Tuesday, June 1, 2010
Validation SOAP messages against XML Schema when references are used
I am confused about how schema validation of SOAP messages should be worked out in the presence of href links. The confusion is with regards to qualifiedness of elements. I asked about this in xml-dev. Hopefully, the experts there can suggest some help.
אלן טיורינג
בחרתי לכתוב על אלן טיורינג. את רשימת המקורות שבה עשיתי שימוש (כולל קטעים שלמים לפעמים) אפשר למצוא עם קישורים בסוף החיבור.
תולדות חייו בקצרה:
אלן מת'יסון טיורינג (Alan Mathison Turing): 1954-1912. נולד בלונדון. מתמטיקאי, לוגיקאי, פילוסוף, הוגה, ממציא, תאורטיקן ואיש מעשה. על שמו הפרס השנתי החשוב ביותר במדעי המחשב (יש מי שאומרים שזה המקביל בתחום המחשוב לפרס נובל), פרס טיורינג. אלן טיורינג העז לשאול אם מכונה מסוגלת לחשוב. המושג 'מכונת טיורינג' (מ-1936) משמש כיום לא רק בתחומם של המתמטיקה ומדעי המחשב אלא גם בפסיכולוגיה הקוגניטיבית ובביולוגיה התיאורטית. מאמרו (מ-1950) "מכונות חישוב ובינה", שמתאר את אמת המידה שנקראת 'מבחן טיורינג', הוא אבן הפינה של התיאוריה של בינה מלאכותית. בין לבין, טיורינג עשה עוד דברים: היה לו תפקיד מכריע בהשפעה על תוצאותיה של מלחמת העולם השנייה, והיתה לו תוכנית מרחיקת ראות, שהוא הגה ופיתח לבדו, לבניית מחשב אלקטרוני ולשימוש בו. במחשבתו ובחייו הקדים את זמנו בדור שלם. היו לטיורינג גם תרומות בלוגיקה, אנליזה, אלגברה, ביולוגיה, כימיה ובפילוסופיה. בשנת 1954, בחדר שכור במנצ'סטר, שם קץ לחייו; ליד מיטתו נמצא תפוח נגוס, משוח בציאניד, השראת-מוות שאותה קיבל מסיפור "שלגייה ושבעת הגמדים". גופתו של האיש היתה גמלונית ומעוותת, תוצאה של סדרת זריקות הורמונים שאותן אולץ לקחת בצו בית משפט בריטי, כעונש על כך שהודה באקט הומוסקסואלי. כך, בגיל 41, סיים את חייו אלן טיורינג. אמו לא קיבלה את הטענות בדבר ההתאבדות, וטענה שמותו היה תוצאה של רשלנות בטיפול בכימיקלים במעבדה (אף שטיורינג לא היה כימאי). הביוגרף אנדרו הודג'ס העלה השערה שטיורינג סידר שנסיבות המוות לא תהיינה ברורות כדי לתת לאמו את האפשרות להכחיש שהתאבד. סיפור חייו הקצרים של טיורינג שתואר בשנים האחרונות בספרים אחדים (בבליוגרפיה שבסוף העבודה יש רק מקורות מעטים מני רבים) ובהצגה מצליחה בשם "Breaking the Code". טיורינג היה צעיר ביישן ומגמגם, חסר כישורים חברתיים וכמהּ לקשר ולמגע אנושי עם חברה שלא ידעה איך לקבל אותו; ואילו היום, לאחר מותו, טיורינג הוא דמות נערצת ואהובה. אלן טיורינג נחשב לאבי המחשב והבינה המלאכותית. היה בו שילוב נדיר של מתמטיקאי תיאורטיקן ואיש מעשה, שהיה מעורב אישית בבנייה של מכונות החישוב שתכנן.
תרומתו של אלן טיורינג למתמטיקה:
תחום מחקרו הראשון של טיורינג כסטודנט לתואר ראשון היה הבעייה המעשית של הטלת מטבע. התוצאה היתה ניתוח תיאורטי של התוצאות המיוצרות על ידי ניסוי אקראי. טיורינג התאכזב כאשר גילה שעבודת המחקר שלו שכפלה את מה שהושג עשר שנים קודם לכן על ידי המתמטיקאי הפיני לינדברג (Lindeberg) ונקרא 'משפט הגבול המרכזי'. אף על פי שההוכחה של טיורינג למשפט הגבול המרכזי לא היתה מקורית, היתה בה עדות מספקת לפונציאל הטמון בו והוא נבחר לסגל של קינגס קולג' בגיל 22 (צעיר מאוד).
מכונת טיורינג
טיורינג נודע כמעדיף לעבוד מחוץ לקנון המתמטי. במקום לקרוא את המאמרים המתמטיים של עמיתיו, הוא העדיף להגיע למסקנות משל עצמו. חרף הבידוד שכפה על עצמו, טיורינג לא יכול היה שלא להיות מודע למשבר שסחף אז את עולם המתמטיקה. בקיימברידג' דיברו על עבודתו של מתמטיקאי אוסטרי צעיר. ב-1920, כאשר הילברט איתגר את עמיתיו להוכיח את תקינותה של תורת הלוגיקה המתמטית. הילברט האמין כי ניתן להוכיח שהלוגיקה המתמטית, שעליה מושתת כל המדע המודרני, היא תורה עקבית, שלמה וכריעה (אנו אומרים על תורה כי היא "עקבית" אם אי אפשר להוכיח באמצעותה דבר והיפוכו; "שלמה" אם ניתן להוכיח באמצעותה כל דבר או היפוכו; ו"כריעה" אם קיים תהליך מובנה ושיטתי, "אלגוריתם", שמכריע עבור כל טענה נתונה אם היא נכונה או לא).
כדי להבין את הדקויות הללו יש להבדיל בין ההיגד "אני טענה נכונה" להיגד "יש לי הוכחה"; לדוגמה, אם טענה כמו "כל מספר זוגי הוא סכום של שני מספרים ראשוניים" היא נכונה, הרי הנכונות שלה היא חוק טבע אוניברסלי שאינו תלוי בתורת ההוכחה הלוגית, שהיא המצאה אנושית ותו לא. במלים אחרות, נכונות של טענה היא תופעת טבע חוץ-מתמטית; ולעומתה, הוכחה של טענה היא שרשרת של צעדים לוגיים - מניפולציות על סימנים - שמתחילה מאקסיומות ומטענות שהוכחו כבר ומנסה להפיק, בסוף השרשרת, את הטענה האמורה. לכן, ייתכן בהחלט שטענה מסוימת תהיה נכונה באופן טבעי אבל שאיננו מסוגלים להוכיח אותה באמצעות ארגז הכלים המוגבל שלנו.
הילברט היה בטוח שניתן להשתמש בהגיון המתמטי כדי להוכיח שהמתמטיקה אינה מכילה סתירות. על פי השקפתו, השנייה מבין עשרים ושלוש הבעיות שלו היתה רק עניין של הכנסת סדר בבית המתמטי. השאלה נעשתה מעט דחופה יותר כאשר כמה אנשים וביניהם ברטרנד ראסל יצרו את מה שנראה כמו פרדוקסים מתמטיים. על אף שעבודתו של ראסל – Principia Mathematica – מצאה דרך לפתור את הפרדוקסים הללו, היא עוררה את תשומת ליבם של רבים ביחס לחשיבותה של השאלה של הילברט.
ואמנם, התוכנית של הילברט החלה להיסדק בשנת 1931, כאשר קורט גדל האוסטרי (Kurt Gödel, 1906-1978) הוכיח כי המתמטיקאים לא יוכלו להוכיח לעולם שיש להם היסודות הבטוחים אשר אליהם הילברט השתוקק כל כך. אי אפשר להשתמש באקסיומות של המתמטיקה כדי להוכיח שהאקסיומות הללו לעולם לא יוליכו לסתירות. למעשה, גדל הראה שאם תורת ההוכחה הלוגית היא עקבית, הרי היא בהכרח לא שלמה, דהיינו שיש אמיתות מתמטיות שלעולם לא נוכל להוכיח אותן. גדל חולל מהפכה בתחום שנקרא לוגיקה מתמטית. הוא הוכיח משפט שהפך לאחד המפורסמים בתולדות המתמטיקה: כל מערכת אקסיומות סבירה לתורת המספרים מחמיצה איזושהי טענה אמיתית. 'מחמיצה' במובן זה שאף כי הטענה נכונה, אי-אפשר להוכיח אותה ממערכת האקסיומות. למילה 'סבירה' יש כאן הגדרה מדויקת: מערכת אקסיומות נקראת 'סבירה' אם אפשר לזהות בצורה מכנית את האקסיומות שנכללות בה. במונחים מדויקים יותר, אם יש אלגוריתם (או תוכנית מחשב) שיודע להחליט בדבר שייכות אליה. כלומר, קיימת תוכנית מחשב שמקבלת כקלט טענות, ולכל טענה שהיא מקבלת היא יודעת להחליט אם היא שייכת למערכת האקסיומות או לא. כדי להוכיח את משפטו היה גדל צריך להגדיר בצורה מתמטית מהו 'אלגוריתם', והדבר הוביל להבנה של הצדדים המכניים של החשיבה האנושית בכלל, ושל החשיבה המתמטית בפרט. מסתבר שיש אינסוף אמיתות שלעולם לא נוכל להוכיח את נכונותן, וזאת בגלל מוגבלות אינהרנטית של השפה הלוגית מתמטית שבה אנו משתמשים.
החדשות על המהפכה של גדל התפשטו במהירות וכשהמתמטיקאי הטופולוגיסט ניומן (Newman) שמע בתחילת שנות השלושים שתוכניתו של הילברט חוסלה על ידי גדל, עלה בו הרצון לחקור כמה מהמורכבויות שברעיונותיו של גדל. חמש שנים לאחר מכן הוא חש מספיק בטוח בעצמו כדי להכריז על סדרת הרצאות על משפט אי השלמות של גדל. ניומן סיים בשאלה שתפעל כמעין זרז על הדמיון של הילברט ושל טיורינג גם יחד: האם ניתן להבחין בדרך כלשהי בין משפטים שיש להם הוכחה ובין אלה שאין להם הוכחה? הילברט העניק לשאלה את השם 'בעיית ההכרעה'. בעודו מאזין להרצאתו של ניומן על עבודתו של גדל השתכנע טיורינג כי אי אפשר לבנות מכונה מופלאה שתחליט את ההחלטות הללו. אבל לא נראה שיהיה זה קל להוכיח כי לעולם לא תוכל להתקיים מכונה שכזאת. אחרי הכול, כיצד ניתן לדעת מה תהיינה מגבלותיו של כושר ההמצאה האנושי בעתיד? ייתכן שאפשר יהיה להוכיח שמכונה אחת מסוימת לא תפיק תשובות, אלא שהמשמעות של הרחבת העניין הזה לכל המכונות האפשריות היתה להכחיש את אי היכולת שלנו לחזות את העתיד. ובכל זאת, זה מה שטיורינג עשה.
טיורינג שמע את ההרצאות האלה ומכיוון שהיה בנוסף להיותו מתמטיקאי בעל שיעור קומה גם בעל נטיות טכניות, הוא רצה לתת לתובנה של גדל לבוש קונקרטי. טיורינג שעבד לשם כך לבדו במשך כשנה, עד אפריל 1936, השיג את מטרתו. הוא המציא מודל תיאורטי פשוט להפתיע למכונה 'חושבת', מודל שנקרא כיום 'מכונת טיורינג'. זהו סרט מחולק למשבצות שנמתח לשני כיוונים עד אינסוף. על הסרט כתובה סדרת סמלים (כלומר, מילה) של 0 ו-1 (המילה אינסופית, כי הסרט אינסופי. אבל מותר להניח שמספר ה-1ים בה סופי, והשאר אפסים, ובמובן זה המילה סופית, משום שמספיק לקרוא את ספרות ה-1 כדי להכירה). המכונה יכולה להיות בכל רגע נתון באחד מאוסף סופי נתון מראש של מצבים. יש לה 'ראש' שקורא בכל רגע נתון אות אחת, ויש לה 'תוכנית מחשב' שאינה אלא אוסף הוראות כיצד לפעול: מה לעשות באות הנקראת, ולאיזה מצב חדש לעבור (ההוראה ניתנת על פי האות ועל פי המצב שבו המכונה נמצאת באותו הרגע). נחוץ אומץ רב וחזון כדי להניח שיכולת ניהול מכנית כזאת של מילים היא דגם לחשיבה האנושית. זה בדיוק מה שטיורינג הציע. הוא האמין שאין הבדל עקרוני בין חשיבתה של המכונה שלו לחשיבתם של בני אדם. הוא גם הראה שכל חישוב שהיה מוכר בזמנו אפשר לבצע על ידי המכונה שלו.
הפרסום של טיורינג בנושא התפרסם בסוף 1936 במאמר שכותרתו "על מספרים הניתנים לחישוב, עם השתמעות יישומית לגבי ה-Entscheidungsproblem". טיורינג ניסח את שאלתו של הילברט בצורה חדשה, לא במונחים של הוכחות, אלא של מספרים חישוביים. הניסוח מחדש הציב תביעה ברורה יותר להכיר בעובדה שהוא גילה רעיון מתמטי מרכזי. כפי שהשתמע מן הכותרת ה- Entscheidungsproblem היתה רק יישום של הרעיון החדש, רעיון החישוביות. בעיית העצירה היא בעיה מרכזית בתחום החישוביות, שהוא אחד מעמודי התווך של מדעי המחשב התאורטיים. בעיית העצירה מנוסחת כבעית ההכרעה הבאה: בהינתן תוכנית מחשב וקלט, האם התוכנית תסיים את פעולתה בשלב כלשהו עבור קלט זה. בעית העצירה אינה ניתנת לחישוב, כלומר אין אלגוריתם שמכריע עבור כל תוכנית מחשב Q וקלט X האם התוכנית Q עוצרת כאשר מופעלת על X (בקיצור: האם Q עוצרת על X). חשוב להבחין שמבחינה לוגית, בהינתן תוכנית מסוימת וקלט עבורה, התשובה האם היא עוצרת או לא מוגדרת היטב והינה חד משמעית. עם זאת לא קיים אלגוריתם כללי שיודע להבחין האם תוכנית נתונה עוצרת או לא על קלט נתון, ומצליח לעשות זאת לכל תוכנית שתינתן לו ולכל קלט אפשרי עבור תוכנית זו. בעיית העצירה מוכרת כעובדה מוצקה. לא צריך לבצע מהלך קשה במיוחד כדי לעבור מן הגילוי הזה, של בעיה שאיננה ניתנת להכרעה על ידי מכונה, להפעלה של התחשיב הפורמלי של הלוגיקה המתמטית, וכך לענות בשלילה על שאלת ההכרעה, אם אמיתות של משפט היא בת הכרעה, ה- Entscheidungsproblemשל הילברט.
טיורינג הדגיש את הנקודה שאין אי עקביות בעצם ההגדרה של מספרים שאינם ניתנים לחישוב; המספרים הללו הם נושא שתורת החישוביות המודרנית מטפלת בו באמצעות פעולות מדויקות וטיעונים לוגיים. יתכן שאפשר גם לחשב (באמצעות פעולות מחשב) ולמצוא כל ספרה של מספר שאינו ניתן לחישוב באמצעות עיבוד סמלים ((uncomputable; אבל יש צורך באינסוף שיטות שונות כדי למצוא את כל הספרות הללו יחד עם זאת, לתכונת החישוביות יש תשתית מתמטית מוצקה: זו היתה טענתו של טיורינג בזמנו והיא לא עורערה עד היום.
הישג כמו זה של טיורינג הוא בגדר נצחון לכל אדם, על אחת כמה וכמה לאדם הפועל במבודד, בוגר תואר ראשון צעיר; אך טיורינג איבד מייד את יתרונו. לפני שהוא מסר את מאמרו, הכריז אלונזו צ'רץ' (Church), לוגיקן מאוניברסיטת פרינסטון על מסקנה דומה בעניין ה- Entscheidungsproblemשל הילברט. טיורינג חיכה עד אוגוסט 1936 כדי לכתוב נספח המקשר את התוצאה שהוא עצמו קיבל לתוצאה שקיבל צ'רץ'. ניומן היה צריך לשכנע כי הטיעון של טיורינג שונה מזה שהעלה צ'רץ'. ב-1938, הציג טורינג את עמדתו:
פונקציה אמורה להיות "ניתנת באופן אפקטיבי לחישוב" אם ניתן למצוא את ערכיה באמצעות איזשהו תהליך מכני לגמרי. למרות שלא מסובך לתפוס את הרעיון הזה באופן אינטואיטיבי, רצוי לתת לו הגדרה חדה יותר, ניתנת לניסוח במונחים מתמטיים. הגדרה כזאת הוצעה לראשונה ב-1934 באוניברסיטת פרינסטון על ידי גדל... גדל הגדיר פונקציות כאלה כפונקציות "רקורסיביות כלליות"... הגדרה אחרת של "היות ניתן באופן אפקטיבי לחישוב" הוצעה על ידי צ'רץ'... שזיהה את ה"היות ניתן לחישוב" עם היות מוגדר כניתן לפתירה באמצעות תחשיב למדא (λ-definable). המחבר [טיורינג בעצמו] הציע לאחרונה הגדרה שמתאימה יותר לרעיון האינטואיטיבי... נאמר לעיל ש"פונקציה ניתנת באופן אפקטיבי לחישוב אם ניתן למצוא את ערכיה באמצעות איזשהו תהליך מכני". אפשר לפרש את הטענה הזאת באופן מילולי, ולומר שתהליך מכני לגמרי הוא תהליך שמכונה מסוגלת לבצע אותו... פיתוח הרעיונות האלה מוביל להגדרת הפונקציה הניתנת לחישוב שמציע המחבר, וכן לזיהוי של חישוביות [במובן הטכני והמדוייק של טיורינג] עם היות ניתן באופן אפקטיבי לחישוב. זה לא מסובך – אם כי קצת מייגע – להוכיח כי שלוש ההגדרות האלה שקולות זו לזו.
טיורינג מתייחס לתזה של צ'ר'ץ. יש לתזה הזאת מספר פירושים. למעשה, מקובלת כיום אמונה שנקראת 'התזה של צ'רץ'' (על שמו של אלונזו צ'רץ', Alonzo Church), שאומרת כי כל חישוב שאי פעם ייעשה ניתן לביצוע בעזרת מכונות טיורינג. כמה וכמה מודלים נוספים הוצעו עד כה לחשיבה מתמטית, וכולם התבררו כשקולים למכונת טיורינג בכוחם: הם יכולים לבצע בדיוק מה שמכונת טיורינג יכולה לעשות. מכונת טיורינג חזקה יותר אפילו מן המחשב המודרני משום שהזכרון (הסרט שעליו מתבצע החישוב) שלה הוא אינסופי. הרעיון של טיורינג היה פריצת דרך תיאורטית מכיוון בנייתם של מחשבים אמיתיים. יש מי שמכנה את התזה של צ'רץ' "התזה של צ'רץ' טיורינג", אבל התזה של טיורינג שונה מפני שהיא מכניסה לתמונה את העולם הפיסי וטוענת טענות על מה שניתן לביצוע בעולם הזה. כאמור, טיורינג גילה, לאחר זמן ארוך שבו עמל לבדוק ביסודיות את עבודתו ביחד עם מקס ניומן, שנוצח ברגע האחרון על ידי אלונזו צ'רץ' שהגיע לאותן המסקנות כמעט באותו הזמן כמו טיורינג. צ'רץ' פרסם ראשון. יחד עם זאת רעיון המכונה האוניברסלית של טיורינג היה מוחשי יותר משיטתו של צ'רץ' ובעל השפעה רבה יותר בהשלכותיו.
עבודות באנליזה, טופולוגיה, אלגברה ובלוגיקה של הפעילות המנטלית
טיורינג שהה שנתיים בארה"ב בפרינסטון ובקיץ שביניהן ב-1937 שהה שוב בקיימברידג'. תקוותו להצליח בניסוח חדש של יסודות האנליזה היתה מופרזת, והוא לא הוסיף דבר על הערותיו ב-"על מספרים הניתנים לחישוב" בענייני גבולות והתכנסות. אולם מלבד מחקרו רחב היריעה בתחומי האנליזה, הטופולוגיה והאלגברה והיגיעה על הוכחת השקילות שבין הגדרתו הוא את המושג של היות ניתן לחישוב להגדרותיהם של צ'רץ' ושל גדל הוא גם שקד על המאמר "מערכות לוגיקה המושתתות על מספרים סודרים", שהרחיב את שדה המחקר של הלוגיקה של הפעילות המנטלית. לוגיקה סודרת הופכת את הרעיון של "וכך הלאה עד אינסוף" לנוסחה מדויקת. טיורינג כתב: "המטרה בהנהגת לוגיקות סודרות היא להמנע ככל האפשר מתוצאותיו של משפט גדל". את הבלתי ניתן לחישוב לא ניתן להפוך לניתן לחישוב, אבל לוגיקות סודרות יכניסו אותו ככל האפשר למסגרת של סדר. מפעלו זה של טיורינג יצר תחום חדש של לוגיקה מתמטית. ב-1938 היו לטיורינג מפגשים עם הפילוסוף ויטגנשטיין וגם היתה לו התקדמות בעבודה על חקר פונקציית זטה של רימן.
מבחן טיורניג
ב-1950 פרסם טיורינג מאמר, "מכונות חישוביות ובינה", בעיתון הפילוסופי Mind ובו ניסה לשכנע את עמיתיו בכוחה של המכונה החדשה. התזה שלו היתה שלפחות בעיקרון המכונה יכולה לעשות כל דבר שהמוח האנושי מסוגל לעשות. המבחן לכך, כך טען, הוא מבחן התוצאה החיצונית – קוראים לכך היום 'מבחן טיורינג'. דמו לעצמכם, כך אמר, שבחדר אחד סגורה מכונה, ובחדר אחר יצור אנוש. אתם נמצאים מחוץ לשני החדרים הללו, ואינכם יודעים היכן המכונה והיכן האדם. מטרתכם לברר זאת, בלי לפתוח את החדרים. כל שמותר הוא לשאול לשאלות. האם תוכלו לגלות באיזה משני החדרים נמצא האדם? טיורינג טען שאם המחשב יתוכנת בצורה מחוכמת, אין שום דרך לגלות זאת. מסקנתו היתה שחשיבתה של מכונה אינה שונה עקרונית מזאת של האדם. טיורינג הניח במאמרו ובדיונים מאוחרים עליו את היסודות לתחום הבינה המלאכותית שפותח מאוחר יותר בארה"ב ע"י ניוול (Newell), סיימון (Simon), מינסקי (Minsky), ומקרת'י (McCarthy). טיורינג מעולם לא כתב את הספר על התיאוריה והפרקטיקה של החישוב שיכול היה לפרסם את שמו בעולם כאבי הרעיון.
מקורות חייו ברוח התקופה וציון מתמטיקאים ואישים:
טיורינג נולד בלונדון, אנגליה. הוריו חיו בהודו בגלל שרותו של אביו בשרות הציבורי בהודו עד לפרישתו ב-1926. טיורינג ואחיו חיו אצל חברים וקרובים בלונדון. הקסם שהיה למכונות על טיורינג התעורר מלכתחילה על ידי ספר שקיבל בשנת 1922, כשהיה בן עשר. "פלאי הטבע שעל כל ילד לדעת" מאת רדווין טני ברוסטר (Brewster) שהיה גדוש באוצרות שהציתו את דמיונו. הספר שפורסם ב-1912, הסביר כי קיימים הסברים לתופעות הטבע, והוא לא הסתפק בהזנת הקוראים הצעירים בתצפיות פאסיביות. בספר מוזכר תיאור שאפשר לסכמו בכך ש-"הגוף הוא מכונה. מכונה מורכבת לאין שיעור – הרבה יותר מורכבת מכל מכונה שנבנתה אי פעם ביד; אבל עדיין, אחרי הכול, מכונה."
התזה של טיורינג על המכונה האוניברסלית (מכונת טיורינג) באה בתגובה לשרשרת הארועים בעקבות הבעיות של הילברט וכמה "מהלומות" שחטפה המתמטיקה בשלושת הסעיפים: שלמות, עקביות וכריעות התבררה טעותו של הילברט. כבר הרחבתי על כך בפרק הקודם ולכן לא אחזור ואכתוב מחדש על הילברט, גדל, טיורינג וצ'רץ' בכל הקשור לרקע, לעבודה על התזה של טיורינג ועל ההשלכות.
אלא שטיורינג לא הסתפק בכך, ופסע גם צעד בכיוון המעשי. בזמן מלחמת העולם השנייה היה מן האחראים על פיצוח הצופן שבו השתמשו הגרמנים לתקשורת עם הצוללות שלהם, 'אניגמה'. במסגרת עבודתו הוא בנה מכונה שאפשר לראות בה מחשב פרימיטיבי. אחרי המלחמה עבר למנצ'סטר ושם בנה את אחד המחשבים הראשונים בעולם.
גישתו בנוגע לרמת התבונה האפשרית של מכונה שתוכל ללמד את עצמה, ליזום ולהסיק מסקנות ועצם האפשרות שהמחשב יעלה על האדם וישתלט על העולם, עוררו התנגדות רבה. פריצת הדרך לבניית מכונת חישוב ממשית הוגשמה כאשר טיורינג, יחד עם צוות של מדענים והוגים, בנו מתקנים שנועדו לפצח את צופן האניגמה של הנאצים ובכך קידמו את ניצחון בעלות-הברית במלחמת העולם השנייה. אל העיסוק הגיע שכהוא מנוסה בנסיונות לבניית מכונות לחישוב 'תוואי הנוף' של פונקציית זטה כדי להפריך את השערת רימן (ללא הצלחה). הסתבר שהמכשירים החדישים של טיורינג היו מוצלחים באופן מדהים לצורך פענוח צפני האניגמה.
בבלצ'לי פארק הגיע טיורינג להבנה (כמו באבאג' כמאה שנים קודם לכן) שעדיף לבנות מכונה אחת שתהיה מסוגלת לבצע משימות שונות, מאשר לבנות מכונה חדשה לחלוטין עבור כל בעייה חדשה. טיורינג הבין שמפצחי הצפנים זקוקים למכונה שניתן להתאים אותה להתמודדות עם כל שינוי שהגרמנים עלולים לעשות במכונות שלהם.
על פועלו ועל תרומותיו החשובות של אלן טיורינג למאמץ המלחמתי בעת מלחמת העולם השנייה אפשר לקרוא בספרו של סיימון סינג, סודות ההצפנה וכן בספרו של דייוויד לוויט, האיש שידע יותר מדי. פשוט היריעה קצרה מאוד בעבודה זו ומשום שהדגש הוא על תרומה למתמטיקה ולא יישומים הנדסיים ומלחמתיים למתמטיקה – לא ארחיב על כך.
לאחר המלחמה, הפך טיורינג לנושא הדגל של הבינה המלאכותית וניסח את מבחן טיורינג המפורסם, הקורא תיגר על תפיסות המודעות האנושית שלנו. ואולם, המדען שהתברך באחד המוחות החריפים ביותר, נחשב גם לאדם תימהוני, בעל נפש נסערת. גישתו בנוגע לרמת התבונה האפשרית של מכונה שתוכל ללמד את עצמה, ליזום ולהסיק מסקנות ועצם האפשרות שהמחשב יעלה על האדם וישתלט על העולם, עוררו התנגדות רבה.
טיורינג החל לחקור את האפשרות של בניית מכונת חישוב אוניברסלית ביחד עם ניומן במנצ'סטר. אחד היישומים שהוא בנה למכונה היה חישוב אפסים של פונקציית זטה של רימן – הוא חישב את 1,104 האפסים הראשונים. אז קרסה המכונה וגם חייו האישיים החלו לקרוס.
גם עובדת היותו הומוסקסואל, שאליה התייחס בגילוי לב מפתיע לתקופתו, הקימה לו מתנגדים ואויבים. הוא נעצר בעוון הפרת חוקים אנטי-הומוסקסואליים ונידון ל"טיפול" שהיה בעיקרו סירוס כימי. טיורינג מעולם לא הסתיר את עובדת היותו הומוסקסואל. אבל בבריטניה של ראשית שנות החמישים שררה אווירה פרנואידית והומופובית, במיוחד לאחר ששני הומוסקסואלים הואשמו בריגול וערקו לברית המועצות. בשנת 1952 הורשע טיורינג בהומוסקסואליות, התנהגות שהייתה עבירה פלילית באנגליה של אותה עת. בגזר הדין ניתנה לו האפשרות לבחור בין עונש מאסר לבין טיפול הורמונלי, וטיורינג בחר באפשרות השנייה. הטיפול כלל זריקות הורמונים נשיים, על מנת לדכא יצרו המיני. ככל הנראה בשל תופעות הלוואי של ההורמונים (צמיחת שדיים), שם קץ לחייו כעבור שנתיים, ב-7 ביוני 1954. טיורינג התאבד, ככל הנראה בנגיסת תפוח טבול בציאניד.
יש כמה אישים (כפי שהוצג בפרק הקודם על תרומתו של טיורינג למתמטיקה) מתמטיים בולטים ואציין במיוחד שניים מהם ואת תרומתם למתמטיקה (לא אחזור על פרק זה בחייו ותרומתו של טיורינג ועל האינטראקציה שלו עם אישים אלה, שכן את זאת כבר עשיתי בפרק הקודם):
תרומות מתמטיות חשובות של דויד הילברט (23 בינואר 1862 - 14 בפברואר 1943 גטינגן, גרמניה):
הילברט נחשב למתמטיקאי המשפיע ביותר במאות ה-19 וה-20. תרומותיו למתמטיקה בפרט ולמדע בכלל רבות ומגוונות. בין תרומותיו הישירות היו
· פתרון של הבעיה המרכזית בתורת האינווריאנטים (משפט הבסיס של הילברט, משפט האפסים של הילברט)
· עבודות בתורת המספרים האלגברית (לדוגמה: פתרון בעיית וארינג ו-תורת שדות המחלקה)
· אקסיומטיזציה של הגיאומטריה האוקלידית (מערכת האקסיומות של הילברט)
· הבסיס לאנליזה פונקציונלית (וניסוח ראשוני של מרחבי הילברט)
· סיוע לאלברט אינשטיין בניסוח תורת היחסות הכללית
· אנליזה (משפט הילברט בגיאומטריה דיפרנציאלית, משפט הפירוק הספקטרלי, מרחב הילברט)
למרות זאת, הילברט ידוע בעיקר בשל תרומותיו העקיפות וההנהגה החזקה שסיפק לעולם המתמטיקה: בקונגרס הבינלאומי השני של המתמטיקאים שנערך בפריז בשנת 1900 הציג הילברט רשימה של 23 בעיות מתמטיות חשובות שלא נפתרו עד זמנו. אחדות מהן נפתרו מאז, אחדות הוכחו כבלתי פתירות ואחדות עדיין פתוחות בימינו. הילברט עסק גם בפופולריזציה של המתמטיקה, ודוגמה מובהקת לפעילותו בתחום זה הוא סיפור המלון של הילברט, הממחיש את התכונות המיוחדות של מושג האינסוף.
תרומות מתמטיות חשובות של קורט גדל (בגרמנית: Kurt Gödel; 28 באפריל 1906 - 14 בינואר 1978):
היה לוגיקן אוסטרי שהיגר לארצות הברית, הנחשב לאחד מגדולי הלוגיקנים של כל הזמנים. על שמו מוענק פרס גדל לציון הישגים יוצאי דופן בתחום התאוריה של מדעי המחשב. חברו הקרוב של אלברט אישטיין בשנותיו האחרונות. כמו המשפטים שלו, גדל בעצמו היה אדם פרדוקסלי: תמהוני, ועם זאת נחשב לגדול הלוגיקאים מאז אריסטו. למרות האי רציונליות שלו עצמו, הוא נתן את מלוא אמונו בהגיון. הוא סבל מאשליות פרנואידיות, שהוליכו בסופו של דבר למותו הטראגי.
בשנת 1931 הוכיח גדל, במאמרו "על טענות שאינן ניתנות להוכחה בפרינציפיה מתמטיקה ובמערכות דומות", שלתחושה זו אין כל בסיס, וברבות מהמערכות האקסיומטיות, ובפרט אלו שמנסות למדל את האריתמטיקה, קיימות טענות שלא ניתן להוכיח או להפריך. הוכחה זו זכתה לשם משפט האי שלמות של גדל, משפט שהוא אבן הפינה של הלוגיקה המתמטית המודרנית וזיכה את גדל בכינוי "מקלקל האריתמטיקה".
ב-1935, הוזמן למכון למחקר מתקדם בפרינסטון, ושם הגה את הרעיון של קבוצות ניתנות לבנייה. בקיץ 1937 הגיע גדל להישגו פורץ הדרך השני, כשמצא דרך להיעזר ברעיונות שלו על בניית קבוצות כדי להוכיח שהשערת הרצף עקבית ביחס לאקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות. בשנת 1940 הגיע להישגו החשוב השלישי, כשהוכיח שאקסיומת הבחירה משתלבת בצורה עקבית ביתר האקסיומות של תורת הקבוצות. הוא קיבל משרה קבועה במכון בשנת 1946.
באותן שנים ניסה גדל להוכיח שהשערת הרצף אינה מתחייבת משאר האקסיומות של תורת הקבוצות, ובכך להשלים את פתרונה של הבעיה הראשונה של הילברט, אבל בסביבות 1943 נטש את הניסיון, ועבר לעבוד על המשוואות של תורת היחסות. תוצאותיו בכיוון זה, מסוף שנות הארבעים, הוערכו מאוד על ידי איינשטיין.
שנת 1949 ניסח גדל פתרון אפשרי למשוואות הבסיסיות של תורת היחסות הכללית, שמתאר יקום שאינו מתפשט ואינו מתכווץ, אלא מסתובב. לפי הפתרון של גדל, ביקום כזה ייתכנו "קווי עולם" בצורת לולאות זמן סגורות (CTL). בפשטות, "קו עולם" הוא קו רציף במרחב-זמן (שבו הזמן הוא הממד הרביעי), המתאר "מיקום" חלקיק כלשהו בארבעת הממדים האלו (כלומר - הן במרחב והן בכל רגע ורגע). על פי תורת היחסות הכללית, מסה גורמת לעיקום של המרחב-זמן מסביבה, ולכן גם לעיקום של "קווי העולם" הקרובים אליה. לפי ההנחה של גדל, עיקום חזק דיו יכול תאורטית לגרום ל"קו עולם" מסוים להפוך ללולאה סגורה. במילים אחרות, שקול הדבר לחזרה אל העבר, כלומר למסע בזמן.
אמנם, כדי ליצור קו עולם שכזה, היקום צריך לבצע סיבוב (סביב עצמו) אחת ל-70 מיליארד שנה, והמסע של "מכונת הזמן" יימשך לפחות 100 מיליארד שנה (לפי שעון המכונה), גם במהירות הקרובה למהירות האור. יש המצטטים בשמו של איינשטיין את "חוק הזהב" שלפיו לא ניתן לנוע אחורנית בזמן. יחד עם זאת, גדל הוכיח באמצעות כלים מתמטיים כי באופן תאורטי, הדבר אפשרי. כיום ממשיכים מדענים לחקור כיוונים שונים הקשורים למסע בזמן, ולפתירת הפרדוקסים הפיזיקליים והפילוסופיים הנובעים מכך.
כמו כן, מובעת במאמצים מתמטיים אלו הגדרה אלגנטית כלשהי למדע הפיזיקה - מדע המאפשר לעוסקים בו ליצור עולמות דמיוניים בעלי מערכות פיזיקליות עובדות, ולאחר מכן לבדוק את מידת תאימותן למציאות.
מקס הרמן אלכסנדר ניומן (7 בפברואר 1897 – 22 בפברואר 1984):
מתמטיקאי בריטי ומפצח צפנים. ידוע על עבודותיו בטופולוגיה ובפרט על עבודתו מ-1939 "יסודות הטופולוגיה של קבוצות נקודות במישור". יש לו תרומות ביסודות של טופולוגיה קומבינטורית, פרסם מאמרים בלוגיקה מתמטית ופתר את הבעיה החמישית של הילברט. הלמה של ניומן היא על שמו ובגלל עבודתו. בגיל מבוגר פרסם פתרון להשערת פואנקרה המורחבת. כאמור, סדרת הרצאותיו היתה בין המניעים את אלן טיורינג בעבודתו על התיזה שלו. חשוב שלא לבלבל בין מקס ניומן ל-פון ניומן – שגם לו תרומות במתמטיקה וביסודות של מדעי המחשב. על פון ניומן כבר לא ארחיב בעבודה זו.
בבליוגרפיה:
[11] מקס ניומן – מתוך ויקיפדיה (באנגלית)
Subscribe to:
Posts (Atom)