גדי אלכסנדרוביץ פרסם בוואינט מאמר יפה שמסביר בשפה קלה ובעזרת דוגמאות אינטואיטיביות על סוגים שונים של אינסוף. הנה הקישור למאמר: אין סוף למוזרות: על המלון המטורף של הילברט
הדיון מעניין ומלמד.
הנה סרטון קצרצר בנושא מנייה של אינסוף והתאמה חד-חד ערכית:
אני מקשר לסרטון קצר שמציג את הרעיון במשל המלון של הילברט:
מעניינת ההדגשה שלו שהדיון יעסוק באינסוף במובן של כמות. זאת הבחנה יפה ועדינה. כבר מגיל צעיר אפשר להבדיל בין ילדים שמלמדים אותם להבחין בדקויות שפה ומשמעות כמו ההבדלים שבין גודל וכמות... למי ששכח העוולות הגדולות שנגרמו כאשר התעקשו ללמד בארץ מתמטיקה בעזרת הבדידים היו: קבעון בדוגמאות, קשר שגוי בין כמות לבין גודל לבין צבע. במיוחד הבעיה היתה שהבדידים היו בשימוש (ולמרבה הצער עדיין בשימוש בחלק מגני הילדים) בתקופה שבה ההתפחות המוחית של הילדים אמורה לעבור משלב של התמקדות במאפיין אחד (למשל אורך) כאשר לעצם יש מספר מאפיינים (למשל, אורך, רוחב, שטח, נפח, צבע, משקל...) ליכולת להתמודד ולהעריך במקביל מספר מאפיינים של אותו העצם. השימוש בבדידים יצר קבעון שיש קשר הדוק בין גודל כמות וצבע. המציאות היא שאין בהכרח קשר בין התכונות הללו ושצבעו של עצם אינו מחייב גודל מסויים או כמות מסויימת ובאותו אופן שגודל אינו קשור בהכרח בכמות ובצבע וכך הלאה. וראו הסבר מפורט ומעמיק על כך במאמרה של תלמה גביש אל תתנו להם בדידים.
כצפוי בנושא זה מוזכרים המתמטיקאים קנטור והילברט.
עיסוק באינסוף, בקבוצות אינסופיות ובפעולות על קבוצות שכאלה מתאפשר בעזרת כלי מתמטי שנקרא התאמה חד-חד ערכית.
התאמה חד חד ערכית אינה רק כלי תיאורטי מתמטי רב עוצמה אלא גם כלי שימושי וחזק במציאות היום יומית שלנו. למשל, כאשר אנחנו משווים בין איברי שתי קבוצות כיצד אנחנו יודעים לומר באיזו קבוצה הכמות גדולה יותר? אפשרות אחת היא למנות את מספר האיברים בכל קבוצה ולבדוק את היחס שבין התוצאות (שווה? גדול? קטן?). אבל אפשרות זאת, אף על פי שככל הנראה רוב הקוראים ישתמשו בה באופן אוטומטי, דווקא אפשרות היא פחות מוחשית ויותר מופשטת ועקיפה מהאמצעי הישיר. הנה אפשרות ישירה יותר באמצעות התאמה חד-חד ערכית: לכל איבר בקבוצה א' ננסה להתאים איבר בקבוצה ב' (את זה אפשר לעשות באמצעות חיבור בקו בין כל בני זוג, למשל, אבל אין חייבים לעשות זאת, אפשר גם לחבר אותם בקו באופן רעיוני). אם כשיאזלו לנו איברי קבוצה א' (זה יקרה רק אם בקבוצה א' מספר האיברים סופי) נגלה שבדיוק אזלו גם איברי קבוצה ב' נדע שמספר האיברים בשתי הקבוצות זהה (הכמות של האיברים בשתי הקבוצות זהה). אם נגלה כשאזלו לנו איברי קבוצה א' שנותרו עוד איברים מקבוצה ב' שטרם הותאמו אז נדע שבקבוצה ב' יש יותר איברים מאשר בקבוצה א'. המקרה האחרון הוא שעוד בטרם יאזלו איברי קבוצה א' כבר יאזלו איברי קבוצה ב' -- או אז נדע שבקבוצה ב' יש פחות איברים מאשר בקבוצה א'.
התאמה חד-חד ערכית היא ישירה וטבעית והדרכה של ילדים כבר מהגיל הרך להשתמש בה כאסטרטגיה לפתרון בעיות ולהשוואה מפתחת את החשיבה.
אפשר לקרוא עוד על התאמה חד-חד ערכית בחינוך לגיל הרך בחומרי הלימוד של "מתמטיקה יסודית" לגיל הרך והרבה הרבה יותר מזה בספרי המורה של "מתמטיקה יסודית" לכתות בית הספר היסודי. את הרעיון מדגימים ב-"חיסור של השוואה" (וראו חומר סיכום של שיעור שהעברתי בנושא בסדנת מתמטיקה שלימדתי בבית ספר עמל בכפר יונה) ומרחיבים אותו: הנה קישור לסרטון שבו אני מסביר לילדים על חיסור של השוואה.
כדוגמה, הנה קטע מדיאלוג בכתת יסוד במתמטיקה בעת עיסוק בנושא:
הגדרת מושגים, הבחנה בדקויות, שפה מדויקת הם חשובים ושימושיים לא רק למתמטיקאים מקצועיים, אלא גם לתלמידים ילדים -- שימוש בהם כבר מגיל צעיר מפתח את החשיבה, והיכרות עמם תוך כדי עיסוק בעצמים מוחשיים, ובהמשך בציוריים (ורק בסוף במופשט) מאפשרים לבנות מודל מנטלי איתן שעליו אפשר להישען כאשר עוסקים בנושאים מופשטים.
כל הכבוד לגדי אלכסנדרוביץ על ההנגשה שלו של נושאים מתקדמים במתמטיקה לקהל הרחב. אני יכול להמליץ על ספר מצויין שכתוב באופן קולח ונגיש: "מתמטיקה שירה ויופי" של רון אהרוני שעוסק כפי ששם הספר מגלה במתמטיקה בשירה וביופי: המחבר מנסה להראות קווים משותפים בין המתמטיקה והשירה באמצעות נסיון להסביר מה נחשב יפה במתמטיקה ומה נחשב יפה בשירה. בין הדוגמאות הרבות שהוא מביא אפשר למצוא גם דיון מעניין ומלמד "בגובה העיניים" בנושא שבו עסק גדי אלכסנדרוביץ במאמרו זה שפורסם בוואינט. על הספר "מתמטיקה שירה ויופי" כתב יפה יוסי לוי מהבלוג נסיכת המדעים.
אני מקשר לעוד רשימה שאני ממליץ לקרוא למתעניינים: כתבתי אותו בעקבות הקריאה בספר משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה מאת ארנון אברון -- שם אני מרחיב יותר על ספרים שעוסקים בנושאים שמשיקים לנושא שדן בו גדי אלכסנדרוביץ במאמרו.
הדיון מעניין ומלמד.
הנה סרטון קצרצר בנושא מנייה של אינסוף והתאמה חד-חד ערכית:
אני מקשר לסרטון קצר שמציג את הרעיון במשל המלון של הילברט:
מעניינת ההדגשה שלו שהדיון יעסוק באינסוף במובן של כמות. זאת הבחנה יפה ועדינה. כבר מגיל צעיר אפשר להבדיל בין ילדים שמלמדים אותם להבחין בדקויות שפה ומשמעות כמו ההבדלים שבין גודל וכמות... למי ששכח העוולות הגדולות שנגרמו כאשר התעקשו ללמד בארץ מתמטיקה בעזרת הבדידים היו: קבעון בדוגמאות, קשר שגוי בין כמות לבין גודל לבין צבע. במיוחד הבעיה היתה שהבדידים היו בשימוש (ולמרבה הצער עדיין בשימוש בחלק מגני הילדים) בתקופה שבה ההתפחות המוחית של הילדים אמורה לעבור משלב של התמקדות במאפיין אחד (למשל אורך) כאשר לעצם יש מספר מאפיינים (למשל, אורך, רוחב, שטח, נפח, צבע, משקל...) ליכולת להתמודד ולהעריך במקביל מספר מאפיינים של אותו העצם. השימוש בבדידים יצר קבעון שיש קשר הדוק בין גודל כמות וצבע. המציאות היא שאין בהכרח קשר בין התכונות הללו ושצבעו של עצם אינו מחייב גודל מסויים או כמות מסויימת ובאותו אופן שגודל אינו קשור בהכרח בכמות ובצבע וכך הלאה. וראו הסבר מפורט ומעמיק על כך במאמרה של תלמה גביש אל תתנו להם בדידים.
כצפוי בנושא זה מוזכרים המתמטיקאים קנטור והילברט.
עיסוק באינסוף, בקבוצות אינסופיות ובפעולות על קבוצות שכאלה מתאפשר בעזרת כלי מתמטי שנקרא התאמה חד-חד ערכית.
התאמה חד חד ערכית אינה רק כלי תיאורטי מתמטי רב עוצמה אלא גם כלי שימושי וחזק במציאות היום יומית שלנו. למשל, כאשר אנחנו משווים בין איברי שתי קבוצות כיצד אנחנו יודעים לומר באיזו קבוצה הכמות גדולה יותר? אפשרות אחת היא למנות את מספר האיברים בכל קבוצה ולבדוק את היחס שבין התוצאות (שווה? גדול? קטן?). אבל אפשרות זאת, אף על פי שככל הנראה רוב הקוראים ישתמשו בה באופן אוטומטי, דווקא אפשרות היא פחות מוחשית ויותר מופשטת ועקיפה מהאמצעי הישיר. הנה אפשרות ישירה יותר באמצעות התאמה חד-חד ערכית: לכל איבר בקבוצה א' ננסה להתאים איבר בקבוצה ב' (את זה אפשר לעשות באמצעות חיבור בקו בין כל בני זוג, למשל, אבל אין חייבים לעשות זאת, אפשר גם לחבר אותם בקו באופן רעיוני). אם כשיאזלו לנו איברי קבוצה א' (זה יקרה רק אם בקבוצה א' מספר האיברים סופי) נגלה שבדיוק אזלו גם איברי קבוצה ב' נדע שמספר האיברים בשתי הקבוצות זהה (הכמות של האיברים בשתי הקבוצות זהה). אם נגלה כשאזלו לנו איברי קבוצה א' שנותרו עוד איברים מקבוצה ב' שטרם הותאמו אז נדע שבקבוצה ב' יש יותר איברים מאשר בקבוצה א'. המקרה האחרון הוא שעוד בטרם יאזלו איברי קבוצה א' כבר יאזלו איברי קבוצה ב' -- או אז נדע שבקבוצה ב' יש פחות איברים מאשר בקבוצה א'.
התאמה חד-חד ערכית היא ישירה וטבעית והדרכה של ילדים כבר מהגיל הרך להשתמש בה כאסטרטגיה לפתרון בעיות ולהשוואה מפתחת את החשיבה.
אפשר לקרוא עוד על התאמה חד-חד ערכית בחינוך לגיל הרך בחומרי הלימוד של "מתמטיקה יסודית" לגיל הרך והרבה הרבה יותר מזה בספרי המורה של "מתמטיקה יסודית" לכתות בית הספר היסודי. את הרעיון מדגימים ב-"חיסור של השוואה" (וראו חומר סיכום של שיעור שהעברתי בנושא בסדנת מתמטיקה שלימדתי בבית ספר עמל בכפר יונה) ומרחיבים אותו: הנה קישור לסרטון שבו אני מסביר לילדים על חיסור של השוואה.
כדוגמה, הנה קטע מדיאלוג בכתת יסוד במתמטיקה בעת עיסוק בנושא:
מורה: אני מבקש שתסבירו למתקשים באמצעות דוגמה. השתמשו במספרים קטנים, כדי שלכולנו יהיה קל יותר.
תלמיד: יש לי כאן קבוצה של 9 טבעות:
יש לי כאן קבוצה של 7 משולשים:
כמה טבעות יותר ממשולשים יש לי?
מורה: הדוגמה מצויינת. מי יכול להראות לנו איך עושים את ההשוואה?
תלמיד:
אני מותח קו
בין כל פריט
של קבוצת הטבעות
ושל קבוצת המשולשים.
הנה, כך אני עושה את זה:
אני רואה שנשארו שתי טבעות שאין להן משולש חבר. אין בסיפור הזה שלם, אין בסיפור הזה ספירה אחורה, אין בסיפור הזה נקודת מוצא. יש בו רק התאמות בין החברים של קבוצה אחת לחברים של הקבוצה השנייה, ורואים כמה פריטים נשארו ללא חבר.
מורה: יופי. אבל עכשיו כבר התקדמנו ואנחנו יכולים לדעת שלפריטים האלה קוראים: איברים. אנחנו עורכים התאמה בין איברי קבוצה אחת לאיברי הקבוצה השנייה ורואים כמה איברים נשארים ללא ההתאמה הזאת. את מספר האיברים ללא ההתאמה מוצאים על ידי חיסור. זהו חיסור של השוואה.
מורה: מדוע אני מכנה את הפריטים בכינוי איברים?
תלמיד: אני יודע שלחלקים של הגוף שלי קוראים: איברים. זאת אותה מילה?
מורה: כן. האיברים של הגוף שלך הם החלקים שבונים את הגוף שלך. כך האיברים של קבוצה הם החלקים הבונים את הקבוצה.
הגדרת מושגים, הבחנה בדקויות, שפה מדויקת הם חשובים ושימושיים לא רק למתמטיקאים מקצועיים, אלא גם לתלמידים ילדים -- שימוש בהם כבר מגיל צעיר מפתח את החשיבה, והיכרות עמם תוך כדי עיסוק בעצמים מוחשיים, ובהמשך בציוריים (ורק בסוף במופשט) מאפשרים לבנות מודל מנטלי איתן שעליו אפשר להישען כאשר עוסקים בנושאים מופשטים.
כל הכבוד לגדי אלכסנדרוביץ על ההנגשה שלו של נושאים מתקדמים במתמטיקה לקהל הרחב. אני יכול להמליץ על ספר מצויין שכתוב באופן קולח ונגיש: "מתמטיקה שירה ויופי" של רון אהרוני שעוסק כפי ששם הספר מגלה במתמטיקה בשירה וביופי: המחבר מנסה להראות קווים משותפים בין המתמטיקה והשירה באמצעות נסיון להסביר מה נחשב יפה במתמטיקה ומה נחשב יפה בשירה. בין הדוגמאות הרבות שהוא מביא אפשר למצוא גם דיון מעניין ומלמד "בגובה העיניים" בנושא שבו עסק גדי אלכסנדרוביץ במאמרו זה שפורסם בוואינט. על הספר "מתמטיקה שירה ויופי" כתב יפה יוסי לוי מהבלוג נסיכת המדעים.
אני מקשר לעוד רשימה שאני ממליץ לקרוא למתעניינים: כתבתי אותו בעקבות הקריאה בספר משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה מאת ארנון אברון -- שם אני מרחיב יותר על ספרים שעוסקים בנושאים שמשיקים לנושא שדן בו גדי אלכסנדרוביץ במאמרו.
Hilbert's hotel of course assumes that TIME is infinitely divisible. That is, time behaves as the number of points on a line segment, rather than the number of integers. If time is NOT infinitely divisible, then the hotel fable falls apart, because it needs guess to move from one room to the next in infinitely small time-step. If this step has a lower limit-- call it a Chronon, which is the "time atom," or quantum, then at a certain points there would be a traffic jam in the hotel corridor. The problem was recognized by Georg Kantor (he who concocted the calculus of infinities), and distinguished between two kinds of infinities-- the first "measuring" the "number" of integers, the second a "higher" infinite, or Aleph Null and Aleph One. Paul Eros said some smart things about them. Look it up.
ReplyDeleteלמרבה הצער, למצער זה "לכל הפחות" ולא "למרבה הצער". תודה
ReplyDeleteTo the first commenter: please do not mislead people. Hilbert's Hotel is a thought experiment in mathematics, not physics. It has nothing to do with time in the actual universe and it is not a mathematical proof, it's just a nice illustration of a principle, like a diagram.
ReplyDeleteGeorg Cantor (not Kantor) pioneered the theory of infinite cardinalities ("quantities"). Aleph-null (aleph zero) is the first infinite magnitude, the totality of the natural numbers (or the integers). Aleph-one is the set of all possible subsets (more or less: combinations) of the natural numbers. Neither of them has anything to do with "higher infinities". There are infinitely many "alephs". Finally, Paul Erdos (not Eros) was a very prolific mathematician and had a lot to say about most topics. He is in fact infamous for this.
It's important, even when commenting on the internet, to be precise when giving information.
A thought experiment (in symbols and math) that declares in advance that it has no relevance to reality (i.e.physics) better not be put up at all, or it can cause more harm than good. The connection between language (the tool of thought experimenters) and the Universe (where physics live) is only an assumption made in language, and language making statements about itself is a priori suspect.
DeleteAs for Erdos being infamous, you may be less modest than I am. I sat through several of his appearances in Stanford, inter alia, and would not call anything he said infamous.
To the third anonymous: a small correction. א1 is the first cardinal above א0. The magnitude of all א0 subsets >= א1. Within the usual axioms of set theory (ZFC) the equality, known as the continuum hypothesis, cannot be proved as it's independent of this set.
ReplyDeleteמאמר שמפרסם יותר את הספרים מאשר את המתמטיקה.
ReplyDelete