תמונות מטיול משפחות קבוצת "סופה" מאמא רשת כפר יונה בפארק נשר

תמונות מטיול משפחות קבוצת "סופה" מאמא רשת כפר יונה בפארק נשר

גזע עץ

גזע עץ

הילדים במסיבת פורים באאוטבריין

אני פורים

משלוח מנות שהכנתי:

תמונות פורים שצילמו אותי באאוטבריין:

כיצד מחשבים היקף של מצולע?

כיצד מחשבים היקף של מצולע?

מהו היקף וכיצד מחשבים אותו?

היקף של צורה דו-מימדית הוא האורך הכולל של השוליים של הצורה. איך מחשבים היקף? ניעזר בדמיון: נדמיין שאנו אוחזים בידינו חוט דימיוני שקצה אחד שלו אנו מקבעים בנקודה מסויימת על שולי הצורה שאת היקפה אנחנו רוצים לחשב ואת שאר החוט אנו מניחים לאורך השוליים של הצורה עד אשר אנחנו מקיפים אותה כולה, זאת אומרת, עד אשר הגענו בחזרה לקצה החוט שקיבענו ונחתוך אותו. עתה כדי לדעת מה אורכו של ההיקף נמדוד את אורכו של החוט מהקצה האחד שקיבענו ועד לקצה השני שחתכנו.

איך מחשבים היקף של מצולע?

השיטה שתיארתי עם החוט הדימיוני תעבוד. אבל במצולעים אפשר פשוט למדוד את סכום אורכי הצלעות ולקבל את אורך ההיקף של המצולע.

למצולעים מסויימים יש תכונות שמקילות עלינו, למשל, למעויין יש 4 צלעות שוות אורך ולכך כדי לחשב את אורכן היקפו של מעויין אפשר פשוט לחשב כמה הם 4 פעמים אורך הצלע ולקבל את ההיקף.


מהו מצולע? 

מצולע הוא קו שבור סגור. טוב, אז מה זה קו שבור סגור? קו שבור סגור הוא מושג שמתאר אוסף של קטעים, כך שכל קטע באוסף מחובר משני צדדיו לקטעים אחרים. קטע הוא ישר שמוגבל משני צדדיו. כל הקטעים שמרכיבים את המצולע לפי התיאור שלי שאינם נמצאים על אותו ישר נקראים צלעות. קווים שבורים סגורים שחותכים את עצמם אינם נחשבים למצולעים. ולכן הצורה 

אינה מצולע.

אנחנו מכירים מצולעים מחיי היום יום. הדרך לזהות אותם וגם לכנות אותם בשם היא לפי מספר הצלעות שלהם:

• מצולע שיש לו 3 צלעות נקרא מְשוּלש
• מצולע שיש לו 4 צלעות נקרא מְרוּבע
• מצולע שיש לו 5 צלעות נקרא מְחוּמש
• מצולע שיש לו 6 צלעות נקרא מְשוּשה
• מצולע שיש לו 7 צלעות נקרא מְשוּבע
• מצולע שיש לו 8 צלעות נקרא מְתוּמן (ולא משומן...). המילה מתומן מגיעה משמה של הספרה 8 בערבית. גם המילה תמנון (יצור ימי שיש לו 8 זרועות) מגיע מאותו המקור.
• מצולע שיש לו 9 צלעות נקרא מְתוּשע
• מצולע שיש לו 10 צלעות נקרא מְעוּשר

סוגי משולשים מתוך מילון המונחים בגיאומטריה
 של
האגף לתכנון ולפיתוח תוכניות לימודים
 במשרד החינוך

יש לכל סוג מצולע שכזה גם  חלוקה פנימית לסוגים מפורטים יותר.

למשל, במשולשים, אנחנו מכירים משולש חד-זוויות, שהוא משולש שכל זוויותיו חדות; משולש ישר זווית, שהוא משולש שיש לו זווית ישרה; משולש קהה זווית, שהוא משולש שיש לו זווית קהה; משולש שווה שוקיים, שהוא משולש שיש לו שתי צלעות שאורכן זהה; משולש שווה צלעות... במרובעים, למשל, אנחנו מכירים, טרפז, דלתון, מעויין, מקבילית, מלבן ו-ריבוע.

מתמטיקה כאופנה, כמגמה וכטרנד בגוגל טרנד'ס

בדקתי את תבנית השימוש במילה מתמטיקה ב-Google Trends. התרשים שקיבלתי הנה מעניין ביותר: התרשים מציג  את האופנה בשימוש במילה "מתמטיקה" בישראל -- נראה שבאמצע של כל שנה יש שיא באזכור המילה "מתמטיקה". אני סקרן מאוד להבין מדוע.

באותה ההזדמנות הסתקרנתי להשוות מה קורה עם המילה בארה"ב, אז בדקתי את המילים mathematics ו-math ב-Google Trends כדי להבין את שינויי האופנה (המגמה, או ה-טרנד, בלעז) בשימוש במילים הללו בארה"ב. הנה התוצאות:

נראה שהדעיכה בשימוש במילה Mathematics משלימה את הנסיקה בשימוש במילה Math.
בולט במיוחד בתרשימים מארה"ב השפל העונתי בשימוש במילים Mathematics/Math, להבדיל משיא עונתי בישראל.

מסקרן ביותר.

יש רעיונות?

חוק המספרים הגדולים וכותרות בהארץ

טוב שיש מתמטיקאי שיבאר ושיפריד את השטויות מהעובדות וגם יתבל בידע מעניין. תודה רבה לגדי אלכסנדרוביץ.
http://www.gadial.net/?p=1516

הפנו אותי אל מאמר מתוך "דה-מרקר" שבתורו נלקח, לא פחות, מה"ניו-יורק טיימס". המאמר מתהדר בכותרת "סיבה לדאגה לאפל? "חוק המספרים הגדולים יוביל לנפילתה"" ובכותרת המשנה "החוק שהוכיח מתמטיקאי שווייצי בן המאה ה-17 עשוי לבשר על כך שגורלה של אפל יהיה זהה לזה של חברות ענק קודמות" – וזה, מה נאמר, כמו דם במים בשביל כריש.

חוק המספרים הגדולים עושה אותך כזה קטן
בבלוג של גדי אלכסנדרוביץ, לא מדויק.

שרבוטים להמחשת מושגי יסוד, רעיונות ועקרונות בסיסיים בפיסיקה ובמתמטיקה

לתאר את היקום במשוואה אחת: המתמטיקה כשפת המדע:
http://www.youtube.com/watch?v=HVO0HgMi6Lc

Theory of Everything (intro)

www.youtube.com

A brief intro to the current theory of (almost) everything - the Standard Model of particle physics. It's like cake, only universal. minutephysics is now on ...

הסדרה כולה בערוץ הזה משעשעת, קליטה, נגישה, מעניינת ומלמדת.

מדובר בעקרונות ובמושגים בסיסיים בפיסיקה.

מומלץ מאוד.

http://www.youtube.com/user/minutephysics/feed

MinutePhysics
Simply put: cool physics and other sweet science. "If you can't explain it simply, you don't understand it well enough." ~Rutherford via Einstein? (wikiquote)

באותו עניין, יש ערוץ יוטיוב של בחורה שבאמצעות שרבוטים מסבירה רעיונות, מושגים ועקרונות מתמטיים. זה מקסים, משעשע, נגיש, מעניין ומחכים. יופי של גישה! 

גם זה, מומלץ מאוד.

http://www.youtube.com/user/Vihart

Vi Hart - Mathemusician

תפסת מרובה, לא תפסת בהוראת הטכנולוגיה והמדעים בבית הספר

קראתי בעיון את עמדתו של אהוד קינן במאמרו שפורסם ב-ynet תחת הכותרת "מי יציל את הוראת המדעים ממשרד החינוך?". אני מצטט כמה משפטים שלדעתי הם משפטי מפתח:

"לימוד המקצועות המדעיים באופן מובנה, כפי שנהוג בבתי הספר בכל העולם, כרוך במאמץ, במימון, במעבדות מצוידות, במורים טובים. מערכת החינוך הישראלית אימצה את מדיניות הישראבלוף, כאלטרנטיבה זולה מאד, אשר מאפשרת להציג "כאילו" הישגים, מבלי להתאמץ."

[...]

"זוהי תכנית לימודים שרלטנית, המבוססת על ערב רב של סיפורי מעשיות, הלקוחים באופן אקראי מתוך עתונות פופולרית של מדע לקהל הרחב, מהסוג שניתן למצוא בחדרי המתנה של מספרות ומרפאות שיניים או במוספי סוף השבוע.

התלמידים, שאינם יודעים מהי חומצה אמינית, מהי מולקולת סוכר ומהו קשר כימי, שומעים את הסיפורים הללו ברמה של צ'יזבטים מסביב למדורה. הדבר היחידי שהם לומדים היטב, הוא העיקרון שאפשר להצליח בלימודים בלי להתאמץ.

לדעתו של פרופסור חיים הררי, "ללמוד טכנולוגיה בלי מדע זה ללמוד את הטכנולוגיה של אתמול. לכן אין שום טעם ושום היגיון ללמד מישהו את הפרטים הטכניים של מה שהולך היום. מי שלומד טכנולוגיה צריך ללמוד את אותם הדברים שיישארו נכונים גם בעוד 10 שנים."

אז מה המסקנה שלי? להפחית את ה"חגגת", להפסיק עם ה"כאילו" (כאילו טכנולוגיה, כאילו רופאים, כאילו בוני רובוטים..., כאילו) ולהתעסק במהות, ביסוד, בעיקר: את הטכנולוגיה ואת החדשנות יביאו ילדינו עם יסודות חזקים בשפה, במתמטיקה ובמדע -- ברמה הבסיסית והיסודית -- אחרי שיודעים את הבסיס ואת העקרונות, אפשר לחדש ולמרוד ולהמציא. במצב הנוכחי, מנקודת מבטי, ה-ערב רב של המקצועות, לכאורה, הם בבחינת "תפסת מרובה לא תפסת".

והנה, במאמר אחר של אהוד קינן שפורסם גם הוא ב-ynet תחת הכותרת "האם משרד החינוך מסכן את המדע בישראל?" הוא מסכם:

"אנו מוותרים מראש על תכניות מופלאות של לימודי הרף-עין ברובוטיקה, מבוא לרפואה, ננוביוטכנולוגיה ואימונודיאגנוסטיקה. כל שאנו מבקשים, שילדינו יזכו ללמוד מעט כימיה, פיזיקה וביולוגיה ואם אפשר, גם מתמטיקה, ואז יוכלו אולי להבין משהו בטכנולוגיה ולהביא תועלת לעצמם ולמדינתם."

יחסים מסוכנים

יחסים מסוכנים
ציירה: סיון יונה

יחסים מסוכנים

על צרות בצרורות כשמנסים למצע יחסים

שלמה יונה

רכזת השכבה בבית הספר אוספת נתונים ממחנכות הכיתות שבשכבה. מכל מורה היא מבקשת לדעת מה אחוז התלמידים מכתתה שנכשלו במבחן הארצי במתמטיקה. הנה הנתונים שמסרו המורות שבשכבה:

בכתה ראשונה: תלמיד אחד נכשל מתוך 40 תלמידים. בכתה השנייה: 2 תלמידים  נכשלו מתוך 32 תלמידים. בכתה השלישית: תלמיד אחד נכשל מתוך 39 תלמידים. בכתה הרביעית: 2 תלמידים נכשלו מתוך 33 תלמידים. בממוצע נראה שכ-6% מהתלמידים בשכבה נכשלו. הרכזת בדקה גם כמה תלמידים בסך הכל נכשלו (6 תלמידים) מתוך 136 התלמידים שבשכבה וקיבלה ש-בקירוב נכשלו 4 אחוזים מהתלמידים. אז איך זה יכול להיות שהתקבלה מסקנה שונה מהמסקנה שהתקבלה בחישוב הקודם? נשוב לבעיה הזאת מאוחר יותר.

ירחמיאל חש ברע ולכן ניגש לרופא, אשר רושם לו טיפול מקובל. ירחמיאל מקבל מרשם לקניית תרופה שאותה יש לצרוך כך וכך פעמים במשך כך וכך ימים. ירחמיאל צרכן נבון ולכן הוא שואל את הרופא על אחוזי ההצלחה של הטיפול המדובר. הרופא מפשפש ברשימותיו  ומספר שיש לטיפול הצלחה ב-40% מהמקרים לפי מחקרים מסוג אחד (ירחמיאל חקרן בלתי נלאה ולכן דרך להבין כמה מקרים טופלו כך וכמה מהם הסתיימו בהצלחה והרופא פירט: 4 הצלחות מתוך 10 ניסיונות)  ואילו מחקרים מהסוג האחר מראים על כ-70% הצלחה (63 הצלחות מתוך 90 ניסיונות). המחשבה על צריכת תרופה ואחוזי ההצלחה מביאים את ירחמיאל לחשוב על בדיקת פתרון חלופי. השכנה המליצה על מרפא-אלטרנטיבי-הוליסטי-נפלא. ירחמיאל קובע פגישה אצל המרפא המופלא שמציע שילוב של קינסיולוגיה והומיאופתיה. ירחמיאל מבקש גם כאן להבין את אחוזי ההצלחה. המופלא מספר שיש לטיפול בקינסיולוגיה 50% הצלחה (45 הצלחות מתוך 90 ניסיונות) ולהומיאופתיה 80% הצלחה (8 הצלחות מתוך 10 ניסיונות).

ירחמיאל סבור שהוא חזק בחשבון. הוא ממצע בראשו את אחוזי ההצלחה בכל סוג של טיפול: הוא מקבל שלפתרון של הרפואה המקובלת יש 55% הצלחה (מחבר 40 ועוד 70 ומחלק ב-2) ואילו לפתרון שמציעה הרפואה האלטרנטיבית יש 65% הצלחה (50 ועוד 80 לחלק ב-2). ירחמיאל בוחר בטיפול שלהבנתו יש לו יותר סיכויים להצליח ופונה לטיפול האלטרנטיבי.

נדמה שירחמיאל פעל ובחן את הנושא בשיטתיות והסיק מסקנה הגיונית שמתבקשת מהנתונים. אך זה רק נדמה ואין זה נכון. אם נשים בצד את העובדה שבדיקות מסודרות לפי עקרונות מדעיים מראות באופן עקבי שקינסיולוגיה והומיאופתיה לא מועילות יותר מאשר אינבו (פלאסבו) ואם נניח בצד את העובדה שאין בתיאוריה שמאחורי קינסיולוגיה והומיאופתיה שום צידוק פיסיקלי אמיתי (ההפך הוא הנכון, בדיקה מראה שהפעולות לא יכולות להיות אלא חסרות משמעות) -- אפילו אם רק נשתמש בנתונים נבין שירחמיאל מסיק מסקנות שגויות. ירחמיאל נפל קורבן לפרדוקס סימפסון.

כדי להבין מהם אחוזי ההצלחה של הטיפול הרפואי נסכום את ההצלחות משני המחקרים (67 הצלחות) ונסכום גם את סך הניסיונות (100 ניסיונות) ונקבל שהחלק היחסי של ההצלחות מהניסיונות הוא 67/100 שהם 67%. באותו אופן נקבל שהפתרון האלטרנטיבי נותן 53 הצלחות (45 ועוד 8) מתוך 100 ניסיונות (90+10) שהם 53%.

אבל רגע! הממוצע הראה שהטיפול הרפואי המקובל נותן רק 55% הצלחה לעומת 65% הצלחה בממוצע לטיפול האלטרנטיבי.

האם יש פה סתירה? ממש אין כאן סתירה. יחסים מסתירים מאיתנו את הכמויות האמיתיות שאנחנו עוסקים בהן. מלבד זאת, אין משמעות לחבר או למצע יחסים כי בעצם אנחנו איננו שומרים על חיבור של דברים בעלי אותו הכינוי (אותה המשמעות) -- בדומה לחיבור של תפוחים לתפוזים.

הבלבול נובע מההרגל לחפש מכנה משותף ולחבר. כך התרגלנו בשברים ואחוזים הם מאיות ואם הכול מבוטא במאיות אז גדול הפיתוי לחבר כי יש מכנה משותף. אבל מכנה משותף אינו הולם כאן. המשמעות של הביטוי, הצלחה, אינה מתאימה לחיבור היחסים. המשמעות של אחוז ההצלחה היא מנת סכום כלל מקרי ההצלחה בסכום כלל המקרים. ומשעה שחישבנו כך קיבלנו את המשמעות שאליה התכוונו. לעומת זאת, אין משמעות כזאת לחיבור או לממוצע של היחסים.

ישנם יחסים שמשמעותם נתונה לפי הגדרה שלנו. זה המקרה כאן אצל ירחמיאל: כשאנו מגדירים  מספר הניסויים שהסתיימו בהצלחה לחלק למספר הניסויים בסך הכול. עתה נתבונן בשני המקרים שבהם ביצעתי ניסויים וננסה מנסה לסכם את התוצאות. איננו יכולים לקחת את היחס שמתאר הצלחה במקרה הראשון ולחבר אליו את היחס שמתאר הצלחה במקרה השני. עלינו לסכם את ההצלחות בניסויים משני המקרים ולחלק את הסכום ב-סכום מספר הניסויים משני המקרים. רק כך  נוכל להסיק את ההצלחה משני המקרים ביחד. זאת דוגמה שמציגה שמכנה משותף, גם באחוזים, לא  מועיל לנו. כלל חשוב בחשבון, בסטטיסטיקה ובמתמטיקה (ואולי בחיים בכלל): לא להתעסק בחישובים אלא בחשיבה: יש להבין מה המשמעות ולפי המשמעות לבחור את הכלי המתאים לייצוג הבעייה (התרגיל בחשבון, או האופרטור המתמטי, במקרה שלנו היחס וכלל החיבור המיוחד).

ננסה לתאר בייצוג אלגברי:
היחס שמתאר הצלחה במקרה א': a/b, כאשר a מתאר את מספר הניסויים שהצליחו מתוך b ניסויים. באופן דומה, היחס שמתאר הצלחה במקרה ב': c/d, כאשר c מתאר את מספר הניסויים שהצליחו מתוך d ניסויים. אם נרצה להסיק מהו היחס שמסכם בעבורנו את ההצלחה משני המקרים גם יחד עלינו לחשב כך (a+c)/(b+d), ואיננו יכולים לקבל תשובה עם משמעות כאשר נחבר את השברים a/b ו-c/d כמקובל. כי זה ייתן תשובה שאינה מתארת את ההצלחה לפי ההגדרה שלנו.

הבא ונתבונן בדוגמה שונה ומתחום אחר לחלוטין שגם שם נדמה שיש סתירה ולמעשה אין. הדוגמה מבוססת על חידה שחד לי שלומי בושי:

אתר אינטרנט מצליח ניזון מפרסומות. כדי לפשט את ניהול המפרסמים אצלו בעל האתר מעסיק שלוש חברות פרסום שמספקות פרסומות לאתר שלו. הוא מודד את אחוזי ההצלחה של כל אחת משלוש החברות באמצעות מדד CTR. זה בעצם יחס שמראה כמה פעמים הקליקו על מודעה מתוך סך הפעמים שהמודעה הוצגה. בדוח היומי שלו גילה בעל האתר שבעוד שסוכנויות הפרסום א' ו-ב' שמרו על אחוז ההצלחה שלהן, סוכנות ג' שיפרה את אחוז ההצלחה שלה. מרוצה מהשיפור פנה בעל האתר לחשב את ההשפעה של השיפור על ה-CTR של הפרסומות באתר שלו. לתדהמתו, הוא גילה שה-CTR באתר ירד. האם זה ייתכן?

הנה המספרים:

ביום הראשון, סוכנות א' השיגה CTR של 3%=18/600, סוכנות ב' השיגה CTR של 4% 64/1600 ואילו סוכנות ג' השיגה  CTR של 1% 4/400. אלה מספרים מרשימים מאוד בפרסום מקוון. 

ביום השני, סוכנות א' נשארה עם CTR של 3%=18/600, וסוכנות ב' נשארה עם CTR של 4% 64/1600 ואילו סוכנות ג' השיגה  שיפור ב-CTR והעלתה אותו ל 1.1% 110/10000. מרשים!

עתה נחשב את ה-CTR באתר, הרי זה מה שמעניין את בעל האתר:

סך כל הקליקים על מודעות ביום הראשון הוא 86 קליקים וסך כל ההופעות של מודעות הוא 2600 ולכן ה-CTR ביום הראשון הוא כ-3.3%.

סך כל הקליקים על מודעות ביום השני הוא 192 קליקים וסך כל ההופעות של מודעות הוא 12200 ולכן ה-CTR ביום השני הוא כ-1.6%.

אוי ואבוי! ה-CTR באתר ירד ביום השני ביותר מ-50% מאשר ביום הראשון.

איך זה ייתכן? זה ייתכן כי אנו מחשבים יחס. ביחס אנחנו יכולים לשלוט על שני גדלים: על המונה ועל המכנה. אם משווים שני יחסים ונצמצם כל אחד מהם ככל האפשר אז נוכל לטעון את הדברים הבאים:

* היחסים שווים אם המונים של הצורה המצומצמת שלהם שווים וגם המכנים של הצורה המצומצמת שלהם שווים

* יחס א' גדול מיחס ב' אם המונה של הצורה המצומצמת של יחס א' גדול מהמונה של הצורה המצומצמת של יחס ב' כאשר המכנים של הצורה המצומצמת של שני היחסים שווים

* יחס א' גדול מיחס ב' אם המכנה של הצורה המצומצמת של יחס א' קטן מהמכנה של הצורה המצומצמת של יחס ב' כאשר המונים של הצורה המצומצמת של שני היחסים שווים

משום שבשתי הדוגמאות שלנו (זאת של ירחמיאל וזאת של בעל אתר האינטרנט) הגידול בערך המכנה במקרה השני לעומת המקרה הראשון היה באופן ניכר רב יותר מאשר הגידול (הקטן יחסית) בערך המונה -- אזי ערך היחס קטן לעומת המקרה הראשון. 

מדוע לא חיברנו את היחסים? כי איזו משמעות יש לחיבור היחסים? יש משמעות ליחס עצמו: מעצם הגדרתו של היחס עלינו לבנות אותו שוב באותו האופן גם כאשר אנחנו מסכמים ואיננו יכולים לפנות לסכום רגיל.

נחזור למרכזת השכבה שמתחילת המאמר: מה הסיבה לפער? כדי לדעת מה אחוז הנכשלים בשכבה אין משמעות לחשב את הממוצע שכך הגדלים אינם מתוך אותו השלם. דווקא החישוב השני שלה (סכום הנכשלים לחלק לסך כלל התלמידים שבשכבה) נכון ומתאים ומתאר נאמנה את הבעיה. עדיין מבולבלים? הנה דוגמה נוספת.

בקייטנה א' יש 55 קייטנים. בקייטנה ב' יש 31 קייטנים. בקייטנה א', 20 מהקייטנים אינם יודעים לשחות. בקייטנה ב' יש קייטן אחד שאינו יודע לשחות. המסקנה היתה: כ-20% מהקייטנים בשתי הקייטנות אינם יודעים לשחות. המסקנה הזאת התקבלה מתוך חישוב ממוצע פשוט: 

(20/55+1/31)/2 ~ 19.8%

אבל, האמת היא שכל אחת מהקייטנות מהווה שלם בגודל אחר ואופן החישוב הנכון הוא לחשב כמה אינם יודעים לשחות בסך הכל בשתי הקייטנות ולחלק בסך כל הקייטנים ואז נקבל:

(20+1)/(55+31) ~ 24.4%

התשובה שונה: האם חמישית או רבע מהקייטנים אינם יודעים לשחות? התשובה הראשונה (הממוצע) שגויה. התשובה השנייה נכונה. למה הדבר דומה? הנה שאלה: כמה זה חצי שקל ועוד חצי שקל? התשובה: 1 שקל! זה קל. ועכשיו: כמה זה חצי שקל ועוד חצי דולר? אוי! זה כבר לא כ"כ קל. ברור לנו שמדובר בחיבור חצאים של שלמים שונים (במקרה הזה שונים בערכם). גם במקרה של ההקייטנים, בכל קייטנה יש כמות שונה של קייטנים.

אז אי אפשר להשתמש בממוצע?! אפשר להשתמש בממוצע משוכלל -- כזה שמביא בחשבון את התרומה היחסית של כל שלם שמשתתף בחישוב. אפשר. דוגמאות נוספות לכשל שכזה אפשר למצוא ברשימה של הסטטיסטיקאי יוסי לוי ב-נסיכת המדעים. יחסים הם מסוכנים ולרבים מאיתנו החישובים ביחסים מבלבלים ומטעים. אז מה עושים? עוצרים, חושבים, מבינים את המשמעות וכשברור לנו מה עלינו לעשות, רק אז מחשבים.

***

כדאי לקרוא עוד על פרדוקס סימפסון:

בויקיפדיה

בנסיכת המדעים

ב-lifesimulator

ב-ifeel (מתוך מגזין גלילאו)

קשרים בין תבניות מוסיקליות, לבין אלגברה מודרנית

במאמר מרתק (אבל לא קל בכלל לקריאה ולעיכול) מקשרים 12 טונים מוסיקליים לחבורה דיהדרלית מסדר 24. טון מוסיקלי הוא בעצם מרווח קבוע בין צלילים. וחבורה דיהדרלית זה שם ססגוני לחבורת הסימטריות של מצולע משוכלל.

למי שיש הבנה בתורת המוסיקה וגם באלגברה מודרנית, או לפחות נטייה מוסיקלית חזקה והבנה מתמטית טובה יהיה מעניין ומחכים לקרוא.

החוקרים השתמשו בתובנות כדי לנתח יצירות של הביטלס ושל פאול הינדמית.

לסקרנים:

על סימטריה ועל חבורות סימטריה כבר יצא לי לכתוב:

• ביקורת ספר: סימטריה -- מסע אל מרחבי התבניות של הטבע מאת מרכוס דה סוטוי
• על דבורים ועל הקשר לסימטריה בפרחים

Musical Actions of Dihedral Groups

Alissa S. Crans, Thomas M. Fiore, Ramon Satyendra

(Submitted on 12 Nov 2007 (v1), last revised 13 Jun 2008 (this version, v2))

Abstract:
The sequence of pitches which form a musical melody can be transposed or inverted. Since the 1970s, music theorists have modeled musical transposition and inversion in terms of an action of the dihedral group of order 24. More recently music theorists have found an intriguing second way that the dihedral group of order 24 acts on the set of major and minor chords. We illustrate both geometrically and algebraically how these two actions are {\it dual}. Both actions and their duality have been used to analyze works of music as diverse as Hindemith and the Beatles.

Summary:
This paper connects the twelve musical tones to elements in the dihedral group of order 24 (the symmetries of a regular dodecagon). The translation from pitch classes to integers modulo 12 allows for the modeling of musical works using abstract algebra. The first action on major and minor chords described in the paper is based on the musical techniques of transposition and inversion. A transposition moves a sequence of pitches up or down and an inversion reflects a melody about a fixed axis. The other action arises from the P, L, and R operations of the 19th-century music theorist Hugo Riemann. It is through these operations that the dihedral group of order 24 acts on the set of major and minor triads. The paper also describes how the P, L, and R operations have beautiful geometric presentations in terms of graphs. In particular the authors describe a connection between the PLR-group and chord progressions in Beethoven’s 9th Symphony, which leads to a proof that the PLR-group is dihedral. Another musical example is Pachelbel’s Canon in D. In summary, the paper gives a very pretty explanation of what we commonly hear in tonal music in terms of elementary group theory.

המחשות של סדרי גודל ושל מרחקים

המחשת מרחקים וסדרי גודל

הפעם נחזה בהמחשות של מרחקים ושל סדרי גודל.

דיברתי בכיתה על מושג האורך והמימד ודיברתי על מדידות (פה, פה ו-פה) ואפילו השוויתי עם חומר לדוגמה בנושא ממיזם של משרד החינוך שהופק לא מכבר (הנה, פה) ועכשיו, המחשה ממש מוצלחת וקלה לתפעול של אורכים סדרי גודל.

הנה לפניכם שני סוגי המחשה:

[1] המחשת מרחקים אסטרונומיים: סדרת ספרים בשם Astromonical שהדפדוף בהם יכול להמחיש מרחקים בקנה מידה בין כוכבי. מדובר בדגם בקנה מידה של מערכת השמש שלנו בצורת סדרת ספרים ב-12 כרכים, כל כרך בן כ-500 עמודים. את הספרים מדפיסים לפי דרישה. בעמוד מספר 1: השמש. בעמוד מספר 6,000 פלוטו. רוחבו של כל עמוד מקביל (לפי קנה המידה שהשתמשו בו) למיליון קילומטרים (ג'יגהמטר).


ASTRONOMICAL - The Movie מאת  Mishka Henner  .



















[2]
כלי מרהיב ומסקרן מאת קארי הואנג. מזיזים את הכפתור ימינה או שמאלה כדי להתקרב או כדי להתרחק -- בעזרת פס גלילה. החל מעצמים בסביבתינו ועד לגדלים בין כוכביים, או בין גלקטיים (אם מתרחקים) ועד לגדלים קטנים כרצונכם (אם מתקרבים).
http://spamtheweb.com/spread/uploads/swfs/02022012/scale_of_univescale_of_universe_enhancedrse_enhanced.swf

והנה גרסה שמתורגמת לעברית, במאמץ שריכז טל גלילי:

מתוך: סדנת מתמטיקה: http://amaalmathworkshop.blogspot.com