על חשיבות נקודת המוצא

אחד מהמושגים החשובים שציפיתי שתלמידים בבית ספר יסודי ילמדו וילמדו להשתמש בו הוא "נקודת מוצא". נקודת מוצא קובעת מהיכן יוצאים לדרך, היא קובעת ביחס למה מחשבים חישובים. קחו למשל את הבעיה הבאה:

נתון שהיחס בין שני מספרים הוא 4:7. בכמה אחוזים גדול המספר השני מהראשון? בכמה אחוזים קטן המספר הראשון מהשני?
פתרון:
נענה בכמה אחוזים גדול המספר השני מהראשון. מילית היחס מ- קובעת שמערכת ההתייחסות שלנו היא המספר הראשון. יחידה אחת של המספר הראשון היא רבע מערכו. משום שההפרש ביחידות בין א' לבין ב' הוא 3 אזי המספר השני גדול מהמספר הראשון ב-3/4 מערכו של המספר הראשון. כדי לקבל את התוצאה באחוזים נכפול את השבר ב-100 ונקבל 75%.
באופן דומה המספר הראשון קטן מהמספר השני ב-3/7 מערכו של המספר השני. כדי לקבל תוצאה באחוזים נכפול ב-100 ונקבל בערך 42.86%.
תשובה:המספר השני גדול מהמספר הראשון ב-75% ואילו המספר הראשון קטן מהמספר השני בכ-43%.

נושא מערכת ההתייחסות אינו מקבל תשומת לב ראויה, לפחות לא בקרב התלמידים שיש לי אפשרות לפגוש. זה נכון אצל תלמידים שנחשבים חלשים ונכון גם כן עבור תלמידים שנחשבים חזקים, מתקדמים, מחוננים וכו'. איכשהו, נדמה שזה נושא שהמורים לא יודעים אותו בעצמם, או שלא יודעים ללמד אותו או שלא מכירים בחשיבותו.

הנה, נקח דוגמה אחרת, פשוטה, שיכולה להדגים איך קל לעבוד עלינו (אם איננו מבינים מהי נקודת מוצא וכשאיננו מבינים באיזו מערכת התייחסות להשתמש) כשאנחנו מנסים להבין איזו הלוואה לקחת (למשל, במשכנתא), או מה יקרה לחסכונות הפנסיוניים שלנו כשאנחנו בשיחה עם סוכן ביטוח ממולח [הדוגמאות לקוחות מתוך שיעור שהעברתי לתלמידי כתות ו' בבית הספר היסודי עמל בכפר יונה בשנת הלימודים התשע"א]:

בעיה א':

אסתר ורחל הן שתי אחיות. אסתר קיבלה סכום כסף במתנה. הסכום שהיא קיבלה גדול ב-30 ש"ח מהסכום שרחל קיבלה במתנה. בכמה ש"ח קיבלה רחל פחות מאסתר?

התשובה: 30 ש"ח.

בעיה ב':

אסתר קיבלה סכום כסף שגדול ב-30% יותר מהסכום שקיבלה רחל. בכמה אחוזים קיבלה רחל פחות מאסתר?

[דיון] -- תלמידים רבים עונים גם במקרה הזה 30, וטוענים שמדובר באותה הבעיה ובאותו הפתרון.

נבחן את התשובה ונצביע על מהות השגיאה:  אם אסתר מקבלת ב-30% יותר מרחל, מערכת ההתייחסות היא רחל. ברגע שנאמר 30% יותר מ... נקבעו שני דברים:

א. אסתר קיבלה ב-30% יותר

ב. שרחל קיבלה 100% כי היא הגודל היסודי שביחס אליו נעשה החישוב של האחוזים

אף שזה לא נאמר במפורש הרי 30% הם ביחס לשלם, במקרה שלנו ביחס לרחל. בבעיות כאלה השלם הוא בתפקיד הגודל היסודי כי הוא מהווה את המסגרת של מערכת ההתייחסות. הנתונים הם:

רחל	אסתר
100%	130%

את זה הסקנו מכך שנאמר שאסתר קיבלה 30% יותר מהסכום שקיבלה רחל. הסכום של רחל משמש כמערכת ההתייחסות.

אז איך פותרים? נמצא כמה הם 100% של רחל מתוך 130% של אסתר (מה היחס בין הסכום שקיבלה רחל לבין זה שקיבלה אסתר):

היחס בין היחלק של רחל לבין זה של אסתר הוא 100:130 ולכן, 100/130 מראה איזה חלק מהווה כספה של רחל מזה של אסתר, ואם נכפיל אותו ב-100 נקבל באחוזים שהם בערך 76.9%. אבל מה שנתבקשנו למצוא הוא בכמה אחוזים רחל קיבלה פחות מאסתר. אז הם היא קיבלה כ-77% מתוך ה-100% של אסתר הרי שהיא קיבלה כ-23% פחות מאשר קיבלה אסתר. וזאת התשובה.

רמז השפה שלנו הוא מילית היחס מ-. מי או מה שלפניו באה המילית הזאת הוא מערכת ההתייחסות שלנו, וביחס אליו נחשב את האחוזים. המשפט הראשון בבעיה מערכת ההתייחסות שלנו היא רחל ("... יותר מהסכום שקיבלה רחל") ובמשפט השני מערכת ההתייחסות שלנו היא אסתר ("... פחות מאסתר"). אם כך, הצגת הנתונים באחוזים במשפט הראשון צריכה להיות כשה-100% הוא הסכום שבידי רחל, והצגת הפתרון לפי המשפט השני מתייחסת ל-130% של אסתר כאל שלם אחד שיש להשוות ביחס אליו שלם אחר (100%) ולהבין מה היחס ביניהם.

דוגמה מעניינת נוספת ראיתי לאחרונה בבלוג בשם שקרים יפים שעוסק באינפוגרפיקה (איך להמחיש באופן חזותי מידע). בפוסט מאת דפנה שיזף מובא תרשים עמודות (bar graph) שמתאר את כמות האנשים בעולם לצד צריכת האנרגיה לאורך מספר שנים מ-1965 ועד לשנת 2010. מחבר הפוסט מראה כיצד אופן הצגת המידע משפיע על הפרשנות שמתבקשת. ירצה מציג המידע שנחשוב שצריכת האנרגיה של אדם היא קבועה -- יראה כך את הגרף, ירצה להראות שצריכת האנרגיה לנפש משתנה, יראה -- הכל תלוי במערכת ההתייחסות ובנקודת המוצא. במקרה הזה, בעבור איזו שנה נקבע יחס מסויים בין העמודה שמתראת את כמות האנשים בעולם לבין העמודה שמתארת את צריכת האנרגיה. משום ששני הנתונים אינם נמצאים על אותה הסקאלה -- היחס ביניהם מהותי. שווה לקרוא את הפוסט הזה של דפנה שיזף ולהבין איך מושג פשוט וחשוב כזה חיוני להבנה שלנו כאזרחים: לא רק להבנה כלכלית אלא כדי לקרוא נכון ידיעות ולהסיק את המסקנות הפוליטיות מהבנה של הנתונים ולא רק מנקודת המבט של הכתב.