אביב במסיבת גיבוש כיתתית

אביב במסיבת גיבוש כיתתית

טעויות מתמטיות בהוראת מתמטיקה בבית ספר יסודי

מעת לעת אני מוצא תפיסות מתמטיות שגויות בקרב תלמידים. פעמים רבות מדובר באי הבנה של התלמידים אך לפעמים לא.   כשהמורה מבין את מקור התפיסה השגויה ומתקן אותה מהבסיס אז התלמיד מרוויח לא רק את ההבנה במקרה המיוחד הזה אלא גם כלי חשיבה. הנה כמה דוגמאות:

1. 

הטעות: המורה מסבירה לתלמידים בכתה שלדלתון יש זוג שוקיים "עליונות" ששוות זו לזו וזוג שוקיים "תחתונות" ששוות זו לזו.

דיון: כמובן שמדובר בהסבר לקוי. הרי הדלתון שומר על תכונותיו ועל הגדרתו גם כאשר הוא מוזז וכאשר הוא מסובב -- הגדרת הדלתון אינה תלויה במיקום הצלעות השוות שלו ביחס לצופה. הגדרה של דלתון יכולה להיות מרובע שיש לו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות (כך שאין צלע ששייכת ליותר מזוג אחד). הגדרה אחרת (אופרטיבית, שכן היא גם מסבירה כיצד לייצר דלתון): שני משולשים שווי שוקיים שלהם בסיס משותף יוצרים דלתון. הגישה של המורה משקפת טעות חשיבה וכנראה גם בעיה -- התלמידים עלולים להבין שתכונות הדלתון תלויות באופן שבו מציירים את הצלעות שוות האורך ("עליונות" ו-"תחתונות").

אפשר לראות מתמונות הדלתונים לדוגמה שמובאים בערך דלתון בויקיפדיה שהצלעות העליונות כלל אינן שוות באורכן זו לזו ובאותו האופן גם התחתונות אינן. מדוע? כי זוג אחד של צלעות שוות אורך שורטט בדוגמאות הללו משמאל והאחר מימין. כמובן, שאפשר לסובב את הדלתון כרצוננו ואז גם לא תהיה משמעות לעליון, תחתון, ימני  או שמאלי...

2. 

הטעות: זווית חדה היא זוית שגודלה ממעלה אחת ועד 89 מעלות.

דיון: זאת חשיבה וגם בעייה: המורה טועה ומטעה -- לאן נעלמו אינסוף הזוויות החדות שגדולות מאפס מעלות ושקטנות ממעלה אחת? ולאן נעלמו אינסוף הזוויות החדות שגדולות מ-89 מעלות ושקטנות מזווית ישרה?

הצעה להוראה מסודרת:

להבדיל, הנה קישורים לסדרת סיכומי שיעורים לתלמידים בבית ספר יסודי שאני מלמד בהתנדבות מידי יום שישי אחרי שעות הלימודים -- בסיכומים אני מתייחס להוראה יסודית וראוייה לזווית:

שיעור מספר 6: הזווית -- האם ההגדרה המקובלת לזווית שגויה? ומה זאת בכלל זווית?

שיעור מספר 7: מדידת זוויות -- כיצד מודדים זוויות ומדוע דווקא כך?

שיעור מספר 8: שרטוט זוויות ומדידת זוויות בעזרת סרגל ומד-זווית

3. 

הטעות: בקייטנה א' יש 55 קייטנים. בקייטנה ב' יש 31 קייטנים. בקייטנה א', 20 מהקייטנים אינם יודעים לשחות. בקייטנה ב' יש קייטן אחד שאינו יודע לשחות. המסקנה היתה: כ-20% מהקייטנים בשתי הקייטנות אינם יודעים לשחות.

דיון: המסקנה הזאת התקבלה מתוך חישוב ממוצע פשוט:

(20/55+1/31)/2 ~ 19.8%

אבל, האמת היא שכל אחת מהקייטנות מהווה שלם בגודל אחר ואופן החישוב הנכון הוא לחשב כמה אינם יודעים לשחות בסך הכל בשתי הקייטנות ולחלק בסך כל הקייטנים ואז נקבל: 

(20+1)/(55+31) ~ 24.4%

התשובה שונה: האם חמישית או רבע מהקייטנים אינם יודעים לשחות?

התשובה הראשונה (הממוצע) שגויה. התשובה השנייה נכונה. למה הדבר דומה? הנה שאלה: כמה זה חצי שקל ועוד חצי שקל? התשובה: 1 שקל! זה קל. ועכשיו: כמה זה חצי שקל ועוד חצי דולר? אוי! זה כבר לא כ"כ קל. ברור לנו שמדובר בחיבור חצאים של שלמים שונים (במקרה הזה שונים בערכם). גם במקרה של ההקייטנים, בכל קייטנה יש כמות שונה של קייטנים.

אז אי אפשר להשתמש בממוצע?! אפשר להשתמש בממוצע משוקלל -- כזה שמביא בחשבון את התרומה היחסית של כל שלם שמשתתף בחישוב. אפשר. דוגמאות נוספות לכשל שכזה אפשר למצוא ברשימה של הסטטיסטיקאי יוסי לוי ב-נסיכת המדעים.

***

גדי אלכסנדרוביץ על משפטי האי שלמות של גדל בטמקא

כרגיל, כמו בבלוג שלו "לא מדוייק", גדי אלכסנרוביץ מסביר יפה.
מלבד המעידה בנוגע לטענה על סכום שתי זויות במשולש שחייב להיות גדול או שווה לזוית השלישית במשולש (שם הכוונה כמובן לסכום אורכי כל שתי צלעות במשולש גדול או שווה לאורכה של הצלע השלישית) הכתבה נפלאה וכתובה היטב. מהתגובות לכתבה בטמקא ניכר שגדיאל הכיר בשגיאה ויתקן. יופי של דבר. אני מקווה שהוא יכתוב עוד מאמרים כאלה.


http://www.ynet.co.il/articles/0,7340,L-4139368,00.html

עדכון (2.11.2011): גדי פרסם חלק שני שמהווה המשך למאמר הקודם שלו על משפטי אי השלמות של קורט גדל. כרגיל, נפלא!

http://www.ynet.co.il/articles/0,7340,L-4141205,00.html

טיסן כדורי

טיסן כדורי

לאחרונה הוצג כלי טייס כדורי שפותח על ידי משרד ההגנה היפני. את כל החלקים להרכבת הכלי אפשר לרכוש והם זמינים לציבור הרחב (לא הבנתי היכן אפשר למצוא תוכניות והוראות הרכבה...). הרעיון והמימוש מעניינים מאוד. נראה שעדיין יש בעיה בהמראה, כי יש מנח מסויים שרק בו ניתן להמריא. יחד עם זאת כלי הטייס יכול לסבול התקלות במכשולים ועדיין להשאר יציב ולתפקד וכן הוא יכול לנחות ככל הנראה על משטחים מסוגים שונים, אפילו שאינם שטוחים, ואף להתנייד באמצעות גלגול.

נחמד מאוד. צריך להיות חביב למצוא ערכות להרכבה עצמית של טיסנים כאלה שנשלטים באמצעות טלפון חכם שמריץ תוכנה חופשית לשליטה. מעניין מתי נראה כאלה.

תערוכת רישומים ופסלים של דרור צרניק בפתיחת מלון תיאודור במגדל חיפה

בתחילת החודש הבא ייפתח מלון תיאודור - במגדל חיפה (רחוב הרצל 63). אומן הבית  הנבחר הוא דרור צרניק. את דרור אני מכיר עוד כשהייתי סטודנט בטכניון. דרור היה מנחה פרוייקט שלי, בהמשך גם עבדתי בסטארטאפ שלו. את דרור מכירים מיוזמות שלו במשך השנים ולאחרונה מ-UnitedParents.  דרור מציג במלון  כ-25 עבודות - פסלים ורישומים.

דרור מספר: "המלון שווה ביקור - הנוף (בייחוד מהקומות העליונות מדהים) - ואני גם אוהב את הנוף על השוק. העבודות - שוות ביקור גם כן.... :-)"

בנסיעה הבאה שלנו לחיפה נבקר במלון ונראה את העבודות (שתמונות שלהן כבר ראיתי בפייסבוק של דרור).

איך לטגן צ'יפס?

מהו הסוד לטוגני תפוחי אדמה (צ'יפס) מעולים?

בניתוח לב פתוח על טיגון צ'יפס נעמי זיו בבלוג מדע בצלחת מסבירה כיצד וגם מדוע.

האם הסי-אי-אי מסתיר מידע על התחממות גלובאלית?

בפודקאסט 60 שניות על כדה"א של סיינטיפיק אמריקן נטען שה-CIA (סוכנות ביון אמריקאית) מסתיר מידע על התחממות גלובאלית:

http://www.scientificamerican.com/podcast/episode.cfm?id=why-is-the-cia-keeping-climate-chan-11-10-23

מעניין מדוע הדוחות והמידע שבידי הארגון אינם ניתנים לפרסום. אם יש שם מידע שיכול להיות בעייתי לארגון, בוודאי אפשר להסירו משם ולהשאיר את המידע שרלוונטי לנושאי איכות הסביבה. ייתכן שאין הקצאת משאבים למטלה הזאת של ניפוי החומר הרגיש מהמידע שיש בו עניין ציבורי. נו... פוליטיקות.. סידרי עדיפויות... אין חדש תחת השמש.

תערוכה על סיפורי חיים של חוקרים יהודיים

תערוכה חדשה - סיפורי חיים של חוקרים יהודים

מעניין אותי סיפור החיים של חוקרים. במיוחד המתמטיקאים מעניינים אותי.

תערוכה חדשה תיפתח בבית התפוצות ב-14 בנובמבר למשך חודש ימים. בתערוכה תמונות ומסמכים, חלקם נחשפים לראשונה, המתעדים סיפורי חיים מרגשים של חוקרים יהודים, ביניהם מתמטיקאים חשובים ביותר של המאה ה-19 וה-20 שסייעו בעיצוב המתמטיקה והפיזיקה המודרניות.

התערוכה סוקרת את מקום ההתרחשויות ואת ההקשרים ההיסטוריים ומציגה את הנפשות הפועלות ואת תרומתן למדע, גורלן האישי והמורשת שהנחילו לדורות הבאים.

התערוכה הוצגה לראשונה בשנת 2006, לרגל הכינוס השנתי של אגודת המתמטיקאים הגרמנים. לאור הצלחתה הוחלט להופכה לתערוכה ניידת. התערוכה, שהופקה בשיתוף עם המוזיאון היהודי פרנקפורט, הוצגה במספר ערים בגרמניה וזכתה בפרס המדע לשנת 2008. גירסה בינלאומית זו מגיעה עתה לישראל ותוצג לראשונה בבית התפוצות למשך חודש ימים, לאחר מכן תנדוד לטכניון בחיפה ולספרייה הלאומית בירושלים.

מתוך: 

http://www.news1.co.il/Archive/001-D-280104-00.html

אתר התערוכה:

https://gj-math.uni-frankfurt.de/exhibition/

עדכון -- פודקאסטים שווים

הגיע הזמן לעדכן את הרשימה של הפודקאסטים השווים.



אני מאזין לפודקאסטים באופן פחות או יותר קבוע. בעת הרכיבה על אופניים לעבודה ובחזרה, בעת הנהיגה ברכב, בעת המתנה בתור בקניות וכו'.

הנה רשימה של כמה מהמוצלחים שאני מאזין להם. אשמח לקבל המלצות שלכם.

בעברית:

עושים הסטוריה
נושאים מעניינים במדע ובטכנולוגיה מוסברים בשפה פשוטה תוך סיפור עלילה הסטורי עם רכילויות ועם אנקדוטות. רן לוי בקולו הנעים ממש הופך כל פודקאסט לתסכית. יש גם מוסיקה טובה במעברים.

ספק סביר
מדברים עם נושאים חמים במדע מתוך נקודת מבט ספקנית. מסבירים בד"כ בעברית פשוטה ומתדיינים על המתודולוגיה ועל התקיפות של טענות שמועלות בעיתונות ובציבור ובמאמרים אקדמיים.

רוורס עם פלטפורמה
על ההייטק בארץ, על טכנולוגיה, על מפתחים, על הנדסת תוכנה ועל רכילויות מהתחום. אפשר ללמוד ולשמוע על כלים ועל טכנולוגיות ועל שפות מתוך השיחות והראיונות. נעים ומעניין.

דוקטור למה

רועי צזנה ברדיו הטכניון מדבר על מדע ועל טכנולוגיה. הפודקאסט חדש. ואתמול עלה הפרק הראשון. חביב ביותר. יש גם חדשות מדע וגם ראיונות עם אנשים מעניינים על נושאים מעניינים.

ביוקאסט

רפי ארזי מספר על דמות הסטורית אחת בכל פרק. מעניין שהוא מקפיד בכל פעם על נקודה יהודית. אהבתי מאוד את הפרק על רימן. באלף שניות (בערך) מתוארת דמות הסטורית.

באנגלית:

Scientific American 60 Second Science

בכל פודקאסט תקציר ממחקר מדעי מוסבר באנגלית פשוטה ב-60 שניות

Scientific American Science Talk

בכל פודקאסט שבועי נושאים במדע ובטכנולוגיה לרוב באמצעות ראיונות עם מובילים בתחומם

Scientific American 60 Second Mind

בכל פודקאסט תקציר מחקר מדעי מוסבר באנגלית פשוטה על המוח ומדעי ההתנהגות ב-60 שניות

Scientific American 60 Second Earth

בכל פודקאסט תקציר על איכות הסביבה, קיימות ואנרגיה מוסבר באנגלית פשוטה ב-60 שניות

Scientific American 60 Second Space

בכל פודקאסט תקציר על אסטרונומיה וחקר החלל מוסבר באנגלית פשוטה ב-60 שניות

Scientific American 60 Second Health

בכל פודקאסט תקציר על חידושים ברפואה ובבריאות מוסבר באנגלית פשוטה ב-60 שניות

Security Now!

פודקאסט שבועי של כשעה וחצי על אבטחת מידע (לפי פרצו, אילו עדכונים והסברים בשפה פשוטה לנושאים מתקדמים). שיח בין שניים: המנחה ומומחה האבטחה. מוצלח מאוד. יש פרסומות חסות שמעט מעיקות אבל לומדים להריץ קדימה... לפעמים אפשר לשמוע הסברים מאוד אינטאיטיביים עם אנאלוגיות יפות להתקפות מעניינות על פרוטוקולים או על שירותים. 

This Week in Tech

ליאו לפורט מספר על החדשות בטכנולוגיה השבוע. מדובר על טכנולוגיה פופולרית. לליאו יש באמתחתו פודקאסטים רבים ומהם אני מאזין ל-

Dr Kiki's science hour

ד"ר קיקי מדבר כמה דקות על מה חדש במדע ועיקר התוכנית הוא על נושא אחד עם חוקר אחד. אם נושא המחקר מעניין אותי ואם המאוריין אינו משעמם, אני מאזין בהתלהבות. אבל אינני מאזין לפודקאסט הזה בקביעות.

FLOSS weekly

רנדל שוורץ, שמוכר מאוד בקרב קהיליית ה-Perl, מראיין מפתח של פרוייקט בקוד פתוח. בכל תוכנית פרוייקט אחר. לפודקאסט הזה אני מאזין אם הפרוייקט נראה לי מעניין או אם הדמות המרואיינת מעניינת אותי. אינני מאזין לפודקאסט הזה בקביעות.

The Tech Guy

זאת התוכנית המושמעת ביותר באינטרנט, וגם משודרת חי ברחבי ארה"ב וקנדה. ליאו לפורט מסביר בשפה פשוטה ענייני טכנולוגיה על מחשבים, מכשירים חכמים, מצלמות, תיאטרון ביתי, רדיו חובבים וכו'. חביב ביותר.

This Week in Google

השבוע בגוגל -- מה חדש בשירותים ובפיתוחים ובעסקים של גוגל. תאגיד הענק. בד"כ מעניין מאוד.

Triangulation

ליאו לפורט וטום מריט מראיינים דמות מעניינת מאוד. בכל תוכנית דמות אחת מעניינת. בד"כ תוכנית מרתקת. אהבתי במיוחד את הפרק עם קווין מיטניק.

TWiT Photo

פודקאסט על צילום ועל צלמים. הדמויות שבתחום, טכניקות, חידושים והמצאות. לפעמים אני מאזין לזה, לפי המרואיינים ולפי הנושאים.

The Naked Scientists

תוכנית שבה נסקרים נושאים חמים וחדשים במדע ויש שאלות מאזינים על תופעות ועל מושגים מדעיים שמוסברים באנגלית פשוטה על ידי מומחים.

All in the mind

תוכנית בעניינים של מדעי ההתנהגות והמוח. התוכנית במבטא אוסטרלי כבד.

Quirks & Quarks

בוב מקדונלד מספר על חדשות במדע ונותן לחוקרים להסביר מחקרים ומסקנות שלהם כך שהידע נגיש מאוד. התוכנית במבטא קנדי.

שמחת תורה אצל הוריי

הנה כמה תמונות וסרטונים מהמפגש המשפחתי אצל הוריי בערב שמחת תורה

הסרטונים של אביב סיון וניר על הספה האדומה הוא מהבית שלנו לפני שיצאנו להוריי

פסטיבל המדע במכון ויצמן 2011

בילינו היום בפסטיבל המדע במכון ויצמן.
ביקרנו בפעילויות במתחמים של "מדע מחיי היום יום" ו-"גן המדע -- חוויה רב חושית"
מבשלימדע -- המדע שמסתתר מאחורי המטבח של אמא. ניסויים מפתיעים שכל אחד יכול לעשות בבית
מה הפשר -- מדע בקשר? -- העולם הקסום של הצלילים, נגלה כיצד פועל הטלפון ונתנסה בהכנת מכשיר קשר ביתי
מדע מדליק -- מהמצאת הנורה ועד לטלוויזיית פלזמה
גלידע -- איך מכינים גלידע מדעית? ניסויים והדגמות שישאירו טעם מתוק על השפתיים
מכונות פשוטות -- מהי מכונה ונבין את הקשר בין מפצח אגוזים לאופניים עם הילוכים
קסמי מדע -- מדעטק -- הגדמות מיוחדות שלכאורה נראות כמו קסמים אך למעשה יש להן הסבר מדעי. הדגמות מלוות באור, קול, אש, מים וצבע
חומר למחשבה -- נכיר את הקסם שמאחורי מצבי הצבירה
ננו קומיקס -- תערוכת ציורי קומיקס על תגליות מדעיות
שעת סיפור מדעית -- חווידע טבע
סיור בין מוצגי גן המדע
תערוכת שנות אור במרחק נגיעה
אור וגלים -- הדגמות הממחישות את טבעו של האור
מכירים את השמרים -- ניסויים מדעיים בכוחות עצמינו במעבדה

בין הדברים שראינו והילדים ביקשו שארשום כדי שיהיה קל להזכר:

• ניפוח בלון באמצעות סודה לשתייה וחומץ. מכניסים לבלון סודה לשתייה וחומץ וסוגרים. התגובה בין הבסיס לבין החומצה פולטת פחמן דו חמצני שמנפח את הבלון
• מי ברז שהכניסו אליהם קרח יבש (פחמן דו חמצני בטמפרטורה של מינוס 73 מעלות צלסיוס) יוצרים בעבוע בגלל ההמראה של הפחמן הדו חמצני -- הוספת סבון כלים יצרה שטף של בועות סבון שניגרו מהכלי ללא הפסקה
• מי חמצן (30%) + סבון כלים + אשלגן יודי יוצרים ביחד נחש קצף (צילמתי סרטון)
• כוהל נוזלי + קלציום אציטט הופכים לג'לי -- אח"כ הוסיפו כל מיני דברים ויצרו בעירה בצבעים שונים:
• ליתיום כלוריד
• נחושת (להבה ירוקה)
• אבץ (עשן סגול כמו בהארי פוטר)
• ברזל (זיקוקים)
• איך להחדיר שיפוד לבלון מנופח בלי לפוצץ אותו? להשחיל בעדינות את השיפוד דרך הקטבים שבהם ריכוז הגומי גבוה יותר ולהחדיר את השיפוד בעדינות במיוחד כשמעבירים מתוך הבלון כלפי חוץ בחלק העליון של הבלון (הקוטב המנוגד לחלק שדרכו מנפחים את הבלון): צריך לעזור להשחיל
• קלקר -- מבודד מחום ומקור -- אציטון מוציא ממנו את האוויר ונשאר מסטיק
• מוצק מאופיין בנפח ובצורה קבועים, נוזל מאופיין בנפח קבוע ובצורה משתנה, גז מאופיין בצורה ובנפח משתנים (נפח משתנה בגלל לחץ/דחיסה)
• נר בוער נמצא בשלושת מצבי הצבירה גם יחד: גופו מוצק, החלק הנמס נוזלי ואילו האדים (העשן הלבן כשמכבים את הלהבה שבוערת בנר) הם שעווה שהתאדתה
• יש אפס מוחלט -273 מעלות צלזיוס, החלקיקים נעצרים -- אין תנועת חלקיקים -- אין חום -- הכי קר שאפשר. בהתאמה, החום הגבוה ביותר כאשר החלקיקים נעים במהירות התיאורטית הגבוהה ביותר, מהירות האור (לא הבנו מה זה אומר ואיך אפשר ומה תהיה הטמפרטורה)
• תזוזת חלקיקים מגדירה טמפרטורה
• קרח יבש -- פחמן דו חמצני בטמפרטורה של מינוס 86 מעלות צלזיוס (זה קר יותר ממה ששמענו בהדגמה אחרת באותו היום)
• חנקן נוזלי קר מאוד -- בטמפרטורה של מינוס מאה תשעים ושמונה מעלות צלזיוס -- אז איך מקררים לטמפרטורה שכזאת? באמצעות לחץ גורמים לחלקיקים להתקרב זה לזה ולהאט.
• לא אפשרי לנפח בלון בנשיפות אויר כשהפיה שלו מולבשת על בקבוק והבלון מתנפח לתוך הבקבוק. האויר שבבקבוק מפריע. אם נחורר את תחתית הבקבוק, זה מתאפשר.
• מים שהשרו בהם עלים של כרוב סגול נותנים אפשרות לבדוק חומציות או בסיסיות לפי שינויי צבע: נכניס בסיס (למשל אבקת כביסה או סודה לשתייה) ונקבל צבע צהוב (סודה לשתיים) עד ירוק (אבקת כביסה -- בסיס חזק יותר), ולעומת זאת חומץ, או לימון נותנים צבע ורוד. ככה נזהה שינויי PH.
• ביצה בקליפתה שנשרה בחומץ (נחליף מידי שעה שעתיים את החומץ כי הוא מסיים להגיב בגלל ריכוז נמוך שלו) מגיבה עם החומץ (בסיס עם חומצה) ומהסתירה יוצר פחמן דו חמצני. סופו של תהליך הוא שהביצה ללא הקליפה -- לפי ריכוז המים והמלחים/סוכרים בה אפשר לשלוט האם תהיה נפוחה יותר מהביצה במקור או מצומקת.
• לתוך בקבוק מלא בקולה זורקים סוכריית מנטוס ואז עוד אחת -- נחשול אדיר של קצף קולה פורץ מהבקבוק. הסיבה אינה תגובה כימית לדברי המדריכה אלא תגובה פיסיקלית: הבועיות מהגז שבקולה מתגודדות סביב למוצק (הסוכרייה) ומשום שלמנטוס יש גבשושיות רבות, זה נותן שטח פנים גדול יותר לבועיות להצמד. משם... לא הבנו את ההסבר (יש סרטון)
• ראינו איך מעיפים בקבוק עם מעט מים בתוכו כמו טיל בעזרת דחיסת אויר (יש סרטון)