלם מובאת בתרשים שהפקתי באמצעות הגיליון האלקטרוני. האם ההצגה שלי חפה מבעיות? למעשה, לא. משום שמדובר באחוז מתוך כלל האנשים בגילאים 15-65 שבכח העבודה ומשום שהמספר הזה אינו קבוע משנה לשנה (בדרך כלל גדל, אבל לא בהכרח, הוא עשוי אפילו לרדת. כשהאוכלוסייה גדלה, גם המספר הזה גדל בדרך כלל) אנחנו משווים כאן חלקים מתוך שלמים שונים ולא חלקים של אותו השלם. זה גם משהו לחשוב עליו כשמנסים להסיק מסקנות מתוך הנתונים.

אז מה עושים?

מה שאפשר לעשות בתור קוראים זה להתייחס בספקנות לאופן ההצגה, להפעיל שיקול דעת ואולי אפילו לבדוק בעצמנו. להתייחס להצגה מתוך ידיעותינו במתמטיקה. וכמובן, עצם המודעות שאפשר להציג את אותו המידע באופנים שונים ובכך להטות את דעתנו, גם היא יש בה משהו.

ללמוד ללמד ילדים מתמטיקה של בי"ס יסודי

ללמוד ללמד ילדים מתמטיקה של בי"ס יסודי

בכפר יונה מתקימים שיעורים להורים כדי להכיר להם את הוראת המתמטיקה בבי"ס יסודי כדי שיוכלו לעזור לילדיהם וגם לקבל תובנות עם מה מתמודדים המורים ועם מה מתמודדים הילדים, אילו פערים יש בין ההבנה שלנו לזאת של הילדים, איך חושבים על הדברים ילדים ואיך אנו המבוגרים, וגם נגלה שלהבין דקויות מתמטיות בחשבון של בי"ס יסודי זה לא דבר פשוט ואפילו מסובך יותר להסביר.

כבר היו כמה מפגשים (והכל בחינם, וההוראה בהתנדבות).

אפשר להתעדכן על מה שהיה ולהמשיך להתעדכן גם בהמשך באמצעות האתר של הסדנה:

מתמטיקה יסודית להורים בכפר יונה

באתר יש הסברים בנושאים שונים, שאלות ותשובות ורעיונות איך להסביר. אפשר ליצור איתי קשר עם שאלות ובקשות לנושאים נוספים שאפשר לכסות באתר לטובת ההורים והילדים.

המורה,

שלמה יונה

חידת פרלמן -- סיפור על האיש שהוכיח את השערת פואנקרה

חידת פרלמן, מאשה גסן, ידיעות ספרים ספרי עליית הגג

הספר חידת פרלמן מאת מאשה גסן מספר סיפור על גאון ועל פריצת הדרך המתמטית של המאה.

הספר פותח צוהר לחינוך המתמטי הרוסי, במיוחד זה שמטפח כישרונות מתמטיים. בספר אפשר לקרוא גם התייחסות מעניינת של המחברת לדומה ולשונה בין מתמטיקאים לבין תכונות שאופייניות לאנשים שמאובחנים "על הקשת האוטיסטית".

אמנם מדובר רבות על מתמטיקה, אבל זה אינו ספר מתמטי ואין צורך ברקע מתמטי (אם כי רקע כזה רק תורם לעניין ולהבנה): זהו ספר על אנשים ובמיוחד על הגיבור: גריגורי פרלמן.

הנה מאמר ובו הפרק הראשון של הספר: מה גרם לגרגורי פרלמן לוותר על מיליון דולר?

הבעיה המתמטית שפתר פרלמן היא השערת פואנקרה. התחום במתמטיקה שאליו שייכת הבעיה נקרא טופולוגיה. פרלמן למעשה הוכיח גם את השערת הגיאומטריזציה של ת'ורסטון. את ההשערה אפשר לנסח כך: 

האם יריעה תלת מימדית חלקה ופשוטת קשר היא דיפאומורפית לכדור תלת מימדי?

חלקה: היריעה אינה מפותלת

פשוטת קשר: אין בה חורים

דיפאומורפית: אפשר לעצב מחדש את היריעה לצורה אחרת ובחזרה תוך כדי שמירת התכונות שלה

תלת מימדית: יריעה תלת מימדית היא פני השטח של עצם ארבע-מימדי

כדור: אוסף כל הנקודות שמרחקן שווה מנקודה נתונה 

מעניין מאוד לקרוא על אמות המידה הקיצוניות והבלתי מתפשרות של פרלמן בנוגע לאמת, לידידים, לפרסים, לפרסום ולגבי המתמטיקה וההשלכות החריפות של יישום אמות המידה הללו על חייו.

מרגע שהצטרף פרלמן למועדון המתמטיקה של רוקשין כשהיה בן עשר -- או אולי בשלב מוקדם הרבה יותר, כשאמרה אימו למורה שלה שהיא עוזבת את המתמטיקה כדי להקים משפחה -- היה פרלמן פרויקט מתמטי אנושי. אימו גידלה אותו, רוקשין בנה אותו, ריז'יק פינק אותו, אברמוב אימן אותו, זלגלר כיוון אותו, אלכסנדרוב הגן עליו, בוראגו טיפל בו, וגרומוב קידם אותו כדי שיוכל לעסוק במתמטיקה טהורה בעולם של מתמטיקה טהורה. פרלמן גמל למוריו ולמיטיביו כשעשה את הדבר הזה בדיוק: פתר את הבעיה הקשה ביותר שמצא -- ומתוך התמסרות מלאה לתהליך. וכשסיים את המלאכה, הוא ציפה לדברים מסויימים.

האיש דחה ממון רב, כבוד ומעמד, דחה פניות של מוסדות מחקר מובילים, דחה פרסים מדעיים באירופה, דחה את מדליית פילדס שהוענקה לו וכן דחה גם את פרס המילניום, פרס קליי. את הפרסומים שלו שבהם מתואר הפתרון הוא פרסם באתר אינטרנט, 

arXiv.org e-Print archiv.

לסקרנים: הנה קישור למאמרים המדוברים בספר: http://math.berkeley.edu/~lott/ricciflow/perelman.html

הספר מרתק ביותר ולדעתי ימצאו בו עניין מיוחד חובבי מתמטיקה, מורים למתמטיקה וכנראה גם הורים או מכרים של אנשים שנחשבים "מוזרים". הספר גם מאיר על מנגנוני הטיפוח של המתחרים הרוסיים באולימפיאדות המתמטיקה.

ספר מעניין לחובבי היסטוריה של המתמטיקה ולחובבי סיפורים אנושיים. יש בספר גם טעימה מהפוליטיקה של המתמטיקה בעולם האקדמי.

ללמוד ללמד מתמטיקה של בית ספר יסודי בכפר יונה

ללמוד ללמד מתמטיקה של בית ספר יסודי בכפר יונה

איזה כיף לראות קבוצה של הורים מתנדבים שהחליטה ללמוד מתמטיקה יסודית במסגרת פרוייקט של הקמת מרכז העשרה ישובי בכפר יונה. 

ההורים מגיעים מידי שבוע במשך 12-14 שבועות למתנ"ס בכדי ללמוד איך ללמד תלמידי בית ספר יסודי מתמטיקה.

לאחר סיום ההכשרה יתאפשר להורים להתחיל ללמד בקבוצות קטנות תלמידים בבית ספר יסודי לאחר שעות הלימודים.

מי שעומד ליד הלוח ומעביר את ההכשרה, הוא אני.

מבוא להוראה של הורים את ילדיהם מתמטיקה של בי"ס יסודי

מפגש מספר 1: מבוא וגם על כתה א'

עקומת באטמן
גם זאת מתמטיקה

מתוך הספר איך בוטלה המתמטיקה מאת אביעד קליינברג:

... [כל שיעור מתמטיקה] היה מתחיל תמיד באותו האופן. "נו, אנחנו מוכנים ללמוד מתמטיקה? לעבוד קשה? היה המורה מברר בספקנות". [...] "מוכן" היה משיב בעגמומיות. למשמע התשובה היה פון-שנאוצר משיב בסיפור עלילה מוזר, רצוף במספרים, שהסתיים תמיד בשאלה (שהייתה השאלה האחרונה שיוהנס היה מעלה בדעתו).

שני גננים, פריץ וקרל, שותלים עצמי תפוח בשתי שורות. לפריץ יש 45 שתילים ולקרל 35. פריץ נוטע ארבעה שתילים בכל רבע שעה וקרל – חמישה. אם אחרי חצי שעה יעבור גנב ויגנוב שמינית מן העצים בכל אחת מן השורות, כמה עצים יהיו בגן בסך הכל אחרי שעתיים ורבע וכמה עצים ישארו לכל אחד מן החברים?

עיניו של יוהנס היו מזדגגות כבר במשפט השלישי. למי אכפת כמה עצים ישארו לכל אחד משני החברים? הטרידו אותו שאלות אחרות: מי מדד את קצב העבודה של השניים ברבעי שעה? למה יש לפריץ יותר שתילים מאשר לקרל? למה הגנב המוזר הזה גונב שמיניות? איך אחרי שעתיים ורבע כבר נעשו השניים חברים? הוא לא העז לשאול אף אחת מן השאלות האלה, כמובן.

[נחזור לבעיה שהוצגה בהמשך באחד המפגשים הבאים... המתעניינים מוזמנים לנסות ולפתור בבית]

מה אנחנו ההורים עושים בהשתלמות?

אנחנו ההורים מגיעים כדי ללמוד מה הילדים שלנו לומדים בבית הספר בלימודי המתמטיקה וכיצד אנחנו יכולים להסביר להם באופן שיסייע להם להבין. חלקינו עושים זאת גם מתוך כוונה לקבל כלים שיסייעו לנו ללמד בהתנדבות אחרי שעות הלימודים בבית הספר תלמידים שירצו להעמיק ולהתחזק בנושאים שנלמדים במתמטיקה בבית הספר.

מה ננסה להשיג בהשתלמות?

אין ביכולתנו במהלך 12-14 המפגשים הצפויים של ההכשרה לכסות באופן יסודי ומלא את מלוא הנושאים שנלמדים במתמטיקה בבית הספר היסודי ולהעמיק בכולם כראוי. ננסה להדגים עקרונות בהוראה לילדים ביסודי וננסה, במידת האפשר, לכסות נושאים בתכנית הלימודים מ-א' ועד ו'. נתמקד במיוחד בנושאים שידועים כבעייתיים וככאובים: בעיות מילוליות, מבנה המספר ובשברים (ובאחוזים, כן, גם באחוזים) וכן בנושאים שיועלו מעת לעת על ידי ההורים. לקראת כל שיעור אכין הרבה יותר חומר משנוכל לעבור עליו -- אזכיר את כולו (או את רובו), אעמיק בחלקו ולכם ההורים נותר לקרוא בעיון קריאה פעילה של הרשימות שאעלה לאתר הסדנה ואם ישנן שאלות או תהיות אז פשוט לשאול אותי או את חבריכם. אני מקווה להצליח להציג לכם גישה ועקרונות ולהדגים בדרכים רבות ושונות. שלא תהיינה אשליות שנצא מפה מומחים להוראה בבית ספר יסודי. אבל אלה מכם שיקשיבו ושיעבדו ושיתאמצו יצאו מכאן, אני בטוח, נשכרים.

בשביל מה אנחנו בכלל מתעסקים במתמטיקה?

המתמטיקה אשמה ביותר סיוטים מכל המפלצות גם יחד, כך לפחות מרגיש הנסיך הצעיר יוהנס. האם הוא יוכל בבוא היום להיות מלך – בלי לדעת מתמטיקה? האם המתמטיקה תמשיך להתקיים גם אם המלך יכריז על ביטולה? ומה יכול יוהנס לעשות בקשר לזה? ובכן, מתברר שאפשר לעשות משהו – אם יצליח יוהנס לשכנע את אבא שלו לעזור.

הקטע הוא מתוך איך בוטלה המתמטיקה, מאת, אביעד קליינברג בהוצאת ידיעות ספרים וספרי חמד. הספר אינו ממש קשור למתמטיקה אלא יותר ליחסים שבין יוהנס הצעיר לבין אביו המלך, אבל ניכר וברור שהמחבר מקרין חרדת מתמטיקה רצינית. שווה לקרוא את הביקורת של גדי אלכסנדרוביץ, ד"ר למדעי המחשב מהטכניון, כאן ו-כאן: הוא מסביר מה ענייני ומה אינו ענייני ומנתח יפה, לטעמי את העלילה, את המחבר וגם את ההתקפה הישירה על המתמטיקה.

בכוונתי ללמד אתכם להכיר לילדים חשיבה מתמטית מסודרת באמצעות שפה מתמטיקה מדויקת, שימוש בהגדרות ובמושגים ובתהליכים לוגיים מסודרים. חשיבות רבה נודעת למתמטיקה מההיבט המעשי, היא עונה על צרכי הקיום הבסיסי של האדם כמו: קנייה, מכירה ומשא ומתן; והיא משמשת את המדעים והטכנולוגיה ותורמת לפיתוח החשיבה. דווקא בשל כך, אנשים שמתקשים בלימוד המתמטיקה סובלים מהרגשת תסכול ואין הילדים שונים מהם.  

בדומה ליוהנס מהסיפור, אנשים רבים נואשו מן המתמטיקה: רבים מהם כבר מגיל בית הספר. ואת תחושת החרדה והמיאוס שנצרבו בתודעתם הם נושאים עמם במשך שנים רבות מאז. כישלונות מביכים ותחושת אין-אונים מניבים משפטים כנועים כמו: אפשר להסתדר גם בלי מתמטיקה, מי צריך את זה בכלל, לא כולם נועדו להיות מתמטיקאים, מתמטיקה זה לא בשבילי. עבור רבים מידי, השער לעולם המדהים של המדעים נחסם בכיתה ב', ג' או ד'. מדענים, ובהם מקבלי פרס נובל מביעים שוב ושוב דאגה כבדה ואמיתית לעתיד ההתפתחות המדעית של ישראל. אפשר לסמוך על חוות דעתם. שער נעול למדעים אינו גזרת גורל, אפשר למנוע ואפשר לתקן כך שיפתחו השערים בפני כל תלמיד שיבחר.

אפשר ללמוד מתמטיקה מתוך חדווה וסקרנות, אפשר לחוות את עולם המספרים, השזור כל כך בחיינו, מתוך הבנה אמיתית ותחושת שליטה. כן, אפשר גם להצליח. הניסיון מראה שזה אפשרי ואני פוגש גם ילדים שאוהבים ללמוד מתמטיקה ומביעים תרעומת כאשר הם נאלצים לוותר על שיעורים בשל פעילות אחרת. אני רואה ילדים צעירים מבינים חוקים מתמטיים, עורכים דיונים בכיתה על דרכי פתרון שונות ומשתמשים בשפה מתמטית תקנית. ילדים מתקשים אינם נגררים מאחור וילדים מוכשרים מאותגרים בסוגיות נוספות.

כאשר מלמדים את הכללים והחוקים המתמטיים הנכונים, כאשר מכבדים את הידע האוניברסלי ומשתמשים בו, כאשר מתעמקים במשמעויות ובדקויות – מתרחש פלא משולש: הבנה מתמטית, שליטה, הצלחה.

מתמטיקה היא הרבה יותר מסימנים מוזרים וטריקים לפתרון תרגילים. מתמטיקה היא חלק מן האופן שבו אנחנו מתבוננים ומייצגים את המציאות והיקום בו אנו חיים. הוראת המתמטיקה, לשיטתי, (ולא אני המצאתי, בדברים שאביא בפניכם שזורות תורותיהם של פיאז'ה, ויגוצקי, פוירשטיין ואחרים) מביאה לידי ביטוי חינוך מתמטי על פי כמה עקרונות מובילים.

כמה עקרונות מובילים

בהוראה שלנו נשתמש בכמה עקרונות מובילים. ראשית נפרט אותם ומיד אחר כך נסביר ונדגים:

• שיטתיות: בניית הדברים על פי הסדר הנכון
• דגש על משמעות, כלומר, על הקשר למציאות, של המספר ושל פעולות החשבון
• להתחיל מהמוחשי, דרך הציורי ורק בסוף למופשט
• בנייה מדורגת של ההפשטות
• הימנעות מקיבוע -- לימוד מושגים מופשטים מתוך דוגמאות מגוונות
• שימוש בשפה מדויקת ובניסוחים מפורשים
• העקרונות באים מהילד, מתוך התנסות ומתוך דיון
• למידה מתווכת:
• העברה: היכן העיקרון או הרעיון או השיטה מופיעים במקומות אחרים במתמטיקה ובחיים.
• כוונה והדדיות. 
• משמעות

את השיעור המלא להורים אפשר למצוא באתר "מתמטיקה יסודית להורים".