עלילות עוגי באאוטבריין

עוגי, מפלצת העוגיות, של בתאלס בא לבקר באאוטבריין.

הוא פתח בביקור בצוות אלגוריתמים (זאת הפינה שלי...):


המשיך בבילוי במטבחון: מה אוכלת מפלצת עוגיות במטבחון של אאוטבריין? עוגיות! כמו שהיא אוכלת בכל מקום אחר.


ולסיום חזר לכסא של בתאלס

המחשת המבנה העשרוני

אני ממשיך ומעמיק ביחד עם סיון את ההבנה שלה את מבנה המספר. כבר כתבתי רשימה אחרת שבה פירטתי את ההבדל בין "אחדות" לבין "יחידות" -- בזאת עסקנו בשבוע שעבר. בכל פעם שרציתי להדגיש אצלה את נושא האיגוד לעשרת או נושא של פריטה של עשרת לאחדות בודדות המחשתי לה את הדוגמאות באמצעות עטים, עפרונות, גרעיני תירס, חרוזים... מכל הבא ליד. איך זה עובד?

כך התחלנו עוד בכתה א':
מתחילים בהסכם: כל עשרה פריטים מקבצים לעשרת. כל 10 גרעיני תירס הכנסנו לכוסית קטנה. (עם עטים ועם עפרונות מאגדים כל עשרת בגומייה ובאופן דומה מסמנים חפצים אחרים שנעזרים בהם, למשל כל 10 חרוזים השחלנו דרך חוט ויצרנו מחרוזת). פתאום רואים שאפשר בקלות לזהות עשרת (מאשר למנות 10 גרעיני תירס) -- פשוט רואים את הכוס. הרושם מתעצם כשמאגדים עוד כמה עשרות ופתאום רואים שבנקל מונים 90 (למשל) גרעיני תירס רק מתוך מניית הכוסות: "10, 20, 30, ..., 90". משם בונים מספרים כמו: 37 (שלוש כוסות שבכל אחת מהן עשרה גרעיני תירס) ועוד 7 גרעיני תירס בודדים או כמו 12 (כוס אחת שבה עשרה גרעיני תירס ושני גרעיני תירס בודדים).
מכאן ממשיכים עם תרגילי חיבור וחיסור שחוצים את גבול העשרת:
?=8+3
?=12-5
וכדומה.
בתרגיל הראשון מקבצים לעשרת (מכניסים 10 גרעיני תירס לכוס) ונשארים עם גרעין תירס בודד אחד -- מקבלים 11 גם לפי ההסכם וגם מתוך מנייה ישירה של הגרעינים. יש כמה דרכים לעשות זאת , להשלים את השמונה ל-10 ואז לראות כמה נשאר היתה הגישה המועדפת על סיון.
בתרגיל השני מגלים שאין לנו מספיק אחדות בודדות ב-12 כדי לחסר 5 אחדות. אז מה עושים?
דרך אחת: לחסר 2 אחדות (ונשארים עם 10 במחוסר ועם 3 במחסר) ואז צריכים לפרוט את העשרת לאחדות בודדות: מוציאים את 10 גרעיני התירס מהכוס (ומרחיקים את הכוס) וממשיכים לחסר הפעם 10-3 ומקבלים 7.
דרך שנייה: פותחים בפריטת העשרת שממנה מחסרים 5 (ונשארים עם 5) ומחברים את ה-2 ומקבלים 7.
סיון כשנעזרנו עוד בגרעיני התירס כעזר מוחשי העדיפה את הדרך הראשונה אך בהמשך כשהראתה שליטה ומהירות ועברנו לפתרון תרגילים ללא העזר המוחשי (ללא גרעיני תירס, או עפרונות וכו') היא נוטה להעדיף את הדרך השנייה. בכל מקרה, היא שולטת בשתי הדרכים ובוחרת בנוחה ביותר לפי הצורך. בדיוק כמו שצריך.

בהמשך כשעברנו את הטיפול במספרים עד 20 נוצר הצורך להדגיש את מבנה המספר עבור מספרים גדולים יותר. כך לקחנו שיפודים (שקיצצתי להם את החודים) ואגדנו כל 10 שיפודים לעשרת באמצעות קשירתם בסרט וכשהיו לנו 10 עשרות אגדנו את 10 העשרות למאה אחת.  ושמחנו. פתאום יכולנו לראות ולחוש מה משמעות מספר כמו 123: יש מאה אחת (איגוד של עשר עשרות שכל אחת מהן מאגדת עשר אחדות בודדות), שתי עשרות (שתי אלומות שבכל אחת מהן 10 שיפודים) ושלוש אחדות בודדות.

ובכתה ב': 
עתה, בכתה ב' כבר מצאתי את סיון מתעניינת במספרים גדולים יותר ובבדיקה האם המבנה העשרוני ממשיך להתנהג כך גם במספרים גדולים יותר. אז קניתי הרבה מאוד גפרורים, וגם גומיות והבוקר קבענו שננסה לאגד לפחות 1,000 גפרורים. (מטעמי בטיחות את הגפרורים השריתי במים כדי שלא יוכלו להידלק בחיכוך). וכך עשינו. אגדנו יותר מ-1,000 -- תוך כדי הפעילות לסיון היו שאלות ותובנות מעניינות שעליהן עניתי בשמחה. עיסוק בתרגילים במספרים כאלה ברור יותר לאחר עיסוק מוחשי באיגוד ואח"כ במשחק של פריטה ושל קיבוץ. הנה סרטון שבו סיון ואני מסכמים מה עשינו.



בהמשך, ככל הנראה בחומר של כתה ג', כבר נחזור על העניין, הפעם מתוך כוונה לאגוד כמות של לפחות רבבה (10,000).

כל העיסוק הזה טיפוסי ואופייני לגישה של מתמטיקה יסודית: מוחשי, אח"כ ציורי ולבסוף מופשט. זאת אומרת עוסקים בדוגמאות ממשיות ובעצמים מוחשיים (מוחשי), אח"כ נעזרים בתרשימים (ציורי) ולבסוף במופשט.

מבט-על על גישות שונות לחינוך מתמטי

הנה נייר עמדה של העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכול.

בנייר העמדה מוצגות הגישות השונות להוראת מתמטיקה בעולם. 

עבור כל אחת מהגישות מוצגת הערכה שלה.

בהמשך מוצגות בעיות ייחודיות לישראל.

לבסוף מוצגת הדרך שבה מציעה העמותה להתמודד עם הבעיות.

מבט-על על גישות שונות

לחינוך מתמטי

כדי להבין את מצב החינוך המתמטי בישראל יש להבין את הגישות השונות לחינוך היסודי, כי הוא שקובע, בסופו של דבר , את רמת ההצלחה בהמשך הלמידה.

הגישה המזרח אירופית

ריבוי תרגילים מוביל לשליטה חישובית. ההבנה, אם תגיע, תנבע מכך.

הערכה:

גישה טכנית.

לפעמים תלמידים טובים מפיקים מהשליטה תועלת. רוב האוכלוסיות נכשלות.

גישת החקר

הנאה מהמקצוע תוביל לשליטה וליצירתיות. הלימוד הזדמנותי. השיטתיות אינה חשובה. חשוב ריבוי פתרונות.

הערכה:

ריבוי דרכי פתרון מבלבל את הילדים, מונע שליטה בחישובים, אינו מותיר זמן לעבודת עומק על תהליכי חשיבה.

נכשל בארה"ב ודרדר את הישגי המדינות שנהגו לפי שיטה זו . מרבית הלומדים אינם שולטים במיומנויות בסיס.

גישת הבדידים

מודלים לפתרונות במקום לימוד ישיר ופשוט.

הערכה:

לימוד טכני מנותק משמעות.

אפשר לזקוף את ההידרדרות ברמת המתמטיקה להפעלה הגורפת של הגישה הזאת על מרבית בתי הספר בישראל במשך שנים רבות. מרבית המורים למתמטיקה למדו בצעירותם לפיה.

[משמעות פירושה: הקשר למציאות.]

הגישה התיווכית

דגש על שיטתיות, התעמקות בתהליכי חשיבה, בניית מבני חשיבה ופיתוח הבחנות דקות, פיתוח שפה, עקביות, מודעות לתהליכים, גמישות לפי צרכי האוכלוסייה, השפעה על כל האישיות של הלומד.

[תיווך הוא תהליך אינטראקטיבי בין הלומד למלמד שמטרתו בניית מבני חשיבה, הרגלי למידה  ופיתוח היכולות הפוטנציאליות של הלומד. ]

הערכה:

מחנכים למחשבה ולמודעות לתהליכי החשיבה עם יכולת ליישמם בתחומים שונים, בנוסף למתמיטקה. ההשפעה החיובית היא הרבה מעבר למקצוע המסויים הנלמד.

בניית תהליך תיווכי מצריכה זמן של תיווך שעלול להיות על חשבון כמות החומר הנלמד. יותר עומק, פחות כמות חומר.

הכשרת מחנכים והפיכתם למתווכים ממושכת ומורכבת , בנוסף לידע המתמטי הנדרש.

מבט-על

על גישות דידקטיות

עבודה פרטנית

לכל תלמיד יש תיק אישי, ההתקדמות אינדיבידואלית.

הערכה:

אי אפשר לקיים תהליך תיווכי ללא מארג תיווכי. לאינטראקציה בין הלומדים לבין עצמם יש משקל רב בעיצוב החשיבה, בנוסף לחינוך לפתיחות.  המחנך אינו יכול להגיע לכל ילד. ניתן להפעלה במקרים חריגים ועם הרבה תמיכה של המחנך.

[מארג תיווכי הוא תהליך של דיון של כלל התלמידים. המחנך והתלמידים מלמדים זה את זה ומגיבים זה לתשובות זה.]

עבודה בקבוצות

הכיתה מחולקת לקבוצות לכל אחת מהן יש משימה כלשהי . המורה עוברת מקבוצה לקבוצה, בודקת את התקדמותה ומעירה הערותיה.

הערכה:

לא יכול להתפתח דיון קבוצתי – תיווכי . המורה אינה מסוגלת להיכנס לתהליכי חשיבה של כל קבוצה. יש מקרים רבים שהיעדר יד מכוונת מאפשרת אינטראקציה שלילית בתוך הקבוצה , למשל, כשילד דומיננטי אחד משתלט עליה מבלי שהמורה חשה בכך.

שיטה זו נכשלה בבריטניה.  

עבודה במליאה

כל הכיתה לומדת בצוותא אותו נושא באותו עמוד בספר. התלמידים המתקדמים מסבירים את התהליכים ואילו המתקשים משתלבים בביצוע.

לדוגמא: מוצגת בעיה שמובילה לתרגיל כמו = 59 + 83

בידי הילדים פריטים המאוגדים בעשרות ובאחדות בודדות.

המתקשה מציג לפני חבריו את הפריטים ותולה אותם על הלוח. המתקדם מראה את תהליך ההמרה. המצטיין נרתם להסברת פתרון הבעיה.

הערכה:

דורש הכשרה מיוחדת ומעמיקה של המורים.

במקומות שבהם מורים הצליחו להשתלט על התהליך התיווכי, ההישגים היו מעל ומעבר לממוצע, גם בארץ וגם בעולם.

[כדי ללמוד כיצד לתווך מסתמכים על העשרה אינסטרומנטלית של פוירשטיין המתורגמת לעשרות שפות. בנוסף, יש ליישם את עקרונות התיווך בהוראת המתמטיקה.]

מסקנות:

המפתח לקידום החינוך המתמטי תלוי בטיבו של התיווך וזה תלוי בהכשרת המורים.

בעיות ייחודיות לישראל

דמוגרפיה

בישראל יש מפגש של תרבויות שונות. השונות הדמוגרפית כל כך רבה שהיא דורשת מערכת גמישה, הנוגדת את המבנה הצנטרליסטי של משרד החינוך.

פוליטיקה

אי היציבות של המערכת הפוליטית אינו מאפשר מהלך עקבי, ההוראות מתחלפות לפי הצוות החדש, תכניות הלימודים וההנחיות מתחלפות לעיתים מזומנות. פתרונות אדמיניסטרטיביים רק מעצימים את הבעיה. אוכלוסיות חזקות מחפשות פתרונות מחוץ למערכת והפער הסוציאלי-תרבותי גדל.

כך נסללת הדרך לאופנות ולכוחנות ואף להפעלה של תכניות של אינטרסנטים הקרובים לצלחת.

יחסי משרד החינוך והמערכת החינוכית

מערכת החינוך שאמורה להיות קשובה לצרכים ואף מנסה לפתור אותם באופן צנטרליסטי – מנותקת מהמציאות. לדוגמא: המיצ"ב שמטרתו היתה טובה הפך למטרה להכנה לקראתו ואף להונאות , כמו סילוק תלמידים חלשים מהמבדק.

שונות תרבותית וצנטרליזם הם שני תהליכים מנוגדים היוצרים נתק וחוסר אימון בין משרד לבין אנשי השטח , לדוגמא: החלת תכנית הלימודים לחטיבת הביניים על   

כל בתי הספר בישראל, למרות הביקורות הקשות.

דוגמא נוספת: יש מדריכים מחוזיים מטעם משרד החינוך שאינם מכירים את כל השיטות ויש להם אינטרס להנחות רק בשיטה היחידה שאותה הם מכירים.

אנשי משרד החינוך נכנסים בדרך הטבע למיגננה , שלא בטובתם ולא בטובת הציבור.

מבנה הוועדות למיניהן

יש וועדות מקצוע, וועדות לאישור ספרי לימוד , יש מפקחים, מדריכים איזוריים ורפרנטים, ועוד ועוד. המבנה כל כך מסורבל שהמגע עם משרד החינוך יוצר תסכול ואי אימון הדדי.

בוועדות יש רוב מוחלט לאנשי אקדמיה שבחלקם הגדול לא היו מעולם מורים בפועל.

אי שיתוף מורים בפועל בצורה משמעותית בוועדות מגביר את הנתק והניתוק.

לדוגמא: במשך עשרות שנים היו הוראות מפורשות לא ללמד כתיב נכון ולא לתקן שגיאות כתיב "כדי לא לפגוע באישיותו של התלמיד" התוצאה היתה פגיעה קשה בשפה. גם המתמטיקה נפגעה מכך, מי שאין לו שליטה בשפה אין לו גם כלים להבנת המתמטיקה, שגם היא שפה.

מעמד המורים

מעמד המורים נחות ולא רק בגלל משכורתם הנמוכה, אלא גם בגלל הפיכתם לשק החבטות של החברה בישראל. יש נשירה מתמדת של מורים טובים. בזמן האחרון חל שיפור מה בבעיות המשמעת הקשות, שחיבלו ביכולת ללמד. החלום של המורים הטובים ובעיקר במתמטיקה ומדעים הוא כיצד להימלט מהמערכת מהר ככל האפשר.

חלק מהמורים למתמטיקה הם יוצאי ברית המועצות לשעבר  שאינם שולטים בשפה העברית  וההוראה שלהם לקוייה מבחינה שפתית.

אנו חושבים שחיזוק מעמד המורה יכול להיות על ידי ייצוגם המשמעותי בוועדות המקצוע, כשתפקידם של אנשי האקדמיה, שאינם מורים בפועל, הוא רק הכוונה למתמטיקה נכונה .

המסגרות החינוכיות ותכניות הלימודים

המעברים גן – יסודי – חטיבת ביניים – חטיבה עליונה מחייבים הקפדה על רצף חינוכי, במיוחד במקצוע המתמטיקה. יש נתק בין הוועדות המטפלות בגן ובין אלה המטפלות ביסודי ובינם לבין אלה המטפלות בחטיבת הביניים ובעל-יסודי.  הנתק הזה יוצר משברים אצל התלמידים וגורם לנשירה מהתוואי המתקדם של הוראת המתמטיקה. בתכניות הלימודים במסגרות האלה נוצרים "חורים" ענקיים. אי התיאום הזה גורם לכשלונות  ולנטישה של המגמות המדעיות למיניהן.

לדוגמא: בוגרי מערכת החינוך הישראלי לא יידעו כמעט בכלל דבר על תכונות המעגל ועל בניות באמצעות סרגל ומחוגה.

תלמיד שיידרש לפתור בעייה על בסיס יידע כזה – ייכשל. את הכשלונות שלנו לאחרונה באולימפיאדות המתמטיות אפשר בקלות לזקוף לחורים בידע הבסיסי, שהרי הניגשים לאולימפיאדות אלה הם טובי תלמידינו.

הקצאת תקציבים

תוצאות חינוך  ניכרות לאחר שנים רבות, עם זאת ניתן לבדוק גם תוצאות מיידיות.

בדרך הטבע, הוזרמו במשך השנים כספים רבים לצורכי החינוך המתמטי לגופים הגדולים, אך איש לא דרש מהם דין וחשבון על אחריותם לכשלונות או להצלחות. לדוגמא: לתכנית "מח"ר 98 " הוזרמו תקציבי עתק במונחים ישראליים והם העברו לידיהם של אותם אנשים שגרמו לכשלונות ובכך רק חיזקו את הכשלונות והעמיקו אותם.   

במצב המורכב הזה אנחנו מציעים:

בניית רצף חינוכי החל בגן וכלה בסוף התיכון, על בסיס הגישה התיווכית.

מתן יד חופשית יותר לביצוע ובניית הרצף הזה.

דגש על הקניית השפה המתמטית המבוססת על השפה הדבורה.

התמקדות בהכשרת קבוצות גדולות של מחנכים בכל שכבות הגיל .

יצירת תכניות לימודים אלטרנטיביות שתהיינה בזיקה כלשהי לתכנית הממלכתית, אך לא בכפוף לה.

יד חופשית בבדיקת התוצאות המיידיות , אם אפשר בידי גופים אובייקטיביים שקרן כלשהי תממן.

[בדיקת תוצאות ארוכות טווח תיעשה בנפרד וללא לחץ על המחנכים והלומדים.]

שימוש באמצעים של הוראה מקוונת להכשרת מורים לתיווך, להוראה שונה של מתימטיקה.

אנחנו רואים בהכשרה של המורים מפתח לשינוי בר – קיימא ואיתור מורים מובילים שימשיכו את התהליך.  

התרומה שלנו יכולה להיות בכך:

שיתאפשר לנו ליצור ספרי לימוד חדשים מקוונים על בסיס הגישה התיווכית .

החל ביסודי.

[ אנחנו בתחילת דרכנו לפתיחת תהליך כזה בגנים. ]

ספרי הלימוד וההדרכה יהיו פתוחים לקהל הרחב בחינם, לכל נושא תלווה הנחייה, ולכל מספר עמודים יוצג סרטון קצר שילווה את התהליך.

אנחנו זקוקים למידה מסויימת של חופש תחת הגג של תכנית הלימודים, למשל , הכנסת מדידות של זווית, או וויתור על סימטרייה סיבובית בכתה ג'.

במהדורה מקוונת ניתן יהיה להתייחס למצטיינים ולמתקשים.

אנחנו מאמינים שקודם כל צריך להתמקד בהכשרת המחנכים, כולל הורים, מדריכים ואנשי חינוך שונים.

צריך לבנות תשתית מעמיקה עם הרבה הדגמות כך שאפשר יהיה להוביל שינוי עומק תרבותי.

אחדות או יחידות? מה ההבדלים? -- הנה ההסבר

האם יש לומר "ספרת האחדות" או שמא יש לומר "ספרת היחידות"?
אין כאן רק עניין של עברית תקינה או של שפה מתפתחת. יש כאן עניין של הבנת המשמעות והבחנה בדקויות.

לצערי, אני רואה בחלק מחומרי הלימוד במתמטיקה את השגיאה *"ספרת היחידות" או ששואלים *"כמה יחידות יש במספר?". מצער אותי יותר שאני שומע יותר ויותר מורים שמלמדים דורות שלמים של תלמידים את השגיאה ומשרישים אותה ואת הכשל המחשבתי שמאחוריה. השגיאה כאן אינה רק במשלב העברית אלא מהותי יותר -- המילה יחידה מתארת דבר אחד בעוד שהמילה אחדה מתארת דבר אחר. הצורה התקינה היא "ספרת האחדות" ואת השאלה יש לשאול "כמה אחדות יש במספר?". אין די בכך שאספר על הצורה השגויה ועל הצורה הנכונה. ראוי שאסביר בדיוק מדוע האחת נכונה בעוד שהשנייה שגויה. אך לפני שאסביר, אפתח בהגדרות. נבין, ראשית כל, מהי אחדה ומהי יחידה.

מהי אחדה?
אחדה: צורת היחיד של אחדות. מדובר במשהו שהוא אחד. זוהי מילה שתכליתה לתאר כמות של אחד (1). לא בכדי המילה אחדה נגזרת מהמילה אחד.
שאלה: כמה אחדות יש במספר 123?
תשובה: במספר 123 יש 123 אחדות. מדוע? כי יש במספר 123 בדיוק 123 פעמים אחד.
שאלה: כמה אחדות בודדות יש במספר 123? במספר 123 יש 3 אחדות בודדות (יש עוד 120 אחדות שמאוגדות בשתי עשרות ובמאה אחת).
המילה אחדה אינה ייחודית לשפה העברית. באנגלית נאמר one עבור אחדה ונאמר ones עבור אחדות.

מהי יחידה?
יחידה: המילה יחידה מגיעה מהביטוי יחידת מידה. מספרים משמשים אותנו לצורך תיאור של כמות. נוח לתאר כמויות באמצעות גדלים קבועים ומוסכמים: התיאור של הכמות נעשה באמצעות השוואת הכמות ליחידות המידה. אנו מכירים יחידות מידה רבות, למשל, מתוך השיטה העשרונית, אנו מכירים את המטר, הגרם, הליטר וכו'. היחידה מייצגת כמות מאורגנת ומוסכמת. אך לפעמים כשאומרים יחידה מתכוונים לכינוי של העצמים שאותם אנו מונים. למשל, אם לפני 5 עגבניות, אז המספר 5 מתאר כמות של יחידות של עגבנייה. אם אנו מונים כבשים בשדה אזי יחידות המנייה שלנו הן כבשים בשדה. אם אנו מונים אשכולות ענבים, אזי כל יחידה של מנייה היא אשכול של ענבים.
באנגלית יחידה היא unit ויחידות הן units.

אז מה ההבדל בין אחדה לבין יחידה?
האחדה מתארת כמות: כמה פעמים 1 יש במספר.
היחידה מתארת כמות מאורגנת. במספר 123 כל עשרת היא יחידה. כמה יחידות של עשרת יש במספר 123? יש 12 יחידות של עשרת. כמה יחידות בודדות של עשרת יש במספר 123? ישנן שתי יחידות בודדות של עשרת, או במילים אחרות, ישנן שתי עשרות בודדות במספר 123.


אז מהו המקום של הספרה 3 במספר 123? המקום של הספרה 3 במספר 123 הוא של ספרת האחדות.

מיכל ואני ביקרנו בספקנים בפאב

מיכל ואני היינו ב-ספקנים בפאב, פגשנו את צוות ספק סביר, את דובי קננגיסר, את יוסי לוי, את אבנר שחר קשתן  ואת טל גלילי ובטח עוד אנשים שאני מכיר וירטואלית אך לא זיהיתי במציאות.

המפגש היה לכבוד יום הסטטיסטיקה בינלאומי (שחל ב-20 באוקטובר)... באיחור מה. ההרצאות עסקו בסטטיסטיקה ובקשר לחיים.

נהנינו במיוחד מההרצאה של טל  ומזו של אבנר, אך כל ההרצאות היו נחמדות -- הבירה היתה בסדר וגם הסלט שאכלנו.

היה חביב ומשעשע. כל הכבוד על הארגון. את הילדים השארנו בבית עם הפסקות חשמל מעת לעת (לא ברור לי איך בכל פעם שגשום יש לנו הפסקת חשמל וכל הרחוב מושבת -- משהו בחשמל בכפר יונה מפוקפק...)

מזמן לא הייתי במפגש של חנונים שלא עסק בטכנולוגיה :-)

בדרך למכונית היו לנו הרהורים להכנס לאכול ברפאל, אבל ויתרנו בגלל השעה.

היה נחמד להכנס לחניון בתשלום של כיכר אתרים ולגלות שהשומר שגובה את דמי החנייה נמלט לו הביתה ונטש את הבוטק'ה ככה שלא שילמנו על חנייה (זה עדיין לא קרה לי בת"א עד כמה שזכור לי).

מיכל ואני ב-"ספקנים בפאב" בגורדו בחוף גורדון

סוגים שונים של אינסוף, הבחנה בין גודל לבין כמות והתאמה חד-חד ערכית במתמטיקה ובמציאות

גדי אלכסנדרוביץ פרסם בוואינט מאמר יפה שמסביר בשפה קלה ובעזרת דוגמאות אינטואיטיביות על סוגים שונים של אינסוף.  הנה הקישור למאמר: אין סוף למוזרות: על המלון המטורף של הילברט

הדיון מעניין ומלמד.

הנה סרטון קצרצר בנושא מנייה של אינסוף והתאמה חד-חד ערכית:


אני מקשר לסרטון קצר שמציג את הרעיון במשל המלון של הילברט:


מעניינת ההדגשה שלו שהדיון יעסוק באינסוף במובן של כמות. זאת הבחנה יפה ועדינה. כבר מגיל צעיר אפשר להבדיל בין ילדים שמלמדים אותם להבחין בדקויות שפה ומשמעות כמו ההבדלים שבין גודל וכמות... למי ששכח העוולות הגדולות שנגרמו כאשר התעקשו ללמד בארץ מתמטיקה בעזרת הבדידים היו: קבעון בדוגמאות, קשר שגוי בין כמות לבין גודל לבין צבע. במיוחד הבעיה היתה שהבדידים היו בשימוש (ולמרבה הצער עדיין בשימוש בחלק מגני הילדים) בתקופה שבה ההתפחות המוחית של הילדים אמורה לעבור משלב של התמקדות במאפיין אחד (למשל אורך) כאשר לעצם יש מספר מאפיינים (למשל, אורך, רוחב, שטח, נפח, צבע, משקל...) ליכולת להתמודד ולהעריך במקביל מספר מאפיינים של אותו העצם. השימוש בבדידים יצר קבעון שיש קשר הדוק בין גודל כמות וצבע. המציאות היא שאין בהכרח קשר בין התכונות הללו ושצבעו של עצם אינו מחייב גודל מסויים או כמות מסויימת  ובאותו אופן שגודל אינו קשור בהכרח בכמות ובצבע וכך הלאה. וראו הסבר מפורט ומעמיק על כך במאמרה של תלמה גביש אל תתנו להם בדידים.

כצפוי בנושא זה מוזכרים המתמטיקאים קנטור והילברט.

עיסוק באינסוף, בקבוצות אינסופיות ובפעולות על קבוצות שכאלה מתאפשר בעזרת כלי מתמטי שנקרא התאמה חד-חד ערכית.

התאמה חד חד ערכית אינה רק כלי תיאורטי מתמטי רב עוצמה אלא גם כלי שימושי וחזק במציאות היום יומית שלנו. למשל, כאשר אנחנו משווים בין איברי שתי קבוצות כיצד אנחנו יודעים לומר באיזו קבוצה הכמות גדולה יותר? אפשרות אחת היא למנות את מספר האיברים בכל קבוצה ולבדוק את היחס שבין התוצאות (שווה? גדול? קטן?). אבל אפשרות זאת, אף על פי שככל הנראה רוב הקוראים ישתמשו בה באופן אוטומטי, דווקא אפשרות היא פחות מוחשית ויותר מופשטת ועקיפה מהאמצעי הישיר. הנה אפשרות ישירה יותר באמצעות התאמה חד-חד ערכית: לכל איבר בקבוצה א' ננסה להתאים איבר בקבוצה ב' (את זה אפשר לעשות באמצעות חיבור בקו בין כל בני זוג, למשל, אבל אין חייבים לעשות זאת, אפשר גם לחבר אותם בקו באופן רעיוני). אם כשיאזלו לנו איברי קבוצה א' (זה יקרה רק אם בקבוצה א' מספר האיברים סופי) נגלה שבדיוק אזלו גם איברי קבוצה ב' נדע שמספר האיברים בשתי הקבוצות זהה (הכמות של האיברים בשתי הקבוצות זהה). אם נגלה כשאזלו לנו איברי קבוצה א' שנותרו עוד איברים מקבוצה ב' שטרם הותאמו אז נדע שבקבוצה ב' יש יותר איברים מאשר בקבוצה א'. המקרה האחרון הוא שעוד בטרם יאזלו איברי קבוצה א' כבר יאזלו איברי קבוצה ב' -- או אז נדע שבקבוצה ב' יש פחות איברים מאשר בקבוצה א'.

התאמה חד-חד ערכית היא ישירה וטבעית והדרכה של ילדים כבר מהגיל הרך להשתמש בה כאסטרטגיה לפתרון בעיות ולהשוואה מפתחת את החשיבה.

אפשר לקרוא עוד על התאמה חד-חד ערכית בחינוך לגיל הרך בחומרי הלימוד של "מתמטיקה יסודית" לגיל הרך והרבה הרבה יותר מזה בספרי המורה של "מתמטיקה יסודית" לכתות בית הספר היסודי. את הרעיון מדגימים ב-"חיסור של השוואה" (וראו חומר סיכום של שיעור שהעברתי בנושא בסדנת מתמטיקה שלימדתי בבית ספר עמל בכפר יונה) ומרחיבים אותו: הנה קישור לסרטון שבו אני מסביר לילדים על חיסור של השוואה.

כדוגמה, הנה קטע מדיאלוג בכתת יסוד במתמטיקה בעת עיסוק בנושא:

מורה: אני מבקש שתסבירו למתקשים באמצעות דוגמה. השתמשו במספרים קטנים, כדי שלכולנו יהיה קל יותר.

תלמיד: יש לי כאן קבוצה של  9 טבעות:

יש לי כאן קבוצה של 7 משולשים:

כמה טבעות יותר ממשולשים יש לי?

מורה: הדוגמה מצויינת. מי יכול להראות לנו איך עושים את ההשוואה?

תלמיד:

אני מותח קו

בין כל פריט

של קבוצת הטבעות

ושל קבוצת המשולשים.

הנה, כך אני עושה את זה:

אני רואה שנשארו שתי טבעות שאין להן משולש חבר. אין בסיפור הזה שלם, אין בסיפור הזה ספירה אחורה, אין בסיפור הזה נקודת מוצא. יש בו רק התאמות בין החברים של קבוצה אחת לחברים של הקבוצה השנייה, ורואים כמה פריטים נשארו ללא חבר.

מורה: יופי. אבל עכשיו כבר התקדמנו ואנחנו יכולים לדעת שלפריטים האלה קוראים: איברים. אנחנו עורכים התאמה בין איברי קבוצה אחת לאיברי הקבוצה השנייה ורואים כמה איברים נשארים ללא ההתאמה הזאת. את מספר האיברים ללא ההתאמה מוצאים על ידי חיסור. זהו חיסור של השוואה.

מורה: מדוע אני מכנה את הפריטים בכינוי איברים? 

תלמיד: אני יודע שלחלקים של הגוף שלי קוראים: איברים. זאת אותה מילה?

מורה: כן. האיברים של הגוף שלך הם החלקים שבונים את הגוף שלך. כך האיברים של קבוצה הם החלקים הבונים את הקבוצה.

הגדרת מושגים, הבחנה בדקויות, שפה מדויקת הם חשובים ושימושיים לא רק למתמטיקאים מקצועיים, אלא גם לתלמידים ילדים -- שימוש בהם כבר מגיל צעיר מפתח את החשיבה, והיכרות עמם תוך כדי עיסוק בעצמים מוחשיים, ובהמשך בציוריים (ורק בסוף במופשט) מאפשרים לבנות מודל מנטלי איתן שעליו אפשר להישען כאשר עוסקים בנושאים מופשטים.

כל הכבוד לגדי אלכסנדרוביץ על ההנגשה שלו של נושאים מתקדמים במתמטיקה לקהל הרחב. אני יכול להמליץ על ספר מצויין שכתוב באופן קולח ונגיש: "מתמטיקה שירה ויופי" של רון אהרוני שעוסק כפי ששם הספר מגלה במתמטיקה בשירה וביופי: המחבר מנסה להראות קווים משותפים בין המתמטיקה והשירה באמצעות נסיון להסביר מה נחשב יפה במתמטיקה ומה נחשב יפה בשירה. בין הדוגמאות הרבות שהוא מביא אפשר למצוא גם דיון מעניין ומלמד "בגובה העיניים" בנושא שבו עסק גדי אלכסנדרוביץ במאמרו זה שפורסם בוואינט. על הספר "מתמטיקה שירה ויופי" כתב יפה יוסי לוי מהבלוג נסיכת המדעים.

אני מקשר לעוד רשימה שאני ממליץ לקרוא למתעניינים: כתבתי אותו בעקבות הקריאה בספר משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה מאת ארנון אברון -- שם אני מרחיב יותר על ספרים שעוסקים בנושאים שמשיקים לנושא שדן בו גדי אלכסנדרוביץ במאמרו.

דן אריאלי -- יסודות בכלכלה התנהגותית -- אוניברסיטה משודרת

מצאתי קישור שמאפשר להוריד קבצי שמע של תוכניות האוניברסיטה המשודרת שבה מספר ומסביר דן אריאלי על כלכלה התנהגותית -- הנה:
http://glz.fm/index.php?action=media;sa=album;in=39

אגב, לדן אריאלי יש אתר נחמד עם בלוג שבו אפשר לצפות בקטעי וידאו שבהם הוא מסביר בקצרה על רעיונות מרכזיים מספרו לא רציונלי אבל לא נורא.

כבר המלצתי פעם על הפודקאסט שלו "לזיין את החמורים" שעוסק בכל פרק בחוקר אחד ובנושא מחקר אחד של חוקר במדעי התנהגות.

גלובס כותבים על אאוטבריין: הסטארטאפ המבטיח של 2011

בגלובס היום כותבים על אאוטבריין: "הסטארט-אפ המבטיח של גלובס לשנת 2011".

המאמר: http://www.globes.co.il/news/article.aspx?did=1000694034&fid=594

אני נהנה מאוד מעבודתי באאוטבריין, שם אני מפתח אלגוריתמים. על האלגוריתמים באאוטבריין אפשר לקרוא ברשימה אחרת שכתבתי לפני כמה חודשים.

ציתות למקלדת בעזרת חיישנים אינרטיים של טלפונים חכמים

כתבתי מאמר הסבר קצר שעוסק ב-ציתות למקלדת בעזרת חיישנים אינרטיים של טלפונים חכמים. המאמר פורסם בגליון 26 של  DigitalWhisper.


הנה קישור ישיר למאמר (PDF):
http://www.digitalwhisper.co.il/files/Zines/0x1A/DW26-5-KeyloggingPhones.pdf

ניתן להשתמש בחיישנים האינרטיים של טלפונים חכמים (לרבות אקסלרומטר וג'יירוסקופ) כדי לחוש את תנודות טפיפות אצבעות הידיים על מקלדת.


דמיינו לעצמכם שבשעה שאתם עובדים על המחשב ניגש אליכם אדם ששואל אתכם שאלה או שנמצא בקרבת שולחן העבודה שלכם.  אתם ערניים מאוד ואפילו מספיקים להאפיל את המסך ולנעול אותו או אפילו את החשבון שלכם לפני שהאדם מתקרב.  נפלא.  הוא נעצר לידכם נשען על שולחן העבודה ומניח את הטלפון הנייד שלו תוך כדי כך.  הוא משוחח עמכם ואגב כך מסתובב ומחליף מילה עם אדם שעובד בסמוך אליכם ואז עוזב.  אתם כבר איבדתם קשב כי כל מה שעניין אותכם זה שהוא עזב ושאתם יכולים לחזור לעבודתכם.  בשלב הבא אתם מקישים את הססמה כדי לגשת לחשבון או כדי להסיר את הנעילה
מהמסך וממשיכים בשלכם.  לא הבחנתם שהנייד של האדם נשאר אי שם על שולחן העבודה שלכם,  או שהבחנתם וחשבתם שתשיבו לו אותו אחר כך כשתקומו ממקומכם. בכך הזמן שאתם עובדים על המחשב והטלפון הזה נמצא על שולחן העבודה שלכם המכשיר מקליט את הקשות המקלדת שלכם ואולי אפילו משדר את המידע בזמן אמת דרך אינטרנט אלחוטי או אמצעי דומה. עכשיו חשבו שמישהו מצליח להכניס קוד כזה לאפליקציות שמורידים לטלפונים החכמים. הרשאות שימוש בחיישנים אינרטיים קל לנו מאוד לתת כי איך כבר יכולים להזיק לנו עם חיישן אינרטי?  הנה תרחיש שבוודאי חוזר על עצמו בכל משרד בכל מקום בעולם כל הזמן:  אתה מתיישב לעבודה על המחשב שלך ומניח את הטלפון החכם שלך לצידך על שולחן העבודה ומתחיל בעבודה. ומה אם קוד זדוני שמותקן בטלפון החכם מקליט באופן מתוחכם את הקשות המקלדת? איך זה עובד? איך עושים את זה?  מי עשה את זה כבר?  איך להתגונן מפני זה?  מה הלקחים? בתשובות לשאלות הללו עוסק המאמר.

משרד החינוך טוען שהירידה במתמטיקה היא כי התלמידים פחות טובים

התמונה מתוך הכתבה בדה-מרקר

מרב ארלוזורוב בדה-מרקר מתייחסת למכתב שכתבו מתמטיקאים למשרד החינוך ובו אזהרה מהתדרדרות חמורה וממשבר מורים למתמטיקה בחטיבה העליונה.

לא הבנתי היכן המכתב המדובר ואיך זה שאין קישור אליו בכתבה. לא ברורה העבודה העיתונאית כאן -- כל ההתייחסויות הן לשמועות ואין בכלל דיון על התוכן האמיתי כי אין הוא מוצג. מי יודע לומר היכן ניתן להשיג עותק מהמכתב? 

בינתיים השגתי עותק של המכתב המדובר -- אפשר לקרוא את המכתב שכותרתו "משבר המורים למתמטיקה בחטיבה העליונה" פה. במכתב למעשה מזהירים פרופסורים בסתירה שבין דרישות משרד החינוך ממורים למתמטיקה בנוגע להשכלתם לבין המציאות ומציעים דרכים שונות לפתרון. בין הנכתב במכתב לבין ההתלהמות שבכתבה ובתגובות יש פער רב.

בפייסבוק גלי וינשטיין כתבה כך:

Gali Weinstein  

באוניברסיטאות הפרופסורים מתלוננים על הסטודנטים שמגיעים מהתיכון עם רמה ירודה במתמטיקה. פירושו שהמורים למתמטיקה בתיכון לא שווים הרבה. משרד החינוך מתגונן כמו הרקדנית שמאשימה את הרצפה: זה התלמידים שהם ברמה נמוכה לא המורים. אז עכשיו הורים יקרים תדעו לכם שאתם יולדים ילדים ברמה נמוכה וכאשר הם מגיעים לבית הספר הם פוגשים במורים למתמטיקה ולמדעים ברמה נורא גבוהה. אבל מה אפשר לעשות שאתם הורים ילדתם ילדים מפגרים? המורים המעולים של גדעון סער לא מסוגלים לתקן את הפגם הזה. ולכן הילדים שלכם, הורים יקרים, מגיעים לאוניברסיטה עם ידע לקוי במתמטיקה. אז אולי תפסיקו להאשים כבר את גדעון סער ותעשו סריקת מערכות בהריון כדי לגלות מוקדם האם יש לכם ילד שלא מסוגל ללמוד מתמטיקה בתיכון?

והנה התגובה שלי בפייסבוק:

Shlomo Yona
לא הבנתי האם את רצינית או צינית. יש בעיה חמורה בהכשרת המורים למתמטיקה -- גם באוניברסיטה וגם במכללות -- מה שמלמדים אותם שם אינו רלוונטי להוראה בבית הספר. במקום למלא להם את הזמן בסיפורי מעשיות ובפסאודו-מדע -- שילמדו אותם מורים מנוסים ומשופשפים באמצעות התנסות מעשית, שילמדו אותם לנהל כיתה, שילמדו אותם איך ללמד כל נושא וכל תחום -- אחת השיטות הטובות היא להתחיל בללמד את פרחי ההוראה את אותו החומר בדיוק, אבל באופן מעמיק, שיטתי ומסודר -- מורים ביסודי, בחט"ב ובתיכון "מעבירים" שיעורים מבלי להבין בכלל את מה שהם מלמדים. בקלות (ובצער רב) אוכל לתת אינספור דוגמאות. משם הבעיה ממשיכה כי מלמדים את הילדים שטויות ולא מלמדים אותם לחשוב כראוי ביסודי -- אח"כ הפערים כ"כ גדולים וטעויות החשיבה כ"כ קשות שקשה למורים במערכת לתקן ולהשלים. שיטת ההערכה והתגמול גם מעודדים את המורים לכוון למדד (ז"א % ניגשים, % עוברים וכו') במקום לכוון להבנה מתמטית. -- יש פתרונות ויש מי שיכול להוביל לפתרונות הללו -- איכשהו יוצא שמי שבעמדה להחליט מקדם אינטרסים צרים ומוביל את הדורות האחרונים והבאים של המדינה לסוג של אנאלפבתיות מתמטית.

כתבתי תגובה דומה גם בהארץ -- טרם אושרה או שאין מתכוונים לאשר אותה.

צעדים ראשונים בתכנון חוג העשרה במתמטיקה

אני מקבל פניות רבות לקבל תלמידים מצטיינים ומחוננים כדי לקדם אותם בשיעורים פרטיים. לצערי מתוך חוסר בזמן (הרי הוראה אינה לפרנסה אצלי, בשביל זה אני עובד באאוטבריין בפיתוח אלגוריתמים) ואני נאלץ לדחות את כל הפניות.

אני מקדיש מידי שבוע זמן לעבוד עם אביב על נושאים מתקדמים (מלבד העבודה שלי איתו על מתמטיקה יסודית) -- אז מיכל העלתה את הרעיון שאצרף ילדים נוספים וכך אצור קבוצת לימוד. כך נתפוס כמה ציפורים במכה אחת:

* תהיה לאביב חברה נוספת של ילדים שמתמודדים עם נושאים כאלה (כרגע הוא דיי לבד בעניין הזה)

* יהיה לילדים פתרון לצורך שלהם (של הוריהם?) בהעשרה מתמטית

* תקשורת: כהרגלי, אם יש משהו שאגלה שאחד הילדים אינו שולט בו או שניגש אליו מתוך טעות חשיבה, אטפל בעניין, אלא שלא רק אני אסביר ואדגים, אתן לחברים שיודעים להסביר ולהדגים. המטרה היא ללמד את הילדים לא רק לשלוט בנושא, אלא גם לנסח היטב את הרעיונות שלהם באופן שיהיה נגיש למי שאינו חושב כמותם. זה משהו שנזנח בדרך כלל אצל ילדים מחוננים ומצטיינים ואני חושב שאפשר "על הדרך" לפתח אצלם גם את המיומנות הזאת. 

* הילדים גם ילמדו להקשיב זה לזה וללמוד זה מזה ולא רק עם המורה.

כמה רעיונות שלי לגבי תכנים אפשריים:

ניגע בנושאים בסיסיים וחשובים, אך נגיע לטיפול בהם מתוך היכרות עם נושא במדע ובטכנולוגיה (במקום ההיפך שבדרך כלל נוהגים ללמד יסודות גם באופן תלוש מהשימושים ואת השימושים, אם בכלל מראים אותם, מציגים רק בהמשך).

אני משתעשע בכמה אפשרויות -- כל אחת מהן יכולה להיות תוכנית לזמן ארוך -- אפשר גם לקחת נושא מסויים מכל תחום ולעסוק בנושאים מתחומים שונים במגוון -- כל כמה שיעורים להחליף לנושא מתחום אחר:

[1]. גיאומטריה אוקלידית -- מהצורך במושגי יסוד, אקסיומות ועד להוכחת משפטים מסודרת -- כאשר הכלי העיקרי יהיה בניות באמצעות סרגל ומחוגה. הערך המוסף של העיסוק הוא בלימוד וברכישת מיומנות בהסקה לוגית, בפיתוח עולם מושגים עשיר ונכון של מונחים גיאומטריים, המחשה ונסיון בבניות (סולל את הדרך לאינאטואיציות בפתרון בעיות בגיאומטריה שדורש "ניצוץ של הבנה" איזו בנייה גיאומטרית לעשות כדי לפתור בעיות בגיאומטריה) שאין יודעים ללמד בבית הספר, מפתח ראיה גיאומטרית וכמובן, מכין היטב את התלמידים לקראת הגיאומטריה שהיא נושא קשה ומורכב שמתחילים ללמוד אותו בחטיבת הביניים במתמטיקה (כמקצוע נפרד -- יש אלגברה ויש גיאומטריה).

[2]. מדעי המחשב ללא מחשב -- רעיונות ממדעי המחשב ויישומיים שלהם ללא מחשב (הבסיס יהיה לפי הנושאים מתוך -- http://csu-il.blogspot.com/) -- שימוש בעקרונות מתמטיים להבנת פעולות המחשב וכדי להבין אין פותרים בעיות מורכבות בעזרת מחשב -- בלי להכנס למבנה מחשבים ולתכנות. כאן הערך המוסף הוא בחשיפה לנושאים מודרניים ושימושיים שגם מבוגרים רבים אינם בקיאים בהם ובפיתוח גישה אלגוריתמית לפתרון בעיות. 

[3]. אסטרטגיות לפתרון בעיות (מה שקוראים בעיות מילוליות) -- הדגש יהיה בשברים, באחוזים ובהמרות בין מידות וגדלים -- חלק בלתי נפרד מהתהליך יהיה להגיע למצב שמבינים את העקרונות, יודעים למיין בעיות לפי העקרונות המתאימים ומצליחים לפי דרישה גם להמציא בעיות מהחיים מכל סוג. מי ששולט בזה מסוגל לצקת משמעות מציאותית לנושאים באלגברה (אלגברה מתחילים ללמוד בחטיבת הביניים) ומקבל במתנה "מודל מנטלי" נכון ושימושי שמאפשר לייצר בקלות אנאלוגיה מהחיים למראה מבנים אלגבריים מורכבים -- ואז היכן שנתקעים כמעט כל תלמידי ישראל -- מי שיש לו את הכלים "רואה את המטריקס" ויכול להסתדר ולפתור גם ללא כלים אלגבריים כלל ולהגיע במקרים רבים לפתרונות יצירתיים ויעילים הרבה יותר.

[4]. ליווי של העבודה שלהם בקורס מתמטיקה בהתכתבות של מכון דוידסון במכון ויצמן. לסייע להם בקשיים, להציע גישות שונות לפתרון הבעיות, לדון ביתרונות ובחסרונות של הגישות השונות ולספק יסודות שחסרים או הקשר לנושא שעוסקים בו.

בעוד ש-#1 ו-#3 מובילים ל- ומייצרים בסיס איתן לקראת הבאות במתמטיקה בחטיבת הביניים, בתיכון ובכלל, #2 ו-#4 מנותקים מהנלמד במתמטיקה בחטיבת הביניים ובתיכון.

אני מציע לקיים את החוג הזה בימי שישי בצהריים, ב-14:00 כנראה למשך של שעה וחצי. יש סיכוי טוב שהילדים יקבלו מטלה לפעם הבאה בכל שיעור -- כדי שתהיה להם הזדמנות גם לחזור על הנושא וגם כדי לנסות ולהתמודד איתו באופן עצמאי.

הצעתי את הרעיון לשני הורים שלאחרונה מתמידים בנסיונות למצוא פרצה בחומת הסירוב שלי לפנות זמן כדי להקדיש להעשרה של הילדים באופן אישי. נראה אם הרעיון יתקבל בברכה ואם כן איך ימומש.

עדכון: כבר קיבלתי תשובה חיובית והצעה לפתוח קבוצה נוספת למחוננים בכתה מוקדמת יותר, שאולי אפילו תעסוק בלימודי יסוד בשיטה של "להעמיק" במקום להתקדם: הכוונה היא להשלים פערים בהבנה ובחשיבה בנושאים של כתות א' וב' (יש כאלה גם למחוננים! במקרים רבים הביצוע שלהם "מרדים" את ההורים ואת המורים ומסתיר מהם את החוסרים) ואז לעבוד על חומרי הלימוד של כתה ג', כאשר בכל נושא במקום לרוץ קדימה אנחנו נצלול ונעמיק בהבנה ובקשרים וביישום של העקרונות ובראייה כיצד אותם עקרונות מתמטיים עוברים כחוט השני בנושאים השונים.

אם אצליח להביא את החוג הזה למציאות -- אז אפתח יומן רשת נפרד לטובת תיעוד הנושאים שנעסוק בהם וריכוז חומרי הלימוד.

W3C XML Encryption vulnerability

תקן נפוץ וסטנדרטי באבטחת מידע באינטרנט על מסמכים ועל הודעות שכתובים ב-XML התגלה לאחרונה כבעל פגיעות.
התקן מגדיר את הנדרש כדי להצפין תוכן בתוך XML Element.

במאמר שהוצג בכנס ACM CCS2011 פרסמו החוקרים, Tibor Jager ו-Juraj Somorovsky מאוניברסיטת רוהר בוכום בגרמניה התקפה שמדגימה את פרצת האבטחה. בהתקפה מסוגל התוקף לפענח טקסט מוצפן באמצעות שליחת הודעות מוצפנות אחרות לשרות שמממש את התקן. באמצעות כ-14 הודעות בממוצע לכל בית מידע של הטקסט המקורי שהוצפן. הפרצה ממשית ומהווה איום רציני לכל שירות שמממש את התקן (והשימוש בתקן הזה נפוץ ביותר בארגונים ובאינרנט, לרבות מערכות בארכיטקטורה שמכוונת שירותים, SOA).

אני מתכנן לכתוב מאמר בעברית שמסביר ברחל בתך הקטנה את הנושא, את הבעיה, את האפשרויות לצמצם את החשיפה ולהתגבר עליה ועל הבעיה המהותית בתקן ועל התיקונים המתבקשים בו. את המאמר לכשאשלים את כתיבתו אפרסם ככל הנראה ב-DigitalWhisper בעברית.

למאמר הכנס המלא: http://www.nds.rub.de/media/nds/veroeffentlichungen/2011/10/22/HowToBreakXMLenc.pdf

רשימת ספרי לימוד במתמטיקה מהטכניון

Mathematics Library, Technion ספריית מתמטיקה, טכניון

ספרי לימוד מולמצים לקורס - עכשיו ברשימה אלקטרונית!

Courses Textbooks by Faculty

aleph.technion.ac.il

הרשימה נראית שימושית מאוד -- כשרוצים למצוא בזריזות ספרים רלוונטיים לנושא מסויים