Tuesday, November 15, 2011

אחדות או יחידות? מה ההבדלים? -- הנה ההסבר

האם יש לומר "ספרת האחדות" או שמא יש לומר "ספרת היחידות"?
אין כאן רק עניין של עברית תקינה או של שפה מתפתחת. יש כאן עניין של הבנת המשמעות והבחנה בדקויות.

לצערי, אני רואה בחלק מחומרי הלימוד במתמטיקה את השגיאה *"ספרת היחידות" או ששואלים *"כמה יחידות יש במספר?". מצער אותי יותר שאני שומע יותר ויותר מורים שמלמדים דורות שלמים של תלמידים את השגיאה ומשרישים אותה ואת הכשל המחשבתי שמאחוריה. השגיאה כאן אינה רק במשלב העברית אלא מהותי יותר -- המילה יחידה מתארת דבר אחד בעוד שהמילה אחדה מתארת דבר אחר. הצורה התקינה היא "ספרת האחדות" ואת השאלה יש לשאול "כמה אחדות יש במספר?". אין די בכך שאספר על הצורה השגויה ועל הצורה הנכונה. ראוי שאסביר בדיוק מדוע האחת נכונה בעוד שהשנייה שגויה. אך לפני שאסביר, אפתח בהגדרות. נבין, ראשית כל, מהי אחדה ומהי יחידה.

מהי אחדה?
אחדה: צורת היחיד של אחדות. מדובר במשהו שהוא אחד. זוהי מילה שתכליתה לתאר כמות של אחד (1). לא בכדי המילה אחדה נגזרת מהמילה אחד.
שאלה: כמה אחדות יש במספר 123?
תשובה: במספר 123 יש 123 אחדות. מדוע? כי יש במספר 123 בדיוק 123 פעמים אחד.
שאלה: כמה אחדות בודדות יש במספר 123? במספר 123 יש 3 אחדות בודדות (יש עוד 120 אחדות שמאוגדות בשתי עשרות ובמאה אחת).
המילה אחדה אינה ייחודית לשפה העברית. באנגלית נאמר one עבור אחדה ונאמר ones עבור אחדות.

מהי יחידה?
יחידה: המילה יחידה מגיעה מהביטוי יחידת מידה. מספרים משמשים אותנו לצורך תיאור של כמות. נוח לתאר כמויות באמצעות גדלים קבועים ומוסכמים: התיאור של הכמות נעשה באמצעות השוואת הכמות ליחידות המידה. אנו מכירים יחידות מידה רבות, למשל, מתוך השיטה העשרונית, אנו מכירים את המטר, הגרם, הליטר וכו'. היחידה מייצגת כמות מאורגנת ומוסכמת. אך לפעמים כשאומרים יחידה מתכוונים לכינוי של העצמים שאותם אנו מונים. למשל, אם לפני 5 עגבניות, אז המספר 5 מתאר כמות של יחידות של עגבנייה. אם אנו מונים כבשים בשדה אזי יחידות המנייה שלנו הן כבשים בשדה. אם אנו מונים אשכולות ענבים, אזי כל יחידה של מנייה היא אשכול של ענבים.
באנגלית יחידה היא unit ויחידות הן units.

אז מה ההבדל בין אחדה לבין יחידה?
האחדה מתארת כמות: כמה פעמים 1 יש במספר.
היחידה מתארת כמות מאורגנת. במספר 123 כל עשרת היא יחידה. כמה יחידות של עשרת יש במספר 123? יש 12 יחידות של עשרת. כמה יחידות בודדות של עשרת יש במספר 123? ישנן שתי יחידות בודדות של עשרת, או במילים אחרות, ישנן שתי עשרות בודדות במספר 123.


אז מהו המקום של הספרה 3 במספר 123? המקום של הספרה 3 במספר 123 הוא של ספרת האחדות.

2 comments:

  1. אתה חושף כאן בלבול מושגי שבוודאי לא עוזר לילדים להבין ולהוקיר את משמעות החשבון וכוחו. אבל לדעתי לא נגעת בשורש הבעיה. בספרי הלימוד ובכתבים שונים יש התייחסות זהה אל המספר ואל ייצוגו הספרתי. למספר (טבעי או לא) אין אחדות בכלל. לייצוג הספרתי שלו (לפי איזה בסיס?) יש אחדות המיוצגות בספרה הימנית (כי הפכנו את הכתיבה) של הייצוג הספרתי הנדון. זהו רק אפס קצהו של הבלבול הנקרא חשבון והוראתו (אפילו בשיטת עץ-הדר-סינגפור). בגלל הרתיעה ממספרים כישויות לא טקסטואליות, מזהים ייצוג ספרתי עם המספר עצמו, בשעה שלביטוי "המספר עצמו" אין משמעות מוסכמת אפילו בין המתמטיקאים. אז למה נלין על המורים??

    ReplyDelete
  2. תודה רבה על התגובה.
    אני מסכים שהשורשים של הבעיה עמוקים יותר.
    לעץ-הדר ולסינגפור אין קשר, למיטב ידיעתי, מלבד זה שספורים המציאו :-)
    מה שאני מציג כאן אינו תלוי שיטה אלא תלוי תרבות ושפה.

    אני סבור שלמושג מספר יש משמעות די מוסכמת גם בין המתמטיקאים בוודאי בכל הקשור למתמטיקה של בית ספר יסודי.

    מספר מייצג כמה דברים: כמות, סדר ויחס.
    מספר מייצד קודם כל כמות ושתי התכונות האחרות של המספר הן תוצאה של תכונת הכמות. עובדה זו נכונה הן מהבחינה ההיסטורית, הן מהבחינה המתימטית, הן מהבחינה הפסיכולוגית והן מהבחינה הלוגית ומתוך כל אלה הן מהבחינה הדידקטית.
    העובדה שהמספרים הטבעיים מסודרים נובעת מהיותם מונים כמויות.
    לדוגמא, 9 בא אחרי 8 , כי זה סדר המנייה של כמות העצמים. תכונת היחס אף היא פועל יוצא מתכונת הכמות. למשל, אם נאמר שיש לי 6 עפרונות, הרי משמעות הדבר היא שבידי 6 פעמים היחידה שהיא העיפרון.

    הבלבול נובע מתוך חוסר ידיעה והבנה של אלה.

    ReplyDelete