קבוצת אמהות תלמידי עמל נצחו בגמר מאמארשת בכפר יונה

מיכל, אשתי, מנצחת עם קבוצתה, אמהות תלמידי בית חינוך עמל בכפר יונה, בגמר מאמארשת את קבוצת אמהות תלמידי בית חינוך רימון.

בתמונות אפשר לראות את מיכל זורקת, מנחיתה, תופסת, חוסמת -- ו-חוגגת.

בית הספר עמל קיבל את דמי הזכייה, כ-2500 ש"ח ביום שלמחרת.

הוריי -- אביר ונסיכה

יובל חוגג שבועות

האחיין שלי, יובל נדל, בחגיגות שבועות

האחיינים שלי, נועה ויובל נדל

הוריי בסנט-וולפגנג באוסטריה

austria-st wolfgang-23-31-mayis 2011 839

זכיתי בספר בתחרות כותר השעה של הוצאת מטר

התתפתי אתמול בתחרות כותר השעה של הוצאת מטר. והייתי הראשון (וכנראה גם היחידי) שידע מניין לקוחה הפסקה.

מעניין איזה ספר כדאי לי לבחור מאתר ההוצאה לאור.
יש לכם הצעות?

הנה מה שהיה בפייסבוק:

הוצאת מטר

הזוכה בספר מתנה לבחירה הוא שלמה יונה! הספר ממנו לקוחה הפסקה היא "מדינת הסטארט אפ" של דן סינור ושאול זינגר

מטר - מדינת הסטארט-אפ - דן סינור ושאול זינגר

www.matarbooks.co.il

הספר עונה על שאלת מיליארד הדולר: איך זה שבישראל - מדינה צעירה וקטנה, מוקפת אויבים - הוקמו יותר חברות סטארט-אפ מאשר במדינות גדולות, שלוות ויציבות כמו יפן, הודו ובריטניה? המחברים מתארים כיצד התרבות הישראלית מטפחת צירוף ייחודי של עוצמה חדשנית ויזמית, מראים כיצד מדיניות ישראל בענייני הגירה, מחקר ופית

על הספר הזה כתבתי רשימה לפני כמה שבועות: מדינת הסטארטאפ.

בשביל מה אנחנו לומדים על מספרים מרוכבים ומה עושים עם זה?

בשביל מה אנחנו לומדים על מספרים מרוכבים ומה עושים עם זה?

שלמה יונה

במאמר זה נסביר את הצורך במספרים מרוכבים, נלמד על מקורו של התחום, נראה כיצד מייצגים מספרים מרוכבים ונפגוש תחומים שבהם מספרים מרוכבים ומתמטיקה שמבוססת על מספרים מרוכבים נחוצים והכרחיים ולמעשה הופכים את הנושא לחשוב ולחיוני.  ננסה לעמוד על טיבו של התחום ולנסות ולגבש דיעה האם אכן חיוני ללמוד את הנושא כבר בתיכון או שאולי זה בבחינת דחיסת חומר מיותרת ואולי מוטב היה להשקיע את הזמן ואת המאמץ בחיזוק היסודות של הנושאים האחרים שנלמדים לרבות גיאומטריה ו-גיאומטריה אנליטית.

כל מספר שאנחנו מכירים הוא גם מספר מרוכב. ככל שאנו מתקדמים בלימודים במתמטיקה אנו מגלים שישנן פעולות שהגדרנו שמביאות אותנו בפני בעיות. המתמטיקאים מצאו דרכים להרחיב את מושג המספר כדי ליישב בעיות אלה. הצורך במספרים מרוכבים נולד באותו האופן שנולד הצורך במערכות מספרים אחרות שעליהן אנו לומדים עם השנים: כבר מגיל צעיר אנחנו מכירים את המספרים הטבעיים ואת האפס ומשמעויותיהם כשאנו לומדים למנות ולסדר. בבית הספר היסודי אנו מרחיבים את השימוש שלנו במספרים טבעיים כשאנו לומדים את מבנה המספר. בבית הספר היסודי אנו פוגשים בצורך לחלק מספר טבעי במספר טבעי שגדול ממנו ומגלים שיש לנו צורך בייצוג התוצאה וכך אנו לומדים להכיר את המספרים הרציונליים (למעשה, בבית הספר היסודי מכירים את המספרים הרציונליים האי-שליליים בלבד) כשאנו לומדים שברים. בחטיבת הביניים אנו פוגשים במספרים השליליים כשאנו פוגשים בצורך לחסר ממספר טבעי מספר טבעי שגדול ממנו. למשל, אנו צריכים לפתור את התרגיל ?=3-5 שמתאים למשל לבעיה החשבונית: יש לי שלושה ש"ח ואני צריך לתת 5 ש"ח, מה יהיה מצבי לאחר התשלום?  המפגש במספרים שליליים מרחיב את היכרותנו עם המספרים השלמים ועם המספרים הרציונליים. כשאנו לומדים בחטיבת הביניים להכיר פעולות מתמטיות שחורגות מארבע פעולות החשבון כמו הוצאת שורש ריבועי אנו מגלים את המספרים הממשיים. הדוגמה האהובה היא הוצאת שורש ריבועי ל-2, מה שגרם למבוכה רבה בקרב הפיתגוראים. המפגש הבא שלנו עם בעיה כזאת מתרחש בלימודי המתמטיקה ברמת 5 יחידות לימוד בעקבות הצורך להוציא שורש ריבועי ממספר שלילי. איך אחרת נוכל למצוא פתרון למשוואה כמו x²+1=0? נדמה שנפרדנו מהמציאות כשהגענו לנושא המספרים המרוכבים אך למעשה כל שלב בהרחבה העמיד אותנו בפני בעיה, למשל, בעולם הממשי לא נמצא אף פעם מינוס שלמים, כך שנדמה שאי אפשר לייחס מספרים אלה לקבוצות של עצמים ממשיים כפי שניתן לעשות עם מספרים טבעיים.

יחסי ההכלה בין קבוצות המספרים

במאה השש עשרה ניסה המתמטיקאי ג'ירולמו קרדאנו לפתור בעיה שתיארה חסרת מובן לאלה שאינם מתמטיקאים. הבעיה היתה לפצל את המספר 10 לשני חלקים שמכפלתם תהיה 40. הפתרון שמצא היה שני המספרים: (15-)√+5- ו-(15-)√-5. אך מהו השורש הריבועי של מספר שלילי? לקרדאנו נשמע הרעיון צורם במקצת והוא יצר עבורם את המונח המספרים המדומים, שמשתמשים בו עד היום. 


המתמטיקאים סברו עד לתקופת הרנסנס שכל המספרים ביקום כבר ידועים להם. אפשר לסדר אותם לאורך קו מספרים (מה שמכנים בתוכנית הלימודים בישראל ציר המספרים ולפעמים מכנים אותו הישר הממשי) -- קו ישר אינסופי שבמרכזו מצוי האפס. רפאלו בומבלי, מתמטיקאי, נתקל בבעיה כשניסה למצוא שורש ריבועי ל-1. התשובה: 1, כי 1x1=1 וגם 1- כי מינוס 1 כפול עצמו זה 1. יוצא מכך שהשורש הריבועי של 1 זה גם 1 וגם 1-. בשלב הבא התעוררה הבעיה מהו השורש הריבועי של 1-. השלמות המתמטית נפגמה. נדמה שאין מספרים בנמצא שיכולים להוות פתרון לשאלה הזאת. בומבלי יצר מספר חדש i שכונה מספר מדומה ושימש הפתרון לשאלה מהו השורש הריבועי של 1-. משעה שקיים המספר הזה אז גם אין מניעה שיתקיימו כפולות שלו במספרים אחרים ושלא יהיה ניתן לחבר ולחסר אותו וכפולות שלו. כך מתקבל בעצם מספר מדומה במקביל לכל מספר ממשי. אבל אין מקום למספרים המדומים על הישר הממשי. הפתרון של המתמטיקאים היה לעבור מישר ממשי למישור מרוכב. יצרו קו ישר חדש שישמש לאכלוס המספרים המדומים. ישר זה יוצב בניצב לישר הממשי. כך מתקבלת מערכת צירים בעלת ציר ממשי וציר מדומה. את המספרים המרוכבים אפשר עתה לתאר כקורדינטות על המישור הזה.


השורש הריבועי של 1- מכונה מספר מדומה אך זה אינו מדומה יותר מכל מספר אחר ואינו מופשט יותר מכל מספר אחר. הקושי שלנו נובע מכך שקשה לחשוב על דוגמאות מוחשיות מהחיים שבהם יש צורך במספר שכזה. התרגלנו לחשוב על דוגמאות מהחיים למספרים טבעיים, לשברים, ולמספרים שליליים. מה עם המרוכבים?


הפיזיקאים גילו שמספרים מדומים מספקים את השפה הטובה ביותר לתיאור כמה מהתופעות בעולם הממשי. מספרים מדומים מתבררים כדרך האידאלית לניתוח תופעות תנודה של אובייקטים כמו למשל תנועת מטוטלת. למעשה, הצורך במספרים המרוכבים מגיע כשמנסים לתאר את פעולת המטוטלת ברמה הקוונטית: במתנד הרמוני קוונטי כאשר לתיאור המקובל (באמצעות פיזיקה ניוטונית) של מתנד הרמוני נדרשת הרחבה כדי להשאר נכונה ומדוייקת גם בגדלים קטנים מאוד. מהנדסי אלקטרוניקה משתמשים במספר i לניתוח תנודות זרמי חשמל ופיזיקאים תיאורטיים תיאורטיים מחשבים את השפעת התנודות של פונקציות גל קוונטיות על ידי סיכום חזקות של מספרים מדומים. מתמטיקאים שעוסקים במתמטיקה טהורה מנצלים גם הם את המספרים המדומים כדי למצוא תשובות לבעיות שהיו לפני כן בלתי חדירות.


נפרט כמה מהשימושים של מספרים מרוכבים: לשימושים הרבים של מספרים מרוכבים במתמטיקה (למשל, שימוש בפונקציית זטא לחקר מספרים ראשוניים, שימוש בהתמרות לפלס לטובת פתרון משוואות דיפרנציאליות ועוד.) יש גם ביטוי ותועלת בתחומי מחקר אחרים. קבוצת מנדלברוט, למשל, היא דוגמה לפרקטלים שמהווים כלי לתיאור תופעות טבע, כגון מבנהו של קו החוף,  מבנה של צמחים, המבנה של כלי הדם, התקבצות הגלקסיות, תנועה בראונית והמחירים בשוק ניירות הערך. מספרים מרוכבים משמשים לייצוג מצבם של מעגלים חשמליים ובמשוואות שרדינגר ולתוצאות המתקבלות יש ערך מעשי רב בתכנון רכיבי חשמל, אלקטרוניקה וננו-טכנולוגיה. עוד נראה שצומחת לנו תועלת נוספת מלימוד הנושא בבית הספר שכן רבים מאוד העקרונות והכלים שנלמד ושבהם נשתמש בלימוד המספרים המרוכבים שמשותפים גם לגאומטריה אנליטית ול-ווקטורים. אין זה מקרה שעקרונות ומושגים שימושיים גם בנושאים ובתחומים אחרים מעבר ללימוד הנושא בעצמו.


מהו מספר מרוכב?


מספר מרוכב הוא מספר שמורכב משני חלקים: חלק ממשי וחלק מדומה. החלק הממשי הוא מספר ממשי כלשהו. החלק המדומה  גם הוא  ממשי, אך הוא נכפל ביחידה מדומה. היחידה המדומה, שמסומנת ב-i, מוגדרת כך שריבועה הוא 1-.


כיצד מייצגים מספר מרוכב?


מספר מרוכב הוא מספר z מהצורה z=a+b⋅i כאשר a ו-b הם מספרים ממשיים, ו-i הוא השורש הריבועי של מינוס אחת: i²=-1. ייצוג של מספר מרוכב באופן זה נקרא הצגה קרטזית על שמו של רנה דקארט. זהו הייצוג המקובל של נקודות במישור. המישור שעליו נמצאות הנקודות שמייצגות את המספרים המרוכבים מכוּנה המישור של גאוס או המישור המרוּכב. בהצגה זו המספרים המרוכבים מתוארים במערכת צירים , כאשר לכל מספר מרוכב z=a+b·i מותאמת נקודה יחידה (a,b) ולהפך, לכל נקודה יחידה (a,b) מתאים מספר מרוכב z=a+b·i. הציר האופקי מכוּנה הציר הממשי והציר האנכי מכוּנה הציר המדוּמה.

הצגת המספר 3+2i במישור המרוכב [מתוך הערך "המישור המרוכב", ויקיפדיה בעברית]

הצגה מקובלת נוספת של מספר מרוכב היא הצגה קוטבית (הצגה פולארית). בהצגה זאת, במקום לתת לכל מספר מרוכב ערך לחלק הממשי וערך לחלק המדומה שלו, ניתנים לו שני ערכים אחרים: המרחק מראשית הצירים (הרדיוס) והזווית בין הכיוון החיובי של הציר הממשי לקטע המחבר את הנקודה עם ראשית הצירים (נקודת האפס). כך לדוגמה המספר המרוכב z שמרחקו מראשית הצירים הוא r והזווית היא θ יוצג בהצגה פולארית על ידי הנקודה (r,θ).


שלא כמו במספרים הממשיים, מעל המספרים המרוכבים יש שורש לכל פולינום, לא רק למשוואה x²=-1 שעל מנת למצוא לה פתרון הוגדר i מלכתחילה, אלא גם למשוואות כמו x⁶+x²+1=0 או אפילו x⁵+(2-i)⋅x+7⋅i=0. תכונה זו של שדה המספרים המרוכבים מנוסחת במשפט היסודי של האלגברה, והיא שהופכת את המספרים המרוכבים למרכזיים כל כך במתמטיקה המודרנית.


הבנייה הזאת נראית מוזרה ושרירותית? גדי אלכסנדרוביץ' כתב ביומן הרשת שלו, לא מדויק, רשימה מעניינת שבה הוא מראה כיצד הבנייה הזאת טבעית ושימושית. שווה לקרוא: ובתפקיד היפה והחנון – פולינומים ומרוכבים.


איך נוצר הצורך במספרים מרוכבים?

התשובה הקצרה: מתמטיקאים נתקלו בבעיה: "איך להוציא שורש ריבועי למספר שלילי ומהי המשמעות של הפעולה הזאת?".

התשובה הארוכה, ארוכה יותר: נוצר צורך טבעי בהתפתחות מושג המספר כפי שקרה כמה פעמים במתמטיקה וגם באופן שאנחנו פוגשים את המספרים: ההתחלה כנראה במקרים שבהם אפשר להסתפק במנייה של "אחת", "שתיים", "הרבה". משם ההתקדמות היא למנייה מ-"אחת" ועד "עשר". מנייה זו היא טבעית כי לאדם עשר אצבעות. בהמשך נוצר הצורך בתיאור יחסים כמו חצי, שלושה רבעים וכדומה. המתמטיקה היוונית הכירה בשני מושגים נבדלים: מספר, שהוא בהכרח מספר טבעי, וגודל - אורך של קטע - שמנקודת מבט מודרנית יכול לייצג כל מספר ממשי חיובי. ההתאמה בין שני המושגים התבססה על ההנחה הסמויה, שכל אורך קטע אפשר להכפיל במספר שלם כדי לקבל מספר שלם; כלומר, שכל אורך הוא למעשה מספר רציונלי, שאותו למדנו לייצג כמספר מעורב או כשבר פשוט או כשבר מדומה. המשבר שעברה המתמטיקה הפיתגוראית כאשר התברר שישנם מספרים לא רציונליים (כדוגמת שורש 2) חלף בלי להותיר חותם על תפיסת מושג המספר, וכך נותרה ההבחנה היוונית בעינה עד סוף המאה ה-15.

בתחילת המאה ה-16, בהשפעת המתמטיקאים ההודים, הפך האפס בהדרגה למספר לגיטימי. המספרים השליליים רכשו את מעמדם העצמאי במהלך המאות ה-16 וה-17; ב-1591 סיכם פרנסואה ויאטה בספר את התגליות של ג'ירולמו קרדאנו, ניקולו טרטליה ואחרים על פתרונן של משוואות ממעלה שלישית ורביעית, וחולל מהפכה חשובה בסימון המתמטי, כשהכניס לשימוש אותיות במקום פרמטרים (ולא רק במקום נעלמים, כפי שהיה נהוג עד אז). עם זאת, האותיות עדיין מייצגות מספרים חיוביים בלבד. גם דקארט, שהנהיג את ההפרדה (המתודית) בין אותיות כ-a,b,c לציון פרמטרים ואותיות כ-x,y,z לציון משתנים, מניח כמובן מאליו שכל משתנה חייב לייצג מספר חיובי. מעניין לקרוא את שכתב קרדאנו בספרו, האמנות הגדולה, שפורסם ב-1545: שכשניסה לפתור את המשוואה x³=15x+4, הגיע לביטוי שכלל את המספר (121-)√:

 ופרסם פתרון שכולל התייחסות ראשונה לרעיון כי ייתכן מספר שהוא שורש ריבועי של מספר שלילי, אך קרדאנו לא הבין את גודל תגליתו וראה במספרים אלו "מספרים חסרי תועלת".

החידוש שבפתרון משוואות ממעלה גבוהה אילץ את המתמטיקאים בני התקופה להכיר בקיומם של מספרים מרוכבים, ויחד איתם גם במספרים ממשיים שליליים. אצל ניוטון, ובמיוחד לייבניץ, שהיה אשף הסימון הקולע, כבר מתקיימים המספרים השליליים לצד החיוביים, ללא כל אבחנה. עד סוף המאה ה-17 נכנסת גישתו של ויאטה לשימוש כולל, כאשר אותיות יכולות לייצג כל מספר, וה"מספר" מקבל את משמעותו הרחבה ביותר,מספר מרוכב. רפאל בומבלי פרסם בשנת 1572 סדרת כללים לעבודה עם מספרים מרוכבים. בשנת 1637 קבע דקארט כי לכל פולינום ניתן "לדמיין", כלשונו, שורשים שמספרם כמעלת הפולינום, אך אינם מהווים גדלים כמותיים בעלי משמעות. אלברט ג'ירארד, בהסתמך על עבודות קודמיו, היה הראשון לנסח את עקרונות המשפט היסודי של האלגברה הקובע כי לכל פולינום נתון קיימים מספר שורשים כמעלתו. הוכחה מלאה ומפורטת של המשפט היסודי של האלגברה ניתנה לבסוף על ידי גאוס.

אבל מה עם דוגמה פשוטה מהחיים שתתן מוטיבציה ללמוד את זה?

אפשר לומר שבעיה די בסיסית באלגברה לינארית היא מציאת הערכים העצמיים למטריצה הריבועית

שהם השורשים של המשוואה λ²+1=0. אבל בהחלט ברור לי שזאת אינה ממש מוטיבציה לתלמידים בתיכון, שלא ראו מטריצה מימיהם ואינם יודעים למה מטריצות עשויות לשמש ושאת צעדיהם הראשונים באלגברה לינארית הם יעשו על ידי לימוד של ווקטורים ורובם אפילו לא יבינו שזה באותו תחום של אלגברה לינארית כאשר יגיעו ללימודי מתמטיקה באקדמיה... 

הבא נבחין בין שני דברים שונים כאשר אנו מנסים למצוא דוגמאות מהחיים לשימוש במספרים מרוכבים:

1. כמויות במציאות אשר מתוארות באופן טבעי וברור יותר באמצעות מספרים מרוכבים לעומת תאורן באמצעות מספרים ממשיים

2. כמויות במציאות אשר מתוארות באופן טבעי באמצעות מספרים ממשיים ויחד עם זאת מובנים באופן מיטבי באמצעות מתמטיקה של מספרים מרוכבים

הבעיה היא שרוב התלמידים מחפשים דוגמאות מהסוג הראשון, אשר הן נדירות ביותר ולעומת זאת דוגמאות מהסוג השני ישנן למכביר.

הנה כמה דוגמאות מהסוג הראשון, כבוגר הפקולטה להנדסת חשמל בטכניון קל לי לחשוב על דוגמאות כאלה. אולי הן גם יהיו אינטואיטיביות יותר לתלמידי מגמות פיסיקה שלומדים חשמל ומגנטיות בתיכון:

מצבו של מעגל חשמלי מתואר באמצעות שני מספרים ממשיים, המתח החשמלי V והזרם החשמלי I. למעגל חשמלי גם יש קיבול C והשארות L אשר משמשים (אם נפשט את העניין) לתיאור נטייתו של המעגל להתנגד למתח ולזרם, בהתאמה. באמצעות מספרים מרוכבים נוכל לתאר כל צמד גדלים על ידי מספר מרוכב יחיד: Z=V+i⋅I לתיאור מצב המעגל ו- ω=C+i⋅L לתיאור העכבה של המעגל. כמובן שאת חוקי קירקהוף ואת משוואות מקסוול ושאר הפעולות המתמטיות שנרצה להפעיל, נוכל לבצע באמצעות האריתמטיקה של מספרים מרוכבים.

דוגמה נוספת באה מתחום האלקטרומגנטיות: נתאר שדה אלקטרומגנטי באמצעות מספר מרוכב אחד תחת תיאור באמצעות שתי כמויות ממשיות. הגודל שמתאר את עוצמת השדה החשמלי משמש כחלק הממשי של המספר המרוכב ואילו הגודל שמתאר את עוצמת השדה המגנטי משמש כחלק המדומה שלו.

הבעייתיות בשתי הדוגמאות שלי היא גם שלא הכול בקיאים בחשמל ובמגנטיות ואולי בעיקר משום שאין זה ברור מדוע אין זה טבעי יותר לתאר באופן דומה את הגדלים הללו בתור וקטורים דו ממדיים.

לכן, אולי חשוב יותר להתייחס לסוג השני של דוגמאות של יישומים של מספרים מרוכבים. ננסה לעשות זאת באמצעות אנלוגיה לייצוג יחסים (פרופורציות). נניח שאנו מודדים שתי אוכלוסיות: אוכלוסייה א' של 300 סטודנטים של מכללה שמתוכם 60 מתחת לגיל 18 ואוכלוסייה ב' של 1350 סטודנאים של אוניברסיטה שמתוכם 135 מתחת לגיל 18. נוכל לציין את החלק היחסי של התלמידים בני 18 ומטה באמצעות היחס 60/300 במכללה ו-135/1350 באוניברסיטה. יכולים היינו לתאר את הגדלים הללו גם על ידי 0.2 (20%) במכללה ו-0.1 (10%) באוניברסיטה. בכל אופן, ניכר שהאוכלוסייה במכללה "צעירה" יותר מזאת שבאוניברסיטה באופן יחסי. חשוב להבחין שייצגנו את המידע באמצעות מספרים שאינם שלמים אף על פי שלא ניתן למדוד אוכלוסיות באמצעות מספרים שאינם שלמים. המספרים הטבעיים הם בהחלט טבעיים למניית הפרטים באוכלוסייה. השברים (המספרים הרציונליים) שהשתמשנו בהם זרים ואינם טבעיים לבעיה באופן דומה לזרות לכאורה של מספרים מרוכבים לבעיות מהחיים. יחד עם זאת זה לא מנע בעדנו מלהרחיב את מושג המספר עוד בבית הספר היסודי כדי לנצל את התועלת שבשימוש במספרים אלה.

תלמידים שלומדים חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (חדו"א) יכולים בהחלט להשתתף בדיון שבו יש ניסיון לפתור משוואה מהסוג
a⋅y''+b⋅y'+c⋅y=0 עבור פונקציה לא ידועה y כלשהי. נוכל לספר להם שניתן למצוא את הפתרון אם נוכל לפתור את המשוואה הריבועית הבאה a⋅r²+b⋅r+c=0 עבור המשתנה r. צריך להודות שייתכן שלא יהיו לנו שורשים ממשיים, אך במספרים המרוכבים יש שורשים וניתן למצוא את כולם ולאחר שנמצא אותם נוכל לברור מתוכם את השורשים הממשיים שמתאימים לבעיה "מהחיים" שלנו. במקרה הזה השימוש הוא בהתמרת לפלס לפתרון המשוואה הדיפרנציאלית הרגילה.

מסקנות:
אפשר למצוא תירוצים כיצד מספרים מרוכבים עוזרים לנו לפתור בעיות ביום-יום באופן שיניח את דעתם של תלמידי מתמטיקה ב-5 יחידות לימוד. יחד עם זה הדוגמאות מאולצות ונדמה שהמוטיבציה העיקרית היא שהיישומים בנושאים מתקדמים, לרבות במתמטיקה מתקדמת יותר, דורשים את הידע הזה. באופן אישי, אינני בטוח שהחומר הזה הכרחי בתיכון.

מוטב היה אולי להשקיע יותר בלימודי גיאומטריה, טריגונומטריה, ווקטורים ובגיאומטריה אנליטית תוך ביסוס איתן על אינטואיציות שמתקשרות למציאות בשניים ובשלושה מימדים -- ואז להשאיר את הנושא של מספרים מרוכבים לקורסים באוניברסיטה שם ממילא חולפים על הנושא ביעף, ובצדק, שכן מי ששולט בפולינומים, בווקטורים ובגיאומטריה אנליטית, חזקה עליו שיראה מאופן הבנייה של המספרים המרוכבים את הדמיון ואת אותם העקרונות.

כדי להציג דעה שכנגד: הנושא מאפשר התעסקות בתחום חדש בעקרונות מוכרים ומשלב גם נושאים מטריגונומטריה (לטובת המרות בין הייצוגים פולארי וקרטזי). -- אכשהו, עדיין לא השתכנעתי שהנושא הכרחי. אני ממשיך לחפש אינטואיציה ומוטיבציה טובות יותר כדי להצדיק את הלימוד של מספרים ראשוניים בתוכנית הלימודים במתמטיקה בתיכון.


מקורות:

1. אלגברה בסיסית, ויקיפדיה בעברית
2. ג'ירולמו קרדאנו, ויקיפדיה בעברית
3. התפתחות מושג המספר, ויקיפדיה בעברית
4. המישור של גאוס, ויקיפדיה בעברית
5. מספר מרוכב, ויקיפדיה בעברית
6. מערכת צירים קרטזית, ויקיפדיה בעברית
7. שדה המספרים המרוכבים, ויקיפדיה בעברית
8. מלכת המדעים, שער למדע, כרך חמישי, עמודים 771-772, הוצאת מסדה, 1971
9. מבוא לתולדות המתמטיקה, חלק ב': הרנסנס והזמן החדש, שבתאי אונגרו, אוניברסיטה משודרת, משרד הבטחון, 1989
10. המשפט האחרון של פרמה, סיימון סינג, ידיעות אחרונות, ספרי חמד, ספרי עליית הגג, 2003
11. Complex Numbers in Real Life

Computational Linguistics is available online freely

Computational Linguistics, the longest running publication devoted exclusively to the design and analysis of natural language processing systems, is considered as a good refereed journal to publish results. Starting with Volume 35, Issue 1, Computational Linguistics became an open access journal, freely available to all online readers.  There is no longer a print edition. Back issues in print from Volumes 34 and earlier are still available. Click the Order/Subscribe for more details. So reports Robert Dale, CL's editor in chief.  http://www.mitpressjournals.org/loi/coli (Thanks to my friend Miki Tebeka for letting me know).

הוראת משמעויות פעולות החשבון במספרים טבעיים לתלמידי בית ספר יסודי

במסגרת שיעורי העשרה לתלמידים מצטיינים בכתות ו' בבית ספר עמל בכפר יונה התחלתי ללמד בשיעורים האחרונים את המשמעויות השונות של 4 פעולות החשבון הבסיסיות.


בשיעור אחד למדנו על משמעויות החיבור ואפילו הספקנו לדבר על שתיים מתוך שש משמעויות של החיסור: חיסור של גריעה וחיסור של הפרדה. הנה חומרים שיסייעו ללמד וללמוד את משמעויות החיבור ואת משמעויות חיסור של גריעה וחיסור של הפרדה.
בשיעור שאחריו נלמדות שתי משמעויות נוספות של חיסור: חיסור של השוואה וחיסור של השלמה לשלם. מתחילים לעמוד על ההבדלים בין ארבע המשמעויות שכבר נלמדו. והנה חומרים להוראה וללימוד של חיסור של השוואה וחיסור של השלמה לשלם.
בשיעור נוסף נלמד על שתי משמעויות נוספות של חיסור: חיסור של ספירה לאחור וחיסור של ירידה/עלייה ונסכם את כל שש המשמעויות של החיסור. הנה חומרי השיעור המסכם הזה. 
שיעור נוסף יוקדש לעיסוק במשמעויות פעולת הכפל. הנה חומרי השיעור על משמעות הכפל.
ונזדקק לשיעורים נוספים כדי לדון במשמעויות של פעולת החילוק: חילוק לחלקים, חילוק להכלה, חילוק למציאת יחס וכמובן על יחסי הגומלין שבין פעולת החילוק לבין השברים הפשוטים והמשמעויות השונות של השבר הפשוט. הנה קישור לחומרי הלימוד לשיעור על משמעויות של חילוק והנה קישור לחומרי הלימוד לשיעור על משמעויות היחס.


הנושאים הללו מוזנחים בדרך כלל בלימודי החשבון בבתי הספר היסודיים -- את חוסר ההבנה ותוצאותיו רואים בחטיבת הביניים ובתיכון בקלות אצל תלמידים שמתקשים במניפולציות אלגבריות ובפתרון בעיות מילוליות. המצער הוא שהתרופה בדרך כלל בלימודי העל יסודי היא להוריד רמה וגם לתת תבנית פתרון או כלל. כפועל יוצא מקבלים חרדת מתמטיקה, יכולת אפיזודית בפתרון וחוסר יכולת להבין מה עושים ומדוע וקיבעון (חוסר יכולת להשתחרר משימוש בנוסחה או משיטה שהצליחה פעם -- גם אם אלה אינן מתאימות בכל מקרה או שאינן יעילות).


את הנושאים החשובים הללו לומדים תלמידים שעובדים בבית הספר ובבית עם ספרי מתמטיקה יסודית. כל השאר -- בדרך כלל אינם. אני אנסה להכין מידי שבוע עוד ועוד חומר מסודר שמורים והורים יוכלו להשתמש בו כדי להסביר לילדים וגם להבין בעצמם.

ציור חדש שקיבלתי מניר

ציורים חדשים שקיבלתי מאביב

40% ו-60% הנחה בהוצאת מאגנס לקראת חודש הספר העברי

בהוצאת מאגנס יש מבצעים לקראת ארועי שבוע הספר. שם מדובר על חודש שלם.
הנה הקישור למבצעים.













60% ו 40% הנחה לכבוד חודש הספר העברי

בתוקף בין התאריכים: 30/06/2011 - 22/05/2011

מבצעי חודש הספר העברי
רוב ספרי ההוצאה כעת ב  40% הנחה
מלבד: ספרים חדשים, ספרים אלקטרונים, אסופות דיגטליות, סדרות, כתבי עת, כתר ארם צובא,

חוברות שיווק, ספרי קורס וספרים בעותקים אחרונים.

אין כפל מבצעים.

ספרים חדשים ב20% הנחה.


מבחר ספרים ב 60% הנחה
תמונות הספרים המשתתפים במבצע 60% מופיעות מטה.

משמעויות של פעולות החשבון -- משמעויות החיבור ושתי משמעויות של חיסור

על חשיבות ההתייחסות למשמעויות השונות של פעולות החשבון כבר כתבתי בעבר. החלטתי לנסות הפעם להציג את הנושא בסדנת המתמטיקה שאני מלמד בבית הספר היסודי עמל בכפר יונה.

בשיעור הראינו שיש לחיבור שתי משמעויות שונות ולמדנו על הדומה ועל השונה ביניהן. בהמשך גם ראינו שיש לחיסור שתי משמעויות שונות (אלה שתי משמעויות ראשונות שהצגתי לתלמידים מתוך שש משמעויות שיש לחיסור).
הנה הקישור לשיעור: שיעור מספר 7.

שתיים מתוך שש משמעויות של חיסור שבהן עסקנו בשיעור הן:
חיסור של גריעה וחיסור של הפרדה.
יש סרטון ביתי חובבני שבו אני מצולם כשאני מסביר בקיצור נמרץ את העניין לקבוצת ילדים בגילאים שונים.



בשיעור בסדנה הקדמתי לנושא הסברים על סיפור חשבוני ועל בעיה חשבונית ועל שלם וחלקיו ולאחר דיון והבנה של משמעויות שונות בחיבור. הנה סיכום קצר של החלק שבו עסקתי בשיעור בחיסור של גריעה ובחיסור של הפרדה:

מורה: נתבונן בתמונה. מהו סיפור החשבוני שאפשר לספר עליה?

תלמיד: מצוירים חמישה בלונים. שניים התפוצצו.

מורה: תודה. ומהי בעיה חשבונית מתאימה שאפשר להציע לפי התמונה והסיפור?

תלמיד: היו לי חמישה בלונים. שניים התפוצצו. כמה בלונים נשארו לי?

מורה: מהו השלם בסיפור שלנו?

תלמידים: ??

מורה: נכנה בשם שלם את הגודל או את הכמות בסיפור שלנו שהחלטנו שיהיו השלם.  קבוצת פריטים שנלקחו מהשלם שהחלטנו עליו נכנה בשם חלק (או -- חלק מהשלם). עכשיו, מי יכול להציע מה יהיה השלם בבעיה החשבונית שלנו?

תלמיד: השלם: 5 בלונים

מורה: תודה. ומהם חלקי השלם בבעיה החשבונית שלנו?

תלמיד: שלושה בלונים שנשארו -- חלק אחד. שני בלונים שהתפוצצו -- חלק שני.

מורה: יש חלקים נוספים?

תלמיד: לא במקרה הזה.

מורה: נתבונן בתרשים שמתאר שלם וחלקיו לבעיות מסוג זה

מורה: הנה תמונה נוספת. אבקשכם להציע סיפור חשבוני ובעיה חשבונית וגם תרשים ותרגיל. אח"כ נדון בדומה ובשונה בין שני המקרים שהצגתי לכם.

הסיפור החשבוני: ישנם 5 בלונים. שניים אדומים ושלושה ירוקים.

בעיה חשבונית: היו לי 5 בלונים שחלקם בצבע ירוק וחלקם בצבע אדום. 3 מהבלונים אדומים והשאר ירוקים. כמה ירוקים?

תרשים ותרגיל:

אנו רואים שיש הבדלים בסיפורים ובבעיות, אך התרשים והתרגיל בשני המקרים זהים.

במקרה הראשון גרעתי (לקחתי, הסרתי, השמדתי, פוצצתי...) ממספר הבלונים ומספר הבלונים בסוף הסיפור היה שונה ממספרם בתחילת הסיפור.

במקרה השני הפרדתי בין הבלונים, לפי הצבע, ואין שינוי במספר הבלונים בסך הכול בתחילת הסיפור ובסופו.

חיסור של גריעה

בחיסור הזה נתון שלם. אנחנו מחסרים ממנו כמות כלשהי על ידי העלמה או מסירה או אכילה או גריעה או סילוק או כל פעולת הרחקה שהיא ובודקים מהו החלק שנותר.

דוגמא לבעיה מסוג זה:

היו לי 11 מפתחות בצרור. 2 מפתחות אבדו. כמה מפתחות נותרו?

משמעותה, היה שלם כלשהו שהכיל 11 מפתחות. 2 מפתחות הלכו לאיבוד, כלומר, הם הורחקו מהשלם. בצרור נותרו 9 מפתחות.

התרגיל:

9 מפתחות =  2 מפתחות  -   11 מפתחות

זהו החיסור הבסיסי והטבעי.

חיסור של הפרדה

בחיסור זה נתון השלם ובתוכו קבוצות שאנו מפרידים ביניהן על ידי חיסור על סמך תכונה מבדלת.

יש לי 11 מפתחות בצרור. 2 מהם גדולים והיתר קטנים. כמה מפתחות קטנים יש לי?

התרגיל:

9 מפתחות =  2 מפתחות  -   11 מפתחות

כפי שרואים מהבעיה שבדוגמא, אין בה כל גריעה. יש בה הפרדה של איברי הקבוצה הכוללת לשתי תת-קבוצות לפי קריטריון שהוחלט עליו. בבעיה זו הקריטריון הוא: גודל.

על אותה קבוצת מפתחות אפשר להמציא בעיות נוספות, כמו:

בצרור 11 מפתחות. 7 מהם אדומים והיתר ירוקים. כמה מפתחות ירוקים בצרור?

הקריטריון שנבחר הפעם להפרדה הוא: צבע.

או:

בצרור 11 מפתחות. 5 מהם מפלסטיק והיתר ממתכת. כמה מפתחות מתכת היו בצרור?

התכונה שנבחרה הפעם להבדלה בין הקבוצות היא: סוג החומר.

ואפשר למצוא עוד תכונות מבדילות, למשל, טיב המפתחות.

משימה:

המציאו לתרגיל 5=9-4 בעיה אחת של גריעה ובעיה אחת של הפרדה.

נעזרתי רבות לצורך ההסברים במקורות הבאים ואני ממליץ מאוד להורים ולמורים לקרוא בהם לטובת העמקה ולעיון נוסף:

• חשבון להורים, ספר למבוגרים על מתמטיקה של ילדים, מאת רון אהרוני, הוצאת שוקן
• שליש לחלק לרבע, המחשבה שמאחורי החישוב, מאת מירה עופרן, הוצאת רכס
• חשיבותם של סיפורים חשבוניים, מאת חני גביש
• המשמעויות השונות של החיסור ותרומתן לפיתוח החשיבה מאת תלמה גביש