Saturday, October 29, 2011

טעויות מתמטיות בהוראת מתמטיקה בבית ספר יסודי

מעת לעת אני מוצא תפיסות מתמטיות שגויות בקרב תלמידים. פעמים רבות מדובר באי הבנה של התלמידים אך לפעמים לא.   כשהמורה מבין את מקור התפיסה השגויה ומתקן אותה מהבסיס אז התלמיד מרוויח לא רק את ההבנה במקרה המיוחד הזה אלא גם כלי חשיבה. הנה כמה דוגמאות:


1. 
הטעות: המורה מסבירה לתלמידים בכתה שלדלתון יש זוג שוקיים "עליונות" ששוות זו לזו וזוג שוקיים "תחתונות" ששוות זו לזו.

דיון: כמובן שמדובר בהסבר לקוי. הרי הדלתון שומר על תכונותיו ועל הגדרתו גם כאשר הוא מוזז וכאשר הוא מסובב -- הגדרת הדלתון אינה תלויה במיקום הצלעות השוות שלו ביחס לצופה. הגדרה של דלתון יכולה להיות מרובע שיש לו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות (כך שאין צלע ששייכת ליותר מזוג אחד). הגדרה אחרת (אופרטיבית, שכן היא גם מסבירה כיצד לייצר דלתון): שני משולשים שווי שוקיים שלהם בסיס משותף יוצרים דלתון. הגישה של המורה משקפת טעות חשיבה וכנראה גם בעיה -- התלמידים עלולים להבין שתכונות הדלתון תלויות באופן שבו מציירים את הצלעות שוות האורך ("עליונות" ו-"תחתונות").


אפשר לראות מתמונות הדלתונים לדוגמה שמובאים בערך דלתון בויקיפדיה שהצלעות העליונות כלל אינן שוות באורכן זו לזו ובאותו האופן גם התחתונות אינן. מדוע? כי זוג אחד של צלעות שוות אורך שורטט בדוגמאות הללו משמאל והאחר מימין. כמובן, שאפשר לסובב את הדלתון כרצוננו ואז גם לא תהיה משמעות לעליון, תחתון, ימני  או שמאלי...





2. 
הטעות: זווית חדה היא זוית שגודלה ממעלה אחת ועד 89 מעלות.
דיון: זאת חשיבה וגם בעייה: המורה טועה ומטעה -- לאן נעלמו אינסוף הזוויות החדות שגדולות מאפס מעלות ושקטנות ממעלה אחת? ולאן נעלמו אינסוף הזוויות החדות שגדולות מ-89 מעלות ושקטנות מזווית ישרה?

הצעה להוראה מסודרת:
להבדיל, הנה קישורים לסדרת סיכומי שיעורים לתלמידים בבית ספר יסודי שאני מלמד בהתנדבות מידי יום שישי אחרי שעות הלימודים -- בסיכומים אני מתייחס להוראה יסודית וראוייה לזווית:

3. 
הטעות: בקייטנה א' יש 55 קייטנים. בקייטנה ב' יש 31 קייטנים. בקייטנה א', 20 מהקייטנים אינם יודעים לשחות. בקייטנה ב' יש קייטן אחד שאינו יודע לשחות. המסקנה היתה: כ-20% מהקייטנים בשתי הקייטנות אינם יודעים לשחות.
דיון: המסקנה הזאת התקבלה מתוך חישוב ממוצע פשוט:
(20/55+1/31)/2 ~ 19.8%
אבל, האמת היא שכל אחת מהקייטנות מהווה שלם בגודל אחר ואופן החישוב הנכון הוא לחשב כמה אינם יודעים לשחות בסך הכל בשתי הקייטנות ולחלק בסך כל הקייטנים ואז נקבל: 
(20+1)/(55+31) ~ 24.4%
התשובה שונה: האם חמישית או רבע מהקייטנים אינם יודעים לשחות?
התשובה הראשונה (הממוצע) שגויה. התשובה השנייה נכונה. למה הדבר דומה? הנה שאלה: כמה זה חצי שקל ועוד חצי שקל? התשובה: 1 שקל! זה קל. ועכשיו: כמה זה חצי שקל ועוד חצי דולר? אוי! זה כבר לא כ"כ קל. ברור לנו שמדובר בחיבור חצאים של שלמים שונים (במקרה הזה שונים בערכם). גם במקרה של ההקייטנים, בכל קייטנה יש כמות שונה של קייטנים.

אז אי אפשר להשתמש בממוצע?! אפשר להשתמש בממוצע משוקלל -- כזה שמביא בחשבון את התרומה היחסית של כל שלם שמשתתף בחישוב. אפשר. דוגמאות נוספות לכשל שכזה אפשר למצוא ברשימה של הסטטיסטיקאי יוסי לוי ב-נסיכת המדעים.

***

25 comments:

  1. הבעיה היא שמורים בלי הבנה בסיסית של מתמטיקה מלמדים את המקצוע ביסודי. משרד החינוך נותן לזה לקרות, אולי בשל מחסור במורים איכותיים יותר. כך או כך, החינוך בישראל יכול להשתפר הרבה.

    ReplyDelete
  2. some more mistakes -
    1. around 35 years ago my teacher claimed that a triangle can be made from any 3 edges (that's obviously wrong)
    2. around 1 year ago my doughter's teacher, claimed that she can floor infinate plain using equal edges pentagons. again the teacher is wrong...

    ReplyDelete
    Replies
    1. Um... please note that the correct spelling should be "Daughter" and "Infinite"

      Delete
    2. אפשר ליצר משולש משלש צלעות כלשהן ובתנאי שהן מקיימות את הכלל שסכום אורכי כל זוג צלעות גדול מהצלע השלישית (אי שוויון המשולש)
      אפשר לעדן ולומר שאם אורך הצלע הארוכה קטן מסכום אורכי שתי הצלעות האחרות - המשולש אפשרי ואם הוא גדול יותר לא ניתן לבנות כזה משולש במישור אוקלידי

      Delete
  3. איפה שמעת מורה מתנסח ככה?

    ReplyDelete
  4. הטעות:
    15+13=28
    ולא כפי שנכתב
    15+13=18

    חוץ מזה, אני בטוחה שאם היו מבינים בממשלה שהחינוך הוא הבסיס לחברה תיפקודית אז גם המטמתיקה הייתה זוכה למורים איכותיים. אבל אולי הממשלה רוצה לשמור על שקיעת החינוך - כך קל יותר לשלוט על חברה

    ReplyDelete
    Replies
    1. כותבים מתמטיקה
      שבוע טוב

      Delete
  5. אומרים ממוצע משוקלל (מלשון משקל) לא ממוצע משוכלל

    ReplyDelete
  6. ההגדרה של דלתון כמרובע בעל שני זוגות של צלעות שוות אינה נכונה, כי גם מקבילית עונה להגדרה זו. (נראה שזה מה שעובר בראש של מי שמדבר על "עליונות" ן- "תחתונות") צריך הגדרה קצת יותר מפורטת

    ReplyDelete
    Replies
    1. במקבילית הצלעות השוות אינן סמוכות. ההגדרה שניתנה היא מדויקת

      Delete
  7. ההגדרה של דלתון כמרובע שיש לו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות לא טובה כי לכל צלע יש שתי צלעות סמוכותאז לאיזה זוג מתכוונים בהגדרה? בדוגמא למעלה גם הצלעות
    AD DC
    הן צלעות סמוכות

    ReplyDelete
  8. אם כבר מדקדקים - אז שני זוגות השוקיים של שני משולשים שווי שוקיים וכו' מייצרים דלתון, ולא כפי שתיארת

    ReplyDelete
  9. הבעיה היא ששכר המורים כה נמוך שהוא לא בדיוק מושך את שמנה וסלתה של הסטודנטים...

    ReplyDelete
    Replies
    1. אם מחשבים שכר של מורה לפי נוסחה של סכום עבור שעת עבודה, אז נראה שמורה מרוויח יותר מאיש היי-טק

      לחזור הביתה כל יום בצהרים, לעבוד 4.5 ימים בשבוע, חודשיים חופש גדול בשנה, חופש פסח, סוכות, ועוד עשרות ימים שבהם שאר האוכלוסיה עובדת - ולקבל על כך שכר.

      מי שעובד פחות מרוויח פחות. אני ממש לא מרחם על אף מורה - רובם בחרו את המקצוע בגלל הנוחות של מקצוע שמאפשר לגדל ילדים.

      Delete
  10. הגדרת הדלתון טובה
    הצלעות הסמוכות הן של המרובע לא של צלע במרובע

    אפשר לדקדק ולאמר כי דלתון הינו מרובע בעל שני זוגות זרים של צלעות נושקות השוות באורכן.

    ReplyDelete
    Replies
    1. קיימות עשרות הגדרות שונות אך נכונות למושג גיאוטרי אחד (כמו במקרה שלנו, הדלתון). כולן מדויקות. הגדרה צריכה להיות נכונה (מדויקת) אבל, כשמדובר בהוראת הגיאומטריה ועוד בבית הספר היסודי, רצוי לבחור בהגדרות קלות (שניסוחן קצר אבל לא נשען על מונחים שאינם שגורים כמו "זוגות זרים" ו"צלעות נושקות"). רצוי להציג הגדרות שונות כדי שהמושג ייקלט ולא נוסח ההגדרה. רצוי שההגדרות המוצגות תתבססנה על מה שתלמידים יודעים כבר, כדי שיבינו שההגדרה במתמטיקה היא חלק מתהליך של בניית התכנים המתמטיים.

      Delete
  11. When my eldest daughter was in school (second/
    third grade?) she was taught that division by
    zero yields zero. I went and spoke with the
    teacher who told me that thats
    what the maths advisor had told them to teach...

    ReplyDelete
    Replies
    1. Great, and what was your reply?

      Delete
  12. כנראה שאף פעם לא יצא לך לדבר עם מורה...
    האם אתה יודע כמה זמן המורה משקיעה בישיבות ואסיפות למיניהן: הורים, מורים, רכזי שכבה, רכזי מקצוע, מחנכות?
    האם אתה יודע כמה זמן הן משקיעות בהכנת מערכי שיעור?
    האם אתה יודע כמה זמן הן משקיעות בהכנת שאלוני בחנים ומבחנים ואחר כך בבדיקת אותם בחנים ומבחנים?
    האם אתה יודע כמה זמן הן משקיעות בהכנת גיליוני ציונים והתעודות?
    האם אתה יודע כמה מתוך מה שאתה קורא חופש סוכות, פסח, הגדול, הוא חופש עבורן?
    האם אתה יודע כמה השתלמויות נדרש מהן כדי להמשיך וללמד?
    ואני בכלל לא מורה...

    ReplyDelete
  13. ואו, אתם חבורה של פלצנים. מי בכלל זוכר את הדברים האלה ?!

    ReplyDelete
    Replies
    1. כל מי שקצת יותר מפותח מגורילה זוכר.

      Delete
  14. גם אם לא זוכרים, השגיאות יוצרות רקב מחשבתי לאורך שנים. למזלי, כאשר בני פתר בעיות בחשבון בדרך מוזרה, המורה שלו ידעה לבקש ממנו שיפנה אלי כדי שאבדוק. הדרך המוזרה היתה נכונה מאד והמוורה לא הטרידה אותו. היום הוא מהנדס חלל.

    ReplyDelete
  15. אתה צודק; אבל גם קטנוני...

    ReplyDelete
  16. לא יודע איפה אתם למדתם, אבל אני מעולם לא נתקלתי בטעויות הנ"ל

    ReplyDelete