גליונות "אתגר" מתמטי זמינים באינטרנט

אתגר - גליונות למתמטיקה הוא כתב עת שיצא לאור בישראל בשנים 1985-2001. הגליונות זמינים בחינם באינטרנט לכל דורש.

 http://imu.org.il/Education/Etgar/etgar.html

הנאה מובטחת לחובבי המתמטיקה!!

איזה יופי של מתנה.

איך ללמד קריאת שעון ילדים בגן חובה או בכתה א'?

איך ללמד קריאת שעון ילדים בגן חובה או בכתה א'?

כדי ללמד בהצלחה קריאת שעון מחוגים כדאי לוודא קודם כל שהילדים יודעים, מבינים ושולטים בנושאים הבאים (סבלנות, הרשימה ארוכה -- ראו כמה דברים אנחנו מניחים שהם יודעים ומבינים -- ולא כך היא):

מה כדאי מאוד שהילדים ידעו, יבינו ויפנימו וישלטו לפני שמתעסקים באופן רציני בשעון?

• שווה ושונה
• מנייה וספירה
• סדר ורצף
• קטן יותר; גדול יותר
• הקטן ביותר; הגדול ביותר
• קצר, ארוך
• הקצר ביותר; הארוך ביותר
• קריאה וכתיבה של ספרות
• מספרים מונים וסודרים
• סידור מספרים ברצף
• ספירה לאחור מ-10 ל-0
• רצף זמן: מה קודם ומה אח"כ
• התאמת אירועים ליום או ללילה, בוקר, לילה, ביום, בלילה, שמש, ירח, בהיר, חשוך, מוקדם, מאוחר
• זיהוי מספרים סודרים: ראשון, שני, שלישי...
• למעלה, למטה, תנועה סיבובית
• זיהוי עיגולים ותנועה מעגלית
• מנייה בע"פ
• ייצוג רצף בעזרת מספרים
• הבחנה בין סדר עולה לבין סדר יורד
• מספר כמייצג כמות מצטברת
• הבחנה בין המספר כשם והמספר ככמות
• הבחנה בין כמות, כיוון, צורה וצבע
• הבחנה בין אחדות לאחדות בודדות
• ארגון המספר לעשרות ולאחדות בודדות
• העשרת השנייה
• מנייה בע"פ
• ייצוג גרפי מספרי ומילולי של המספרים עד 20
• מנייה בתחום ה-20
• זיהוי רבע וחצי (ומושגים של שלם וחלקיו...)
• ספירת המשך
• ספירה לאחור
• חיבור וסיפורים חשבוניים של חיבור
• חיסור וסיפורים חשבוניים של חיסור
• לוח השעון
• פעילויות בזמנים שונים

בד"כ הבשלות בגיל והאפשרות ללמוד, להבין ולהפנים את כל מה שקודם מגיעים בגן חובה, לפעמים בכתה א'. יש גם מקרים שקודם לכן, כמו שיש מקרים שמאוחר יותר. 

אני ממליץ מאוד לקיים עם הילדים פעילויות שונות ומשונות בשגרה ובמשחק ולציין להם כמה זמן עבר. למשל, כמה זמן (בערך) לוקח לנו לשיר שיר מסויים, כמה זמן (בערך) לוקח לנו ללכת ברגל מהבית למכולת, או לגן, או לחבר... למשל, מטיילים ברגל וברגע מסויים להפנות תשומת לב הילדים לעץ או מבנה ואחרי דקה לציין שעברה דקה מאז שעברנו את העץ או את המבנה. עכשיו נחזור בחזרה ונרגיש שוב כמה זאת דקה (בערך).

כמה זמן לוקח לצחצח שיניים?

כמה זמן לוקח לקרוא סיפור שאוהבים?

כמה זמן לוקח לשתות כוס מים מלאה?

כמה זמן אורכת תוכנית אהובה בטלוויזיה?

כמה זמן לוקח לסדר את החדר?

וכך הלאה -- ככל שיותר ויותר תביאו למודעות הילדים כמה זמן אורכת פעולה שהם מבצעים כך הם יפתחו תחושת זמן. חשוב לדבר על מה אורך יותר ומה אורך פחות זמן מבין הפעולות שאנחנו עושים? אפשר אפילו לדבר על מה מספיקים ועל מה לא מספיקים לעשות ב-5 דקות -- ואז לנסות.

לחובבי היצירה והפעילויות אפשר לנסות לבנות עם הילדים שעון חול, למשל משני בקבוקי שתייה ריקים. את הפתחים של הבקבוקים אפשר להצר עם פלסטלינה ובמרכזה קשית בעובי לפי הצורך. החול הזורם נותן לילדים את התחושה שהזמן עובר.

השעון

כשאנחנו מציינים בפני הילדים שעה מסויימת, אז להצביע לשעון מחוגים (שכדאי שיהיה בחדר, או שיהיה לנו דגם של שעון מחוגים שאפשר לסדר את המחוגים כך שיצביעו על השעה שאנחנו רוצים לדבר עליה) ולהראות כיצד נראה השעון שמורה על השעה הזאת.

ככל שנרבה לעשות זאת עם הזמן, הילדים יתרגלו למראה -- אין פה למידה מעמיקה של משמעות או הבנה -- רק חיקוי ושינוי, אבל זה הופך דבר חדש למשהו פחות זר ויותר מוכר ויסייע מאוחר יותר לשינון.

פעילות

דאגו שבחדר יהיה שעון מחוגים גדול ידני שניתן להזיז את מחוגיו ביד. כמו, למשל, זה שבתמונה, אף על פי שכל שעון מחוגים שניתן להזיז את המחוגים בקלות יתאים (חשוב שכל הספרות תהיינה על השעון):

אפשר בקלות לצייר שעון עם מחוגים, להכין מחוגים מרצועות נייר ולקבע צד אחד שלהם למרכז המעגל (השעון) בעזרת נעץ.

הראו את שעון המחוגים לילדים ושאלו שאלות כמו: "האם שני מחוגי השעון הם באותו האורך?" "האם שני המחוגים זזים כרגע?" "האם המחוגים משנים את מקומם?" "איזה מחוג זז מהר יותר, המחוג הקצר או המחוג הארוך?" בקשו מהילדים לקרוא את הספרות על לוח השעון והפנו את תשומת לבם לתזוזה בכיוון השעון. בקשו מהם להראות את הכיוון בעזרת האצבעות.

אפשר להכין דגם של שעון מחוגים ולתת לילדים להשלים את הספרות במקומן (עוזר לבדוק האם זוכרים ועוזר להפנים אם עדיין לא זוכרים). ילדים ששולטים בכתיבת ספרות ומבינים את הסדר ביניהן ככל הנראה לא יתקשו.

אפשר עכשיו לבקש מהילדים לצייר מחוג ארוך שמצביע על 12 ומחוג קצר שמצביע על 4. אמרו להם שהמחוג הארוך הוא מחוג הדקות ושהמחוג הקצר הוא מחוג השעות.

שאלו: "על איזה מספר מצביע מחוג הדקות?" "על איזה מספר מצביע מחוג השעות"" אמרו לילדים שבשעון הזה השעה היא 4 כי המחוג הקטן מצביע על 4 והמחוג הארוך מצביע על 12.

הראו לילדים שרושמים את השעה 4 כך: 4:00 (או 04:00). פרטו על התפקיד של סימן הנקודתיים כמפריד בין המספר שמציין את השעות לבין המספר שמציין את הדקות. לילדים שמתעניינים ושמכירים סימוני מחירים אפשר לספר שבמחיר מוצרים סימן הנקודה מפריד בין השקלים לבין האגורות. אפשר לחפש עוד דוגמאות שאנחנו מכירים עם הפרדה.

פעילות

במהלך היום, מידי יום, הסבו מעת לעת את תשומת לבם של הילדים לשעון המחוגים כשהוא מורה על שעה שלמה והביאו לתשומת לבם את השעה ואת הפעילות שהם עוסקים בה. זאת כדי לקשר בין השעה, בין המראה של שעון המחוגים באותה השעה לבין הפעילות האופיינית לאותה השעה. אפשר לעשות זאת עם הקימה בבוקר, עם ההתארגנות, בארוחת הבוקר, בהגעה לגן וכך הלאה... עד לשעת השינה. הקפידו בהתחלה להציג את השעה השלמה.

שוחחו עם הילדים על פעילויות שונות שמתרחשות בשעות שונות של היום, למשל בשעה 7 בבוקר קמים ובשמונה כבר מגיעים לגן, בשעה אחת בצהריים אוכלים וכו'... הצביעו מידי פעם על השעון המורה שעה שלמה והסבו את תשומת לב הילדים לעיסוקם בשעה הזאת.

 כשהילדים מתרגלים לכך אפשר לעבור למשהו קצת מופשט יותר, אבל עדיין מוחשי, לאותו הדבר אבל בתמונות (זוכרים? מתחילים במוחשי --> עוברים לציורי --> ורק בסוף בסוף למופשט):

איספו תמונות שבהם רואים דמות ילד שמבצע פעילויות שאופייניות לשעות מסויימות ביום: למשל, יקיצה מהשינה (חשוב שיהיו רמזים בתמונה, כמו שמש שזורחת, הילד שקם מהמיטה מפהק וכו'), הליכה לבית הספר או לגן עם התיק, ארוחת הבוקר, ארוחת הצהריים, ארוחת הערב, צפייה בתוכנית שבה צופים בשעה אופיינית, מקלחת, הכנה לשינה... וכך הלאה -- חשוב מאוד שהפעילוות שמצולמת בכל תמונה ותמונה תהיה מובהקת וברורה ושיהיו רמזים ברורים לגבי החלק ביום לרבות האם מואר או חשוך מבעד לחלון או בחוץ. אפשר לעשות מבצע ולצלם את הילדים שלכם בשלבים שונים ביום בפעילויות אופייניות לחלק ביום.

הנה כמה דוגמאות:

וכך הלאה. ליד כל תמונה שכזאת הכינו שעון מחוגים או דגם שעון מחוגים שמורה על השעה שאופיינית לפעילות:

למשל ליד היקיצה אפשר לכוון את השעון ל-שבע בבוקר. ליד ארוחת הצהריים, למשל, לכוון את השעון לשעה אחת. וכך הלאה.

עם התמונות והשעונים שהכנו בעמל רב, בקשו מהילדים להתבונן בתמונות. שאלו: "מה עושה הילד בתמונה העליונה?" "באיזו שעה הוא קם?" הראו את השעון שהכנתם ליד התמונה הזאת כשמחוגיו מורים על השעה של היקיצה, נאמר על השעה 07:00, ושאלו: "על מה מצביע  מחוג הדקות?" "על מה מצביע מחוג השעות?". שאלו שאלות דומות לגבי שאר התמונות שהכנתם. הזכירו לילדים ששעה שלמה רושמים עם נקודתיים ושני אפסים, למשל, 7:00. בקשו מהילדים לכתוב את השעה שמתאימה לכל תמונה ולכל שעון במקום מתאים שתכינו לצד התמונה והשעון.

פעילות

הציגו לילדים שעון מחוגים והראו בו את השעה 08:00. בקשו מהילדים לומר מה השעה. אמרו: "השעה שמונה בבוקר". בקשו מילד להציג מה הוא עושה בשעה הזאת בשבת או בחופשה ואז ביום רגיל בשגרה. אמרו: "עכשיו השעה שמונה בערב". בקשו מהילד להציג מה הוא בדרך כלל עושה בשעה זו. המשיכו בהצגת פעילויות בשעות אחרות ביום, למשל 10:00 בבוקר ו-10:00 בלילה, 04:00 לפנות בוקר ו-04:00 אחרי הצהריים ועוד.

אתם יכולים להכין לילדים עוד תמונות משעות שונות ביום שמציגות פעילות של ילד ולבקש להסיק באיזו שעה ביום מדובר, לפי הפעילות, ואז להראות את השעה הזאת בשעון מחוגים לילד, ואז לבחור תמונה אחרת ולהציג בשעון את השעה המתאימה והפעם אחרי שהילד מתאר מה הוא רואה בתמונה, מה מבין ומה החלק ביום המשוער, לבקש שיקרא מה מורה השעון שכיוונו, אח"כ שיכתוב את השעה כראוי (עם הנקודתיים ו-ה-אפס אפס, למשל, שמונה בבוקר: 8:00).

פעילות

הציגו לילדים שעון מחוגים ואמרו: "השעה ____". בקשו מאחד הילדים להזיז את מחוגי השעון כדי להראות את השעה האמורה. חזרו על הפעילות מספר פעמים.

חזרו לתמונות שהכנתם עם הפעילויות של הילדים במהלך היום (לא לחשוש לחפש באינטרנט תמונות, או לצלם בעצמכם את הילדים, או לגזור מירחונים או משבועונים -- חשוב לגוון וחשוב גם שהפעילות תהיה ברורה ושיהיו רמזים לשעה ביום או לחלק ביום שבו הפעילות מתרחשת). עודדו את הילדים לשוחח על הפעולות שהילד מבצע בתמונות ולומר את השעה ביום. לאחר מכן בקשו מהם לכתוב את השעה שמתאימה לשעה שמורה השעון שציירתם ליד כל תמונה ותמונה כדי להורות את השעה שמתאימה לפעילות.

פעילות

הציגו לילדים שעון מחוגים ידני. כוונו את השעון לשעה ארבע. אמרו לילדים שאתם תזיזו את מחוגי השעון עד שהשעון יראה את השעה חמש. הסבירו שהמחוג הארוך עושה סיבוב שלם ושהמחוג הקצר זז מ-ארבע ל-חמש. חזרו על התהליך, הזיזו את מחוגי השעון, עצרו בשעה ארבע וחצי והסבירו לילדים שהמחוג הארוך עשה חצי סיבוב והמחוג הקצר נמצא באמצע הדרך שבין ארבע לבין חמש. אמרו להם שהשעון מראה את השעה ארבע וחצי. הדגימו חצאי שעות  על השעון.

ציירו לילדים שעוני מחוגים שונים שמורים על חצאי שעות: למשל, על שלוש וחצי, על תשע וחצי וכך הלאה. תנו להם לצבוע אותם ולקשט. בקשו מהילדים לקרוא את השעה בכל שעון. הזכירו להם מהו כיוון השעון והראו להם שכאשר יש שעה ועוד חצי שעה נהוג לכתוב זאת כל, 8:30 ולומר: "השעה היא שמונה ושלושים" וגם "השעה היא שמונה וחצי" ושהכוונה היא אותה הכוונה. וכאשר יש שעה שלמה נהוג לכתוב אותה כך: 8:00.

פעילות

הראו את השעה שתיים בשעון מחוגים ובקשו מהילדים לקרוא את השעה. הסבירו שמחוג הדקות מתחיל ב-12 ועושה סיבוב שלם סביב השעון, עם כיוון השעון. שאלו: "אם אנחנו רוצים להזיז את מחוג הדקות רק חצי סיבוב סביב השעון איפה אנחנו צריכים לעצור?" (ב-שש). "איפה יהיה מחוג השעות?" (בחצי הדרך שבין שתיים לבין שלוש). אמרו: "השעה שתיים וחצי". כתבו: 2:30 ואמרו: "השעה היא שתיים ושלושים". השתמשו בשעון ההדגמה הידני ובקשו מהילדים לומר את השעה כאשר מכוונים את השעון לשעה ארבע, ארבע וחצי, חמש, חמש וחצי, שש, שש וחצי וכך הלאה. הסבו את תשומת לב הילדים למחצית של שעות שונות ולפעילויות שהם מבצעים בהן. לדוגמה: ב-10:30 מסיימים את ארוחת העשר.

ציירו לילדים שעוני מחוגים. ציירו מחוגים על כל אחד מהשעונים כך שיורה על מחצית שעה אחרת (חמש ושלושים, שמונה ושלושים וכו') תנו להם לצבוע ולקשט אותם. בקשו מהילדים להתבונן בכל שעון, לקרוא את השעה ולרשום אותה. למשל ,9:30.

פעילות

הכינו פעילות עם תמונות מצבים ממהלך היום ושעונים שמורים שעה מתאימה, והפעם בחצאי שעות. הכל אותו הדבר כמו בפעילות הדומה שעשינו אלא שהפעם השעונים שליד כל תמונה (אפשר לצייר) יורו מחציות שעה ולא שעות מלאות. בקשו מהילדים להתבונן בכל שעון, לקרוא את השעה ולרשום אותה במבנה, למשל, 10:30.

פעילות

הראו שמונה וחצי על שעון ההדגמה. בקשו מהילדים לתאר את מיקום מחוג הדקות ומחוג השעות. אחר כך אמרו מחצית שעות אחרות ובקשו מהילדים להראות את השעה על שעון ההדגמה. 

ציירו לילדים שעוני מחוגים. ציירו מחוגים על כל אחד מהשעונים כך שיורה על מחצית שעה אחרת (חמש ושלושים, שמונה ושלושים וכו') תנו להם לצבוע ולקשט אותם. בקשו מהילדים להתבונן בכל שעון, לקרוא את השעה ולרשום אותה. ואז בקשו מהם להצביע על השעון שמראה (למשל) אחת וחצי, ולתאר את מיקום מחוג הדקות ומחוג השעות. קשרו את השעות לפעילויות היומיומיות. הקפידו שירשמו את השעות בצורה המבוקשת, למשל, 8:30 או 8 וחצי.

על כל פעילות ופעילות ניתן לחזור שוב ושוב, אבל לא כדאי לדלג על הפעילויות -- אלא להמשיך רק אחרי שליטה.

אפשר תמיד לחזור שוב לפעילויות שעשינו ולגוון.

חשוב מאוד שלא להלחיץ את הילדים ולא להעיק. לשחרר כשרואים שהילדים לא בקטע. לשלב את זה בבילוי ובשגרה ולנסות מעט בכל יום במשך ימים ברציפות.

* ברשימה אחרת אפרט על התהליך הזה לילדים בכתה א' ובכיתות מאוחרות יותר.

המורה,

שלמה יונה

אני מעביר סדנאות להורים: כיצד לעזור לילדים לפתח חשיבה מתמטית ואוריינות מתמטית.

הנה פרטים על הסדנה להורים לילדים בגיל הגן: http://mrheshbon.blogspot.co.il/2012/11/blog-post.html

סדנאות ופעילויות לפיתוח חשיבה מתמטית בכפר יונה

סדנאות ופעילויות לפיתוח חשיבה מתמטית בכפר יונה

מיכל ואני אני מציעים מגוון סדנאות להורים ומגוון סדנאות וקורסים לילדים ולנוער. חלקן בתשלום וחלקן ללא תמורה ובהתנדבות מלאה:

בתשלום, להורים (בשעות הערב המאוחרות) במסגרת "מר חשבון: א"ב של אחת ושתיים"

• סדנה לפיתוח אוריינות מתמטית וחשיבה מתמטית בגיל הרך. נפתחת סדנה בנובמבר בכפר יונה.
• סדנה ללמוד ללמד ילדים מתמטיקה של בי"ס יסודי. תיפתח סדנה בכפר יונה במהלך חודש ינואר.
• סדנה ללמוד ללמד ילדים מתמטיקה של חט"ב



צילם: יואב לביא המוכשר

• סדנה על ההסטוריה ועל השימושים במציאות של מתמטיקה שלומדים בבית הספר (בפרט, בתיכון)

בתשלום, לילדים ולנוער (אחרי שעות הלימודים בבית הספר ואחה"צ)

• הסטוריה ושימושים במציאות של מתמטיקה שלומדים בתיכון -- מיועד לתיכוניסטים ולחובבי מתמטיקה מכל הגילאים
• מפגשי הנחייה, הרחבה והעמקה, שיתוף פעולה ועזרה לתלמידים שבתוכניות של מכון ויצמן במדע בהתכתבות ובמתמטיקה בהתכתבות
• פיתוח החשיבה ומשמעויות במתמטיקה -- לתלמידים החל מכתה ד' -- לפי רמות -- שילוב של העשרה אינסטרומנטלית ושל הוראת מתמטיקה יסודית: שני מפגשים שבועיים של 90 דקות: באחד עוסקים בכלים של העשרה אינסטרומנטלית ומפתחים את החשיבה ואסטרטגיות למידה ופתרון בעיות ובמפגש השני בכל שבוע עוסקים בתוכן מתמטי תוך כדי שימוש בכלים שנרכשו במפגשי ההעשרה.
• קורסים לילדים ולנוער בנושאים ממוקדים: בעיות מילוליות, שברים ואחוזים, טכניקה אלגברית, גיאומטריה, פונקציות, הוכחות,... וכל נושא ותחום במתמטיקה שלומדים בבית הספר בכל הרמות -- קבוצות התלמידים לפי רמה.

בהתנדבות, להורים:

• סדנה להורים ללמוד ללמד ילדים מתמטיקה של בי"ס יסודי, ליווי ההורים המלמדים בהתנדבות, הנחייה פדגוגית ודידקטית וסיפוק חומרי לימוד. הסדנה ניתנה בשנה שעברה בכפר יונה וההורים מתחילים לעזור בבית הספר השנה.
• סדנה להורים בהקניית אוריינות מתמטית לילדים בגיל הגן -- חוגי בית של כשעתיים שמתקיימים אצל הורים לילדים בגן גן בגן בשעות הערב עבור ההורים וצוות הגן.
• ייעוץ לוודעות חינוך של הנהגות הורים
• מענה על שאלות של הורים ושל מורים בנושאים של הוראת המתמטיקה לילדים ולנוער בפורומים באינטרנט

בהתנדבות, לילדים ולנוער:

• מפגשי הנחייה, הרחבה והעמקה, שיתוף פעולה ועזרה לתלמידים שבתוכניות של מכון ויצמן במדע בהתכתבות ובמתמטיקה בהתכתבות -- קהילה חושבת -- בשיתוף עם הנהגת ההורים בבית הספר עמל בכפר יונה
• סדנת מתמטיקה לתלמידי כיתות ה'-ו' אחרי הלימודים בבית הספר שבה לומדים משמעויות של פעולות חשבון וגיאומטריה באמצעות בניות בסרגל ובמחוגה -- בבית הספר עמל בכפר יונה אחרי שעות הלימודים בימי ו'
• מפגשים חד פעמיים בכיתות להמחשה ולהפנמה של מושג או של עיקרון מתמטי

ההיצע כולו אינו זמין כל הזמן, ומעת לעת יש אצלינו הזדמנויות מעניינות, אז צרו עמנו קשר לפרטים נוספים:

מיכל יונה: michal.yona@gmail.com 057-7326361

שלמה יונה: shlomo.yona@gmail.com 057-7326360

מסיבת יום הולדת לנועה

מה זאת זווית?

מה זאת זווית? מהי ההגדרה לזווית?

עם פתיחת שנת הלימודים מתחילים תלמידים בכיתות ג' בשיעורי ההנדסה (כך קוראים לנושאים בגיאומטריה) בכמה מושגי יסוד, כמו נקודה ו-ישר ובהמשך אפילו מגדירים את ה-זווית. משום מה תחת הרושם שזה משהו שקשה מידי לילדים ביסודי אין עומדים על ההבדל בין מושג יסוד לבין מושג שאותו מגדירים בעזרת הגדרה ואין דנים בכלל בצורך במושגי היסוד ובחשיבות ההגדרה. להורים המתעניינים, הגדרות בגיאומטריה בנושאים של בית הספר היסודי אפשר למצוא באתר משרד החינוך בקישור הזה. את ההגדרה לזווית, למשל,  באתר הזה אפשר למצוא בקישור הזה. מושגי יסוד הם מושגים שאין אנו מגדירים אותם: אלה הם מושגים שאין להם הגדרה ולכן משמעותם מובנת בצורה אינטואיטיבית או על פי מאפייניהם. בעזרת מושגי היסוד נגדיר מושגים נוספים. הזווית אינה מושג יסוד ויש לה דווקא הגדרה. למעשה, לזווית יש כמה הגדרות נפוצות ומאוד בעייתיות.

מדוע חשוב להגדיר? הגדרה מבדילה בין המושג שאותו היא מבארת לבין שאר הדברים בדומה לגדר שמפרידה בין מה שנמצא בתחום שאותו היא תוחמת לבין שאר העולם. הגדרה תספק לנו מידע על המהות (מה-הוא) של המושג, או איך לזהות אותו או מה מאפיין אותו ואיך ליצור אותו.

הנה דוגמה להגדרת הזווית בכתה ג' כפי שהעתקתי ממחברתה של תלמידת כתה ג':
"שתי קרניים שיוצאות מאותה נקודת התחלה יוצרות ביניהן זווית. הזווית זה הרווח שבין שתי הקרניים."

ואז המורה "מבהירה":
"גודל הזווית תלוי ברווח שבין הקרניים. ככל שהרווח (המפשק) גדול יותר הזווית גדולה יותר."

יש בטקסט הזה בעיות רבות מאוד:

1. המשפט הראשון אינו מציין מהי הזווית ואיך לזהות אותה, אלא רק מה יוצר זווית. אין כאן תיאור של מהות הזווית. אי אפשר להבין מהי זווית.
2. התיאור שבמשפט הראשון בעייתי עוד בתור הגדרה כי שתי קרניים שיוצאות מנקודה משותפת יוצרות שתי זוויות ולא רק אחת (יש את זאת שמתכוונים אליה ויש את המשלימה ל-360°.
3. המשפט השני כבר שגוי במלואו. הזווית אינה הרווח שבין שתי הקרניים. על איזה מהרווחים מדובר? איך רווח יכול להיות זווית? איך אפשר למדוד זווית בתור רווח? איך מודדים את הרווח הזה? הרווח הזה הוא אורך? הרווח הזה הוא שטח? הרי גם זה וגם זה אינו נכון.
4. ההבהרה שגויה והיא טעות חשיבה שמועברת לילדים: אין כל קשר בין "גודל הרווח" ואין כל קשר בין "מפשק" או בין "מפתח" הקרניים לבין גודל הזווית.

הגדרה מקובלת נוספת ובעייתית גם היא לזווית:

"זווית היא חלק המישור הכלוא בין שתי קרניים שיוצאות מנקודה אחת"

אף על פי שזאת הגדרה נפוצה גם בה יש שגיאות:

1. חלק המישור שכלוא בין השוקיים הוא אינסופי. איזו משמעות, אם כך, יש למדידתו?! לכן אין זאת הגדרה טובה לזווית, כי כידוע אנחנו מודדים זוויות.
2. אם מדובר בחלק המישור אזי יש משמעות של שטח, אז איננו מודדים שטח: היחידות למדידת זווית אינן יחידות שטח ואינן ברות המרה ליחידות שטח
3. גם ההגדרה הזאת  מפיקה שתי זוויות ולא אחת

התייחסות לשגיאות

כאשר אנחנו מודדים את גודלה של זווית איננו מודדים שטח. חלק המישור שתחום בין שתי שוקי הזווית (ואין זה משנה כרגע מאיזה צד) הוא אינסופי ולכן אין משמעות למדידה שלו מתוך כוונה לקבל מספר בתור תשובה. אם נתייחס רק לשטח שכלוא בין שתי השוקיים ונתייחס לכל שוק כקטע ולא כקרן -- אזי השטח הכלוא יהיה סופי -- אבל אז תהיה לנו בעיה -- לזווית עם שוקיים ארוכות יותר השטח הכלוא יהיה גדול יותר ולזווית עם שוקיים קצרות יותר יהיה שטח כלוא קטן יותר. אין פה שימור של המידה שאותה אנו רוצים למדוד. לכן השטח אינו מה שנמדוד כאשר נרצה למדוד זוויות.

גם איננו מודדים אורך. טעות נפוצה היא לחשוב שהזווית היא הקשת שמותחים כדי לסמן את הזווית בשרטוט ולכן גודל הזוית הוא אורך הקשת -- הרי אורך הקשת יקטן ככל שנסמן אותה קרוב יותר לקודקוד  הזווית  והאורך יגדל ככל שנסמן את הקשת רחוק יותר מהקודקוד של הזווית. ה-"הסבר" המוטעה עם ה"רווח" מתייחס אולי למרחק שבין שוקי הזווית: אבל שימו לב, שאם מוחים קטע משוק אחת לשנייה אז אורכו תלוי במקום על כל אחת מהשוקיים שבוחרים, אבל הזווית היא אותה הזווית.

מספרים לנו כבר מכיתות נמוכות בבית הספר היסודי שזוויות מודדים ביחידות שנקראות מעלות. זה אולי צריך לרמוז לנו שאין מדובר כאן ביחידות של אורך וגם שאין מדובר ביחידות של שטח.

אנחנו זקוקים למדידה של משהו שנשמר ושיש לו משמעות.

התרשים מתוך ויקיפדיה

כדי למדוד אנחנו צריכים משהו קבוע ואחיד.

הגדרה נכונה וטובה לזווית

"נתונים שני ישרים (או חלקי ישרים) שנחתכים זה על ידי זה. נגדיר זווית להיות כמות הסיבוב שאחד הישרים צריך לבצע סביב נקודת החיתוך על מנת שיגיע למקומו של הישר השני."

זווית, אם כך, קשורה בסיבוב: לא ברווח, לא באורך ולא בשטח. מהי מידת הסיבוב המדוברת? איך מודדים את מידת הסיבוב ובעצם, איך מודדים זווית?

אז איך מודדים זווית ומה מודדים שם?

לפני כ-3,500 שנה חילקו מעגל ל-360 חלקים שווים. החלוקה נעשתה כמו שמחלקים עוגת יום הולדת עגולה או כמו שמחלקים פיצה עגולה: מהמרכז כלפי חוץ. לכל חלק כזה של המעגל נקרא קשת ולכל חלק כזה מהעיגול נקרא גִזְרה. כל פרוסת עוגה או מנת פיצה היא בעצם גִזְרה כי היא חלק מהעיגול. נבחין כי אורכי הקשתות שמתקבלים מהחלוקה הזאת שווים זה לזה ושנשמר מספר הקשתות וגם מספר הגזרות. מספר הקשתות ומספר הגְזרות נשמר גם אם נשרטט מעגל גדול יותר או קטן יותר כרצוננו, ובלבד שלמעגלים הללו יהיה מרכז משותף.

קשת היא חלק מהמעגל. המעגל הוא הקו שסביב לעיגול.

גִזרה היא חלק מהעיגול. העיגול הוא השטח שהמעגל כולא בתוכו.

גזרה היא הצורה שכלואה 

 בין שני מחוגים במעגל לבין קשת על המעגל

הרעיון של הקדמונים היה שיש להתחיל את המדידה של הזווית מקודקוד הזווית, שעליו יונח מרכז המעגל המחולק לקשתות.

אנחנו רואים שבין שוקי זווית שנשרטט יש אותו מספר של קשתות או של גזרות ואין זה משנה מהו גודל המעגלים (שמרכזם בקודקוד הזווית) שנשרטט.

יש שימור כמות (של הקשתות ושל הגזרות) כאשר משתמשים במעגלים גדולים יותר או קטנים יותר שלהם יש מרכז משותף.

אין שימור של גודל (של הקשתות ושל הגזרות) כאשר משתמשים במעגלים גדולים יותר או קטנים יותר שלהם יש מרכז משותף.

מצאנו משהו קבוע שיכול לשמש יחידת מידה! מצאנו שמספר הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית נשאר קבוע. אם המעגל קטן -- הקשתות קטנות, אם המעגל גדול -- הקשתות גדולות, אבל מספרן נשאר קבוע. כל מעגל שנשרטט ומרכזו יהיה בקודקוד הזווית ייתן בחלוקתו את אותה התוצאה.

• לכל חלק בחלוקה הזאת ל-360 חלקים נקרא מעלה ונסמן מעלה אחת כך: 1°
• חשוב מאוד להבין שמעלה היא גם יחידת מידה של טמפרטורה ושאין מדובר באותה היחידה שבה אנו משתמשים למדידת זוויות -- רק השם משותף ואין כל קשר אחר בין השתיים! אז איך נדע להבחין בית השתיים? לפי ההקשר. כלומר, בקשר למה נעשית המדידה. אם החזאי אומר שמחר הטמפרטורה תהיה 23 מעלות צלזיוס אזי ברור לנו שאין הוא מתכוון למדידה של זווית ולכן אין הוא מתכוון למעלות של זווית.
• הזווית בין שתי קרניים נקבעת על ידי מעגל שמרכזו בנקודת החיתוך שלהן.
• אנחנו מודדים כמות ולא גודל (כמה גזרות כאלה תעבור אחת השוקיים בסיבובה סביב הקודקוד המשותף לקרניים עד שתתלכד עם השוק השנייה)

לסקרנים: כמה שיטות שונות למדוד זוויות ביחידות מידה

נזכיר כעת כמה שיטות שונות שמקובלות למדידת זוויות. מי שרוצה לדלג, יכול ישר להמשיך בחלק שמסביר על מדידת הזווית על פי ההגדרה. 

• מעלות  (מתוך ויקיפדיה):

מעלה היא יחידת מידה למדידת גודל של זווית. במעגל יש 360 מעלות (מספר זה נקבע על פי שיטת הספירה הבבלית), כלומר מעלה היא זווית שגודלה הוא 1/360 של המעגל. סימנה של מעלה הוא °, ולכן ניתן לכתוב "זווית של 90°", במקום "זווית של 90 מעלות".

המעלה נחלקת ל-60 דקות, כלומר דקה שווה לחלק ה-1/60 של מעלה. יחידה זו ידועה גם כ"דקת מעלה" או דקת קשת, וניתן לחלק אותה, אנלוגית לזמן, ל-60 שניות קשת, כלומר שנייה שווה לחלק ה-1/60 של דקה, או לחלק ה-1/3600 של המעלה.

הסימון הפורמלי לדקה הוא גרש ישר - (′). לדוגמה, 15 דקות ייכתבו כך - 15′. אולם, הסימון הנפוץ ביותר הוא הגרש הנטוי המקובל. באופן דומה מסומנת שנייה על ידי זוג גרשיים, לדוגמה 25 שניות ייכתבו כך - 25′′. 

• רדיאנים (מתוך ויקיפדיה): -- [בשיטה זו איננו משתמשים עד אשר נתחיל ללמוד חשבון אינפיטיסימלי או עד שנתעמק בטריגונומטריה -- אבל חשוב להכיר] 

רדיאן היא יחידת מידה חסרת ממד למדידת זוויות הכלולה במערכת היחידות הבינלאומית. בעבר היה הרדיאן יחידה משלימה של מערכת היחידות הבינלאומית, אך קטגוריה זו בוטלה ב-1995.הרדיאן מוגדר כזווית היוצאת ממרכז מעגל ונוצרת על ידי קשת שאורכה שווה לאורך של רדיוס המעגל -  (ראו באיור משמאל). כיון שהיקף מעגל הוא , במעגל כולו יש בסך הכל  רדיאנים.לרוב, גודל זווית ברדיאנים ניתן ללא ציון היחידה המפורשת. לעתים היחידה מצוינת בקיצור כ-rad.  מעלה שווה 180/π רדיאנים.

• גראדים (מתוך ויקיפדיה):

הגראד (Grad) היא זווית המתקבלת מחלוקת המעגל ל-400, כך שבכל זווית ישרה ישנן 100 זוויות בנות גראד.

יתרונה של יחידה זו היא הקלות לחשב בה חישובים פשוטים. כך, למשל, אם פניתי בזווית של 117 גראד, בכיוון השעון מצפון, ניתן להבין בקלות כי פני מופנות בזווית של 17 גראדים מן המזרח. מקורה של חלוקה זו של המעגל בצרפת, והיא חלק מן השיטה המטרית. עם זאת חלוקה זו לא התקבלה באופן אוניברסלי, והיא נהוגה רק בענפי התמחות מסוימים כמדידות, או תותחנות ובמקומות מסוימים, במיוחד במקומות שהיו בשליטה צרפתית. בשנות ה-80 וב-שנות ה-90 רוב מחשבי הכיס המדעיים כללו אופציה לחישובים בגראדים. דגמים מאוחרים יותר לא כללו אופציה זו ומאפשרים חישובים במעלות ורדיאנים בלבד.

אולי עוד משהו שכדאי להזכיר בהקשר הזה הוא מדידה של שיפועים בעזרת אחוזים ולא בעזרת זווית השיפוע. בארצות מסוימות אפשר למצוא תמרורים שבהם מציינים את מידת השיפוע של כביש בעזרת השימוש באחוזים ולא באמצעות זוויות. גם אצל הגננים, החקלאים ואצל בנאים מקובל לפעמים להשתמש בשיפועים שנמדדים באחוזים ולא בזוויות. אז איך מודדים שיפוע באחוזים? אחוזים מתוך מה?!

דמיינו משולש ישר זוית כך שהכביש עם השיפוע המדובר הוא על היתר של המשולש. ניצב אחד מקביל לפני כדה"א באזור והניצב האחר ניצב לפני כדה"א. אזי 15% מתקבלים מתוך חילוק אורך הניצב שמאונך לפני כדה"א באורך הניצב שמקביל לפני כדה"א. הזוית שבין היתר לבין הניצב שמקביל לפני כדה"א תתקבל מחישוב ה-arctan (הפונקציה ההפוכה לטנגנס) של 0.15, שזה יוצא 8.53 מעלות לערך.שיפוע של 100% יתן לפי השיטה הזאת זוית של 45 מעלות (המשולש ישר הזוית יהיה גם שווה שוקיים).

מדידת הזווית לפי ההגדרה

בדרך זו מצאנו מרכיב קבוע שיכול לשמש יחידת מידה! מצאנו שמספר הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית נשאר קבוע. במקרה שלנו: 3, שהן 30 מעלות. אם המעגל קטן - הקשתות קטנות, אם המעגל גדול - הקשתות גדולות, אבל מספרן של הקשתות נשאר קבוע. גודל הזווית נמדד לפי מספר הקשתות שבין שוקי הזווית. כל מעגל שנשרטט ומרכזו יהיה בקדקוד הזווית ייתן בחלוקתו אותה תוצאה: 30 מעלות (° 30).

מד הזווית -- מדידת זוויות על פי ההגדרה בעזרת מכשיר

נתקשה מאוד לשרטט מעגלים ולחלק אותם ל-360 חלקים שווים בכל פעם שנרצה למדוד זוויות. כדי למדוד זוויות באופן קל ונוח נשתמש במכשיר מד הזווית. נזכיר שמד-הזווית הוא מכשיר שמודד את מספר חלקי המעגל (הקשתות) הכלואים בין שוקי הזווית.

אם המעגל שעליו נעשית החלוקה הוא קטן, אז גודל הקשתות יהיה קטן, אם המעגל שעליו נעשית החלוקה יהיה גדול, אז גודל הקשתות יהיה גדול, אבל בשני המקרים כמות הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית נשארת קבועה והיא יחידת המידה שמודדת את גודל הזווית.

מד זווית

במד-הזווית יש שני טורי מספרים: בכל טור יש 180 מעלות: במעגל הפנימי, הקטן יותר, הקשתות קטנות יותר מאלה  שבמעגל החיצוני, אבל מספרן שווה למספר הקשתות הגדולות יותר, השייכות למעגל החיצוני. הנקודה ממנה מתחילים את המדידה במעגל החיצוני היא מצד שמאל (מתחילים בספרה 0).

הנה דוגמה לזווית בת 70 מעלות הנמדדת על המעגל החיצוני.

הנקודה שממנה מתחילים את המדידה במעגל הפנימי היא מצד ימין (מתחילים בספרה 0).

הנה דוגמה לזווית בת 60 מעלות הנמדדת על המעגל הפנימי.

ברבע מעגל יש 90 מעלות (° 90).  ° 90 = 4 : ° 360.

בחצי מעגל יש 180 מעלות (° 180).  ° 180 = 2 : ° 360.

בשלושה רבעים של מעגל יש 270 מעלות (° 270) כי שלושה רבעים של ° 360.

זווית ישרה. 90 מעלות. רבע סיבוב על מעגל.

זווית ישרה. 90 מעלות. רבע סיבוב על מעגל.

זווית שטוחה. 180 מעלות. חצי סיבוב על מעגל.

זווית נישאה. זאת שבדוגמה היא בת 270 מעלות. 3/4 של סיבוב על מעגל.

זווית מלאה. 360 מעלות (מקובל גם לסמן ב-0 מעלות). סיבוב שלם של מעגל (או בעצם לא הסתובב שומדבר בכלל...)

סימון זוויות

זוויות נסמן בקשת קטנה בין השוקיים, כדי להבחין על מה מדובר וכדי לסמן שמדובר בסיבוב מעגלי. זווית ישרה מקובל לסמן באמצעות קו שבור, כך:

מיון זוויות לסוגים:

• זווית ישרה היא בת  ° 90.
• זווית חדה היא זווית שקטנה מזווית ישרה.
• זווית שטוחה היא זווית בת  ° 180 והיא שווה לסכום של שתי זוויות ישרות.
• זווית קהה היא זווית שגדולה מזווית ישרה, וקטנה מזווית שטוחה.
• זווית נישאה היא זווית שגדולה מזווית שטוחה, וקטנה מזווית בת  ° 360.

כיצד מחשבים את גודלה של זווית נישאה?

כדי למדוד זוויות נישאה, מודדים בעזרת מד-זווית את גודל הזווית החדה המשלימה אותה ל-° 360 ומחשבים את ההפרש בינה ל-° 360. לדוגמה, כדי לחשב את זווית ד' בסרטוט, מודדים במד זווית את הזווית החדה שהיא בת ° 20 ומחסרים אותה מ-° 360.

סיכום

יש להיזהר בהגדרת הזווית. השגיאה נפוצה, אולי מקורה בספר לימוד שלא נבדק כהלכה, אולי אצל מורה שלא מבינה, אינני יודע. מה שבטוח, שצריך ללמד את הילדים את ההגדרה הנכונה. אני מקווה שברשימה הזאת תמצאו את הנימוקים להתמודד עם ההגדרות השגויות ועם ההגדרות הטובות ולהבין מדוע וגם להבין את כלי המדידה שמקובל היום, מד הזווית.