שליטה בעובדות מתמטיות: תוצר חיוני של חינוך מתמטי יסודי

אמירה שאמת היא אנו מכנים במילה עובדה. בחיי היום-יום אנו מכירים בחשיבות היכולת להבין בין עובדה לבין דעה, בין טענות שנכונות תמיד או שנכונות לפעמים. ברשימה זו אטען שבקיאות בעובדות מתמטיות היא מיומנות חשובה והכרחית לתלמידים.

מהי עובדה מתמטית? [להשלים...]

דוגמאות: [להשלים]

כאשר תלמידים אינם יכולים לאחזר מזיכרונם תשובה לעובדה מתמטית במהירות ובדיוק, הם נתקלים בקשיים לעבד ולהתמודד עם בעיות רב שלביות. הסיבה לכך היא שמוחם עסוק בניסיונות לאחזר או לחשב מחדש את התשובה לעובדות מתמטיות בסיסיות יותר.


[להשלים: דוגמה לבעיה רב שלבית]

אין לזלזל בהשקעה במיומנויות בסיסיות ויסודית. אנחנו מקבלים בטבעיות מיומנויות שלמדנו באופן מייגע לאורך זמן רב שהפכו לטבע שני אצלנו ושוכחים שיש מקום להשקעה דומה במיומנויות אחרות שמתבססות על פעולות בסיסיות יותר. חשבו למשל על צעידה. כמה מאמצים וכמה זמן משקיעים פעוטות בשליטה בצעידה יציבה ויעילה. לאחר תהליך הלמידה והאימון הממושך הופכת הצעידה לטבע שני והמוח אינו מתאמץ באותה המידה. למעשה, מיומנויות שהמוח שלנו שולט בהן באופן מלא וביעילות עוברים לעיבוד בחלקים אחרים במוח. ניסויים ומחקרים רבים שעשו שימוש ב-fMRI הראו שכמות האנרגיה שדרושה למוח כדי לבצע מיומנויות שטרם יש בהן שליטה היא רבה לאין שיעור מכמות האנרגיה שנדרשת למוח כדי לבצע מיומנויות שהשליטה בהן נרכשה. השליטה יכולה להגיע לרמה כזאת עד כי המוח מסוגל לבצע את הפעולות תוך קשב מועט יחסית. קחו כדוגמאות: רכיבה על אופניים, נהיגה ברכב, כתיבה מהירה, קריאה מהירה, שיחה בשפת אם ועוד ועוד... אפילו תיאוריות חדשות מאוד על המוח מסבירות שליטה זאת, למשל המסגרת התאורטית שמציע ג'ף הוקינס בספרו על האינטליגנציה.

בכתות שבהן לומדים מתמטיקה בשיטת מתמטיקה יסודית פעולות מוחשיות, דגמים ציוריים, אסטרטגיות לפתרון תרגילים בעל פה ובאמצעים נוספים התלמידים לומדים כיצד ארבע פעולות החשבון פועלות ומדוע השיטות שבשימוש עובדות. בהמשך מכירים, לומדים, יודעים ומבינים התלמידים עובדות מתמטיות רבות שנמצאות על רצף ההוראה ומגיעים לשליטה בהן. התרגולים של עובדות אלה נעשים בין השאר באמצעות תרגילי ידיים, פעילות גופנית, שאלות אימון מונחות, משחקים, פירוט של התלמידים של כל השלבים, גם אלה שנראים ברורים מאליהם, והסברם בעת פתרון בעיות -- כל אלה משמשים הזדמנויות רבות לתלמידים לתרגל אחזור של עובדות מתמטיות בסיסיות בהקשרים שונים ורבים וברמת מורכבות ההולכת ועולה, ועם הזמן גם התרחקות רבה יותר מן המוחשי אל עבר המופשט.

הכלל במתמטיקה יסודית הוא יציאה מהמוחשי, דרך הציורי ורק בסוף אל המופשט. הדרך הזאת רצופה בעבודה מדוקדקת של בניית מודל מנטלי של כל עקרון תוך השענות רבה על הגדרות, על שיום ועל גילוי הקשר עם השפה, התרבות, החברה והחיים. אין דבר כזה שהתלמידים לומדים מושג או נושא והוא תלוש באויר ואינו קשור -- עקרונות התיווך משמשים ובכל נושא יש לקיים לפחות את שלושת העקרונות ההכרחיים לתיווך: כוונה והדדיות, תיווך מעבר אל, ותיווך למשמעות.

במתמטיקה יסודית התלמידים ראשית לומדים את המתמטיקה הנחוצה כדי שיוכלו להכיל את העובדות המתמטיות, להבין את היחסים שבין העובדות הללו ולהחזיק באסטרטגיות לחישוב עובדות מתמטיות חדשות מתוך אלה הידועות. במקביל ובהדרגה מגיעים התלמידים למיומנות רבה בשליפה מהירה ויעילה ובשימוש נכון בעובדות המתמטיות הבסיסיות.

אני יודע ששתי עגבניות ועוד שלוש עגבניות הן חמש עגבניות.

אני יודע ששני עצים ועוד שלושה עצים הם חמישה עצים.

אני יודע ששתי אצבעות ועוד שלוש אצבעות הן חמש אצבעות.

ובאופן כללי אני מבין ששתי אחדות של משהו ועוד שלוש אחדות של אותו המשהו מסתכמות בחמש אחדות של אותו המשהו.

אומרים את זה שתיים ועוד שלוש שווה חמש.

ומכאן ששתי עשרות ועוד שלוש עשרות הן חמש עשרות.

בעברית שתי עשרות מכנים בקצרה עשרים ושלוש עשרות מכנים שלושים וחמש עשרות מכנים חמישים.

ולכן, עשרים ועוד שלושים הם חמישים.

דוגמה נוספת:

אני יודע שעשר פעמים שבע הם שבעים ולכן תשע פעמים שבע הם בהכרח פחות משבעים.

אני יודע ש-שש ועוד ארבע הם עשר ולכן שש ועוד חמש הן בהכרח יותר מעשר.

במתמטיקה יסודית ההוראה-למידה מתמקדת בהסברים מדוע עובדת המתמטיקה ובהסברים על האסטרטגיות השונות ועל האלגוריתמים השונים לפתרון תרגילים ובעיות -- תוך דיון על היתרונות ועל החסרונות של השיטות השונות תוך זיהוי המאפיינים שגורמים לגישות השונות להיות עדיפות במקרים שונים. יש תשומת לב בהבנה מהי הגישה היעילה והמתאימה לכל מקרה. התיווך מעבר אל והתיווך למשמעות מאפשר לתלמידים להבין שהעקרונות והכללים שנלמדים בשיעורי המתמטיקה ישימים בחיים ושימושיים בחיים.

לדוגמה, מתוך החומר של כתה א':

תשומת לב מיוחדת ניתנת לדקויות במשמעות. יש 6 משמעויות שונות לחיסור. כאן מודגמת ההבחנה בין חיסור של גריעה, שבו נעלם משהו, לבין חיסור של הפרדה, שבו הפריטים נבדלים זה מזה בתכונה כלשהי וממשיכים להימצא זה ליד זה. פעולת חיסור של הפרדה בונה חשיבה ממיינת. זוהי אורינות מתמטית שהיא: הקניית חשיבה לוגית-מתמטית-שפתית, שמבססת את ההבנה המתמטית, את ניסוח החוקיות המתמטית ואת העקרונות הלוגיים המשרתים חשיבה בכלל.

בחומרי הלימוד של מתמטיקה יסודית התלמידים נחשפים לתובנות חשיבה על חשיבה (מטה-קוגניציה) דרך ה-"בועות". הנה, למשל, מתוך החומר של כתה ב':

בעמוד זה מוצגת הגישה האינטגרטיבית של ספרי "מתמטיקה יסודית", לפיה אותם עקרונות קושרים את פרקי המתמטיקה ואת חיי היומיום זה לזה. ילדים המכירים את היחידות המשמשות אותנו ביומיום מבצעים את החישוב בהן באופן טבעי וכך מבססים את הידע שרכשו.

לקריאה ולהרחבה על העקרונות שעומדים בבסיסה של מתמטיקה יסודית כדאי להתרשם מהדוגמאות המוסברות מתוך חומרי הלימוד לפי הכיתות (כתה א', כתה ב', כתה ג', כתה ד', כתה ה', כתה ו' -- יש גם חומרי לימוד לגיל הרך) וכדי להעמיק מומלץ לקרוא את המאמרים שבפרק העקרונות שבאתר העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכול. דוגמה להוראה-למידה שיטתית באמצעות ספר התלמיד ו-ספר למורה אפשר למצוא באתר של תלמה גביש.

הורים שמעוניינים לשמוע עוד על מתמטיקה יסודית ולהבין כיצד הם יכולים להביא לכך שהשיטה תאומץ בבית הספר שבו לומדים ילדיהם מוזמנים לפנות לעמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכול בכתובת info@ifma.org.il. הורים שמעוניינים ליצור עמי קשר מוזמנים לעשות זאת גם באמצעות התגובות למאמר הזה.

שלמה יונה

העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכול