משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה מאת ארנון אברון

קראתי את הספר משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה מאת ארנון אברון שראה אור בהוצאת האוניברסיטה המשודרת.


בספר מציג המחבר משברים שחלו במתמטיקה ואצל מתמטיקאים. החל מהעבר הקדום ועד לזמן האחרון (טוב... למאה ה-20). ההצגה ברובה בשפה פשוטה ונהירה ולפעמים קשה ומופשטת מידי -- אך נדמה לי כי בכך אשם הנושא ולא המחבר שעשה עבודה בדרך כלל טובה מאוד בהצגה. 


כבר קראתי על הנושאים הללו בכמה וכמה הזדמנויות ומכמה היבטים שונים ואני נהנה לקרוא שוב על הנושאים הללו והפעם מנקודת מבט אחרת.

בספר מסופר על שלושה משברים (פער בין אמונות לבין המציאות: פער בין מערכת אמונות שיש לעוסקים בנושא לבין העובדות בשטח) במתמטיקה:
1. הפיתגוראים ומשבר היסודות הראשון
2. היסודות הרעועים של הקלקולוס (חשבון אינפיניטיסימלי -- או חדו"א)
3. משפטי גדל


הספר מלא בהסברים קצרים לנושאים מורכבים ומסובכים. הנה, למשל במבוא הדיון על המספרים הרציונליים בהקשר של הפיתגוראים והבעיה שלהם עם מספרים שלא ניתן היה לייצג עם מספרים רציונליים (למשל שורש ריבועי של 2...) -- בהסבר הקצר מסביר המחבר, ארנון אברון, על מושג היחס בהקשר של מדידה ומספר רציונלי:

איך מודדים אורך באמצעות מספרים רציונליים, או ליתר דיוק, מתי ניתן למדוד אורך באמצעות מספרים רציונליים? למה הכוונה למשל בטענה, שאורכו של קטע מסויים הינו 1 ושלושה רבעים של המטר? ובכן, הכוונה היא שהיחס שבין האורף של אותו הקטע ובין מטר אחד הוא 7 ל-4. פירוש הדבר הוא, שאם מחלקים את הקטע הנמדד ל-7 חלקים שווים, ומחלקים 1 מטר ל-4 חלקים שווים, מקבלים את אותו קטע בדיוק. הקטע הזהנכנס במטר בדיוק 4 פעמים, ובקטע הנמדד הוא נכנס 7 פעמים בדיוק. הוא מהווה, לכן, מידה משותפת של הקטע הנמדד ושל המטר. ניתן איפוא למדוד קטע במטרים באמצעות מספרים רציונליים רק כאשר לקטע הנמדד יש מידה משותפת עם המטר.

המחבר פותח את הספר בהתנצלות משולשת:
1. הספר כולל מידע הסטורי לא מועט, משום שהמחבר אינו הסטוריון ואין זה ספר על תולדות המתמטיקה יש בו לפיכך אי דיוקים הסטוריים לא מעטים.
2. הספר מתייחס לא מעט לפילוסופיה אף שמחברו אינו מומחה בתחום זה. המחבר מתנצל בפני עמיתיו הפילוסופים ובפני הוקראים על כל מקום שבו חטא בפשטנות או בחוסר הבנה.
3. אפילו במתמטיקה -- נושא הספר -- היה צורך לפשט באופן בלתי נמנע אך חיוני -- כי הספר פונה לקהל הרחב. צעד זה בעייתי למי שחונך לדיוק מתמטי והורגל בו. כדי ליישב זאת עם מצפונו הוסיף המחבר הערות שוליים לא מעטות.


הפרקים בספר:
א': הפיתגוראים ומשבר היסודות הראשון
ב': הגיאומטריות הלא אוקלידיות -- ספר מעניין על ההסטוריה של המתמטיקה בנושא הוא השערת פואנקרה מאת דניאל אושיי.
ג': המשבר השני: היסודות הרעועים של הקלקולוס
ד': עד כמה ממשיים הם המספרים הממשיים
ה': תורת הקבוצות: חקר האינסוף האקטואלי
ו': קטסטרופת הפרדוקסים
ז': האם המתמטיקה היא חלק מהלוגיקה?
ח': אקסיומטיזציות של המתמטיקה
ט': פלטוניזם במתמטיקה
י': גישות קונסטרוקטיביסטיות
י"א: פורמליזם והפרוגרמה של הילברט (על הפרוגרמה של הילברט קראתי באינספור ספרים על תולדות המתמטיקה, למשל, האיש שאהב רק מספרים)
י"ב: משפטי אי השלמות של גדל
י"ג: אחרי גדל


הערה של המחבר בעמוד 32 שבה הוא מנסה לסייע לקוראים להבין את ההבדלים בין מצב הגיאומטריה ובין מצב האלגברה עד המאה ה-19 -- האמצעי הוא לנסות להקביל את זה למתרחש בבית הספר התיכון בימינו:

בבית הספר התיכון לומדים גיאומטריה באופן מסודר. במסגרת הלימודים מנסחים אקסיומות, מגדירים הגדרות ומוכיחים משפטים על סמך ההגדרות והאקסיומות. אפילו מבהירים לתלמידים את הצורך באקסיומות;  מסבירים להם, כי הוכחת כל משפט מתבססת על משפטים קודמים לו, והוכחת אלה מסתמכת על משפטים קודמים עוד יותר, וכן הלאה. בסופו של דבר, טוענים המורים בצדק, חייבים להגיע לטענות שאותן יש לקבל ללא הוכחה -- אקסיומות. כל זה טוב ויפה, אבל פשוט אינו קיים בלימודי האלגברה והאנליזה. לא שאין מידי פעם "הוכחות". יש אפילו לא מעט תרגילים הנפתחים במילה "הוכח ש...". אבל אין אקסיומות (להוציא את אקסיומת האינדוקציה), והפיתוח אינו נעשה באופן לוגי ומסודר. מרבית ה"הוכחות" אינן אלא מניפולציות של סימבולים ומשוואות, שספק אם התואר "הוכחה" יאה להן. מצב העיניינים הזה בא היטב לידי ביטוי בחלוקה השרירותית לשיעורי "מתמטיקה" ולשיעורי "גיאומטריה". לגבי התלמידים, האריתמטיקה והאלגברה הם המתמטיקה, ואילו הגיאומטריה היא ענף שונה לחלוטין. הדבר בא לידי ביטוי גם בשאלות (שיכולות להטריף דעתו של מורה בר דעת) כמו: "האם חוקי להוכיח כך?". שאלות מהסוג הזה נדירות בלימוד הגיאומטריה, אך שכיחות בלימודי האלגברה, הטריגונומטריה והאנליזה. בלימודים אלה נוצר רושם אצל התלמידים, שמה שקובע את נכונות ההוכחות הוא לא היותן תקפות לוגית ומשכנעות, אלא היותן "חוקיות" לפי איזשהו תקן, שחבר מומחים עלום שם קבע...

כמה קישורים בנושאים שבהם דן הספר -- והפניות לספרים שבהם גם דנים בנושאים הללו:
פוסט מעניין קשור בבלוג לא מדוייק: משפט אי השלמות של גדל -- מה הוא ממש, ממש לא.  בפוסט קוטלים חלק מההצגות הפופולריות של משפטי גדל ויש ירידה לפרטים מה המשפטים מייצגים ומה אינם ומה יש להסיק מהם ומה לא (גם הספר הזה עוסק בשאלות הללו במידת מה). כתבתי בעצמי פוסט בבלוג שלי על  אלן טיורינג (פוסט שכתבתי על אלן טיורינג). בספר מספר המחבר על אלן טיורינג (מעניין גם לקרוא את דעתו של ג'ף הוקינגס בספרו על האינטליגנציה על ההשקפה הרווחת על מבחן טיורינג כמבחן ליכולת של מכונה לאינטליגנציה -- רמז: הוא שולל את זה ומציע מבחן אחר ומנמק -- מעניין ביותר). פרופסור רון אהרוני: כיצד המתמטיקאים המציאו את המחשב -- הרצאה בטכניון -- שם יש סקירה הסטורית שחופפת לתקופה שבה החלק האחרון של הספר דן -- זה עוזר לקבל תמונה מנקודת מבט נוספת. ההוכחה והפרדוקס מאת רבקה גולדסטיין -- ספר שכולו עוסק בקורט גדל ובמשפטים שלו. הספר הזה שנוי במחלוקת בעניין ההצגה של משפטי גדל. ספר שעוסק לעומק בשאלה האם מתמטיקה ממציאים או מגלים הוא האם אלוהים הוא מתמטיקאי? מאת מריו ליביו -- הפילוסופיה של המתמטיקה בשאלה זו ושאלות אחרות נדונות בספר באופן מרתק תוך הצגה של פרקים רבים בתולדות המתמטיקה -- ספר מעניין ומחכים ביותר. מתמטיקה שירה ויופי מאת רון אהרוני -- בספר הזה יש הצגה של תולדות המתמטיקה ושל נושאים במתמטיקה תוך כדי דיון בדומה ובשונה בין מתמטיקה, שירה ויופי -- ספר מקסים ומחכים וקל לקריאה ולעיכול חרף הנושאים המורכבים שמוזכרים בו.  המחשב אינו כל יכול מאת דוד הראל -- ספר שעוסק במה שמחשבים יכולים ואינם יכולים לעשות -- חישוביות ותולדות המתמטיקה והתחום בנושא -- ספר מרתק שפותח אשנב לקהל הרחב. לבסוף: ליאו קורי על הספר -- עוד סקירה וביקורת.