עקיבה אחרי גולשים בעזרת עוגיות חסינות מחיקה

מאמר שלי שמתאר מקרה של עקיבה אחרי גולשים בעזרת עוגיות חסינות מחיקה, פורסם בגליון 24 של Digital Whisper.

במאמר אני מפרט על השיטה שבה עוגיות (HTTP Cookies) גובו ושוחזרו גם מדפדפנים שבהם המשתמשים מחקו אותן בכוונה לשמור על פרטיותם. הגיבוי והשחזור בוצעו על ידי שימוש במנגנון ה-ETag של HTTP 1.1 שבכלל נועד לשמש לבדיקת גרסאות של משאבים שמנוהלים במטמון.

העניין הזה התפרסם והתפוצץ לפני מספר שבועות בעקבות פרסום מחקר שחשף אתרים שבהם הופעלה הטכנולוגיה באמצעות חברת KissMetrics.

server error message on youtube

בשעה שהאזנתי למוסיקה מתוך ווידאו ביוטיוב פסקה לפתע המוסיקה וכשפניתי לראות מה קרה בדף מצאתי את הודעת השגיאה המשעשעת הבאה:

500 Internal Server Error

Sorry, something went wrong.

A team of highly trained monkeys has been dispatched to deal with this situation.

If you see them, show them this information:

q9TQQrB05Zwy7cM8mRQKJVwQTWtwImVHAvlXjkB2-IgRsNiAqwFeq9yZdwfq
d8t-irQ85KjiSMXpxMLSdKThbpqC_g5iXJewguYr-FHVbRN30dxkY5ECX2Wr
8mych7ZzxYiboBiQU78rD-y7Gg1C_-74hVSiu0PgkO_1BCOvX7Z25c9Mb7mb
b5T1jQA00cWFpdq4fQDBghtaEiPrbgR1636nUTbDHI-pFNeUUGyayYRGbcHp
asb0v-0BIV4gwwseXS48mKDfYfvcgm0YUSmP4-XVOBMRBEK1Av-9AMinXIBI
4n8GajGFjKMDOTEwGl7OGq82EXjkXYRoYdLEMoxw0o6zw9bXlQI9cdO_hRJV
tiU8jKcO7Wypl4Iy9HizcBbdFYDL9GYXBOvw63BZjuzknnnBZigJmlqliBv2
e3uuUvFfXEMzrIeVimwdMmQcoIb8NKqwK2gTo3Ose-xm7ZMyfK4f7iZ81Zoy
yv7Euwxmkqmgoqp5ZBHP_vI2yB618bbpjc_Ht8FgCPp9qGRSLQow1an-P9my
yNcnRK0AtkAvSGaXbmAACtgPP2abop8m1SrgX_GeHlOooOWRQOVVbfl2iZZF
zRW1FHVhtoDF8erps9zl5M4uTPCjr0gEVUXTdq8LjOhN3cp68HGgbo4Jfbeg
0q5Gt43O2IYbKlXcDz6zMNPzEjwpjX4nzvAxNvEa6VnvsHYZv00qKeudYCAq
4Sv5h1j93rKSFSN7qlDRiWKEixLt1u4sqlOOh0D3IpRGLwm7HglBBCa_NswX
d9pyeQ0kmkgmZImGdEGlPejooPjWFXlmq7J-jkAIeML2MUL4_2HJZBmj6uaR
zA0nWjDLVzVsafG37NFNfWzTuMl6EC500NUR6mHYddeA8INPX1ub0yGMFSSu
gQ1oo4zDhHfNKdzbvlS-Urt9A073jFuhSX83TiaZE1egy4N-js29niqU-P6j
yiZ1zo0frDCsvezjcTvVdjmeeG_RTNDmetmAauyb06xrFmMwnrtFIgmZcBJv
NhTyBgatlCKu60tFksW4FucNaKzphqrZ1Biu5vNLjDCEMp4f7sg66r9K3_Ox
6PR2epnBw1JgtifJhqpNqr5j9shl9H99AuaaIUTPlIT_nbxIr5nNL48HxYtA
saVkoZFZEFoj1G5y3AkRfLXnNx2LFLJn0a5l4GZOAzcZmA3MD1rEjc6bJ3oU
QrZEAS9k_Sonm6Y7gkDg7T88_OJM1rF-6Z8O42DDCawV27eR-oh0lC8BlYju
bSaQoHhGuv_xvl5hCruKmKx__haq-erW8vVyxLLzjL-S85j0oJ2X_XKtxNOG
pJsQyBciBoKZCveucYTnI0ZSa7sASEH18iN38P3iDxxLRFrCYbVc3coIEkQH
kTgC8NcmV9oGwBs7yFoUZPuwZ8ZeX21TFgwn2uXz7y9ZZFaVHTPPYQDN2Msu
GYX8vamc-HOfbyWGbFFV3qumDYk71grqED02CdLUrFWsWCEB9HEiGAfp0Msb
WzgP3GaaQTPz4lY46cUe7UIZWMMtgCDSvaXf0NNqrSmSjMI_c8UZdXctfigL
FVbEQaBl3nDseCcmsyqZvwsWOq3_tCCSSdbByhtmn8nMSXjX9ohgK5dexi_i
Goomw1aLbnqhyzzpuslVd3HQej99ETOMxh0MrEdbjbwrmqFRr1qKjIuHcGoz
R1WOu5eE6mcOsDAvvZhefHrE_IcGuWtfLqASxam8X89aKwtWMA30I5Xd4KDw
5dVo6HTcOPlnR4BGfLHty9iymy93Hc9OfFQsKPVW3g_Sgt5b0CNhA4yy6VGV
ieUX2veQXSdPK1gRRWK8nmzlqptmW1OpWd3iepqo6hmGApSQ1GQ5Il0ma2e9
oW6M6GfRiEqVnDWhVASDUU3assv39QkkFdH8zJsBtRZUB1jldk0-YvsbDo48
64R6PCT5AaIaGZHb06Fqf_hcTwjdjycN93So0zS0yUOxwtUBlOFunOcFMZej
GFEQzpJ5tuHQXBwOcUyxA5swXdi0_hAUjZx0fR5kH4QlTlWeaCAyJlhWLZ25
kKXUVtFttrcZiQ50seDfpsjzTE5aB6ztut--fWWronQ1lOO6nLwaosB-MnYc
paddqkJukTyuTzYsG0Wp8s8FL1aQiILJ_p3eRkuE5c1CLTBW0Z1Kg2zprNzO
nquu5owo8E8ddZ1fYISB4KsBhadUnkIhx3HUhdwauu8kbih9WzGhLv4hcjDL
B5DO9vFDyqkqKBTEXewyGE6lBIDwXWV69BF1mYKeVITlgDMax02QIH8LvjmA
VV05D6huZxRF7wIRx90wWt5GayhxyxLvX_vbMXWq30R6DJSDADLGvxYXobeq
DPdux6G1Kn4wG68uiNn1tGkVnhwT9bn3xy7qxVY3PU7pScrbsRFh_YRg1yXP
Dhwb3I72pgIntK4onTWHPyQIi7kzH0otu9w2YZqZi2PYBOCfZ-Bu11vB4u3i
gipPSv0_VW6bHaQD54_scIBWzmqV8ZDRrXMr01quTmZJ6Jq1kYmigmCYs6zG
yHFQ3F071CceMDe6xptSMDpKA5z8fVouRBZ2SogSNWG83NsP8MebEJPYsMD0
IJQtxElrX52zpwbqKSCyXN3imf4O3XkmmKKocMlmv1ql01k-7L8T8vdqED3I
4JgZVUrjIvtVR-pVrNKJSFNkBNQcX99CwVpXXF-XHbGmkFYyeqWUaQ78B7p2
JhYbJKiwCGl-VNFp5WTLovFZ3xW8yEwJviDwLSz1fWoBuA8MljuoTFU3zKj7
FRBQigiO6ZhrfCj9XmyBCfeiwQ90BVBk6FIzxP36Bbh1fFUyHXpNHtbp-BEE
trU4IfQfEqKS7y3cSM-a60HHFi03rmalDx776kVBXFiwT8aGFAhMLYrG9XwZ
dghc6IUnNnpf9wqKF53AioKeypMUAj5Rcwyuse8Ps3nNjahvy5K813qgF3r1
ZliKmOEyiff0aetiNcMh7C3GBLYEdMbinvTAoOHfvxBDVjNuFwYDLgF9-nbt
95SyYaB-u8GwOPkxjzgR1cQCSgnQ8xSgDeQA7s05mBc6r_xGn2WHEgDwX6Hl
rP57xa-flx5X8ari499Ew7Qo14wFLXU7QxBp-Ghzp0xVm0LgbjtQy27U20TN
2k5y0W8c_OOoSab6WuaODCiRdsgoPVx3oNPdvo6pXQ22JETv16OPb7y3x_fw
j_gqvPWgtzgzgJi2TlU8Bho9geX09RaJv8kq1enthXvooKGV3YYiW-IyrJta
vkwtDQakLnJ3IanWfgyJDyyMD2VZ6cCyFu8Rop07Nm-43jEOxb48xw6upiE0
DFaITlJXSlitmWZ535w_E5vLEJhwpD4xtld1Ov7F_h-KpEiYyKejAwVJjYzy
quNzqom3D9bA0jKD-toZGtirXyFLZ_V2Ig2D3jq1FDmFDEYpYhNwd3Q5B-Xy
dwHDNdL732lynvAFKiWRYGuNqIRUqpapjjh8UsYyFAvq2-DCcycVJJ4mWCR7
uk7PnMFf7tfqfl6hvfNmgb2JETe2gukg0uNfcPsKvIM5EMN3-Em6utKvaBfR
cGYeQE6o60SUA-3QchpqX2trDxjQphwaVXi_IfzR2cF8LY1vkpZHyUdSflOu
4CrJSc8uu4ap68hPl6Jl-2XMBDRuxhZtJssXK8CI6ziHS5rI0ntDHKbGWyVX
lZMxrUOPpTaI6938GpWmqZei7W_hktADi2tgmzEd_E6VoMjFtCd6lHhGTBmN
WPhz8tPOhNHud2QPPtztkxhSxUB7_XK6MW5Key_YRw1w0--novBU10RKTZp1
PKkV2y9Da9u_geOpYSvZO8PrqRz0tbtQsRUavE9ljNkSCEEMoj8alspTyA_X
y_7dW6mPK58nwBL5wPmhkk0Un0BUEbUp6czLDwo8t1IO7dIEngCLeqJSbntf
dLsEVYVUZx1nP2tjP67P_bnxK6Kch4_5w03L3hD7MmXdj-OfZDZu5vWyVbtc
XW638gcgCgStS2M6uRnbUwWjECZQj7xstaDv42FYzLRMuYxRbwAU84PdHD6e
pmeLTwx3_tK0JmHIx3GRgIFSQ1zMqetgyT1gunNRwxrib1f-cDTx_5QTMkX_
8ftZY11rcvmkacmEtgAFmFe8c1d415tqNyQFfi7jWO2LUsHrScQcW0HjRmiq
ajG7bN3IjvWcY5wpdEmEpT3KJ30854plJBg6sbxyo6c3B_4jtAdBXZmz8bR5
B4IRwgsNODCa8-K-UdYgewvu-Yd48zQkv9pPAzRFHGz8gi2xl5girFp7qUYP
CrUE6t-skEUPcV2Gg7vwxn0bq9TqW8ZdAURxJ2t1p6V0KpryJ3fsTaGYvCNC
OBo9EMtN-Py0EbAygSHJfIPCSzY1DOxtTsfzQEhCiTBEWlAqZ333u3YzuJq8
jwz5SirrWkSudkJdNiRqzktLE9VhPxBfY3P3HvqBr9GtELbfNr-FQ7bph3v6
UK8WfvbE22quv4CkjGj-idgvT0lZh4W8I0hN7LqMbLy6qnnJl8wdb_932LoT
g56zYyHqIJKG83dw3B_BTueBqOZysKFeAWoMH4m8vY-ZOn9YyeqMQW1yWwJd
7PVdc6j7ndue7gTfZILWJJAIWq2NEx1TTCTny4W8cjVM_w55j-IcrGYCxj6c
v7cp9hw1ebtF8wsUXN3DhJ3mfJYGXxq6HNyeP_Wco0A5I7ZJ67gH845MfCGj
t-QFSWxnY7aakd8aKWiEGAnAOyaNLRAAPZiQAVQCVu1T5Q==

ציורים אלקטרוניים של אביב

ציורים אלקטרוניים של אביב

יחסים מבלבלים -- איך חוסר הבנה במשמעויות השבר גורם לנו להסקת מסקנות שגויה

יחסים מבלבלים -- או -- איך חוסר הבנה במשמעויות השבר גורם לנו להסקת מסקנות שגויה?

מקצוען בפיתוח אלגוריתמים, חבר וגם ראש הצוות שלי בעבודה, שלומי בושי, חד לי חידה מעשית מתחום הפרסום המקוון באינטרנט. השאלה מצאה חן בעיני כל כך עד שהחלטתי לכתוב גלגול שלה עם דוגמה נוספת וניסיון להסביר. אבל לפני שאספר לכם את החידה ההיא ואת פתרונה, אפתח בסיפור הזה:

ירחמיאל חש ברע ולכן ניגש לרופא, אשר רושם לו טיפול מקובל. ירחמיאל מקבל מרשם לקניית תרופה שאותה יש לצרוך כך וכך פעמים במשך כך וכך ימים. ירחמיאל צרכן נבון ולכן הוא שואל את הרופא על אחוזי ההצלחה של הטיפול המדובר. הרופא מפשפש ברשימותיו  ומספר שיש לטיפול הצלחה ב-40% מהמקרים לפי מחקרים מסוג אחד (ירחמיאל חקרן בלתי נלאה ולכן דרך להבין כמה מקרים טופלו כך וכמה מהם הסתיימו בהצלחה והרופא פירט: 4 הצלחות מתוך 10 ניסיונות)  ואילו מחקרים מהסוג האחר מראים על כ-70% הצלחה (63 הצלחות מתוך 90 ניסיונות). המחשבה על צריכת תרופה ואחוזי ההצלחה מביאים את ירחמיאל לחשוב על בדיקת פתרון חלופי. השכנה המליצה על מרפא-אלטרנטיבי-הוליסטי-נפלא. ירחמיאל קובע פגישה אצל המרפא המופלא שמציע שילוב של קינסיולוגיה והומיאופתיה. ירחמיאל מבקש גם כאן להבין את אחוזי ההצלחה. המופלא מספר שיש לטיפול בקינסיולוגיה 50% הצלחה (45 הצלחות מתוך 90 ניסיונות) ולהומיאופתיה 80% הצלחה (8 הצלחות מתוך 10 ניסיונות).

ירחמיאל סבור שהוא חזק בחשבון. הוא ממצע בראשו את אחוזי ההצלחה בכל סוג של טיפול: הוא מקבל שלפתרון של הרפואה המקובלת יש 55% הצלחה (מחבר 40 ועוד 70 ומחלק ב-2) ואילו לפתרון שמציעה הרפואה האלטרנטיבית יש 65% הצלחה (50 ועוד 80 לחלק ב-2). ירחמיאל בוחר בטיפול שלהבנתו יש לו יותר סיכויים להצליח ופונה לטיפול האלטרנטיבי.

נדמה שירחמיאל פעל ובחן את הנושא בשיטתיות והסיק מסקנה הגיונית שמתבקשת מהנתונים. אך זה רק נדמה ואין זה נכון. אם נשים בצד את העובדה שבדיקות מסודרות לפי עקרונות מדעיים מראות באופן עקבי שקינסיולוגיה והומיאופתיה לא מועילות יותר מאשר אינבו (פלאסבו) ואם נניח בצד את העובדה שאין בתיאוריה שמאחורי קינסיולוגיה והומיאופתיה שום צידוק פיסיקלי אמיתי (ההפך הוא הנכון, בדיקה מראה שהפעולות לא יכולות להיות אלא חסרות משמעות) -- אפילו אם רק נשתמש בנתונים נבין שירחמיאל מסיק מסקנות שגויות. ירחמיאל נפל קורבן לפרדוקס סימפסון.

כדי להבין מהם אחוזי ההצלחה של הטיפול הרפואי נסכום את ההצלחות משני המחקרים (67 הצלחות) ונסכום גם את סך הניסיונות (100 ניסיונות) ונקבל שהחלק היחסי של ההצלחות מהניסיונות הוא 67/100 שהם 67%. באותו אופן נקבל שהפתרון האלטרנטיבי נותן 53 הצלחות (45 ועוד 8) מתוך 100 ניסיונות (90+10) שהם 53%.

אבל רגע! הממוצע הראה שהטיפול הרפואי המקובל נותן רק 55% הצלחה לעומת 65% הצלחה בממוצע לטיפול האלטרנטיבי.

האם יש פה סתירה? ממש אין כאן סתירה. יחסים מסתירים מאיתנו את הכמויות האמיתיות שאנחנו עוסקים בהן. מלבד זאת, אין משמעות לחבר או למצע יחסים כי בעצם אנחנו איננו שומרים על חיבור של דברים בעלי אותו הכינוי (אותה המשמעות) -- בדומה לחיבור של תפוחים לתפוזים.

הבלבול נובע מההרגל לחפש מכנה משותף ולחבר. כך התרגלנו בשברים ואחוזים הם מאיות ואם הכול מבוטא במאיות אז גדול הפיתוי לחבר כי יש מכנה משותף. אבל מכנה משותף אינו הולם כאן. המשמעות של הביטוי, הצלחה, אינה מתאימה לחיבור היחסים. המשמעות של אחוז ההצלחה היא מנת סכום כלל מקרי ההצלחה בסכום כלל המקרים. ומשעה שחישבנו כך קיבלנו את המשמעות שאליה התכוונו. לעומת זאת, אין משמעות כזאת לחיבור או לממוצע של היחסים.

ישנם יחסים שמשמעותם נתונה לפי הגדרה שלנו. זה המקרה כאן אצל ירחמיאל: כשאנו מגדירים  מספר הניסויים שהסתיימו בהצלחה לחלק למספר הניסויים בסך הכול. עתה נתבונן בשני המקרים שבהם ביצעתי ניסויים וננסה מנסה לסכם את התוצאות. איננו יכולים לקחת את היחס שמתאר הצלחה במקרה הראשון ולחבר אליו את היחס שמתאר הצלחה במקרה השני. עלינו לסכם את ההצלחות בניסויים משני המקרים ולחלק את הסכום ב-סכום מספר הניסויים משני המקרים. רק כך  נוכל להסיק את ההצלחה משני המקרים ביחד. זאת דוגמה שמציגה שמכנה משותף, גם באחוזים, לא  מועיל לנו. כלל חשוב בחשבון, בסטטיסטיקה ובמתמטיקה (ואולי בחיים בכלל): לא להתעסק בחישובים אלא בחשיבה: יש להבין מה המשמעות ולפי המשמעות לבחור את הכלי המתאים לייצוג הבעייה (התרגיל בחשבון, או האופרטור המתמטי, במקרה שלנו היחס וכלל החיבור המיוחד).

ננסה לתאר בייצוג אלגברי:
היחס שמתאר הצלחה במקרה א': a/b, כאשר a מתאר את מספר הניסויים שהצליחו מתוך b ניסויים. באופן דומה, היחס שמתאר הצלחה במקרה ב': c/d, כאשר c מתאר את מספר הניסויים שהצליחו מתוך d ניסויים. אם נרצה להסיק מהו היחס שמסכם בעבורנו את ההצלחה משני המקרים גם יחד עלינו לחשב כך (a+c)/(b+d), ואיננו יכולים לקבל תשובה עם משמעות כאשר נחבר את השברים a/b ו-c/d כמקובל. כי זה ייתן תשובה שאינה מתארת את ההצלחה לפי ההגדרה שלנו.

הבא ונתבונן בדוגמה שונה ומתחום אחר לחלוטין שגם שם נדמה שיש סתירה ולמעשה אין. הדוגמה מבוססת על החידה שחד לי שלומי:

אתר אינטרנט מצליח ניזון מפרסומות. כדי לפשט את ניהול המפרסמים אצלו בעל האתר מעסיק שלוש חברות פרסום שמספקות פרסומות לאתר שלו. הוא מודד את אחוזי ההצלחה של כל אחת משלוש החברות באמצעות מדד CTR. זה בעצם יחס שמראה כמה פעמים הקליקו על מודעה מתוך סך הפעמים שהמודעה הוצגה. בדוח היומי שלו גילה בעל האתר שבעוד שסוכנויות הפרסום א' ו-ב' שמרו על אחוז ההצלחה שלהן, סוכנות ג' שיפרה את אחוז ההצלחה שלה. מרוצה מהשיפור פנה בעל האתר לחשב את ההשפעה של השיפור על ה-CTR של הפרסומות באתר שלו. לתדהמתו, הוא גילה שה-CTR באתר ירד. האם זה ייתכן?

הנה המספרים:

ביום הראשון, סוכנות א' השיגה CTR של 3%=18/600, סוכנות ב' השיגה CTR של 4% 64/1600 ואילו סוכנות ג' השיגה  CTR של 1% 4/400. אלה מספרים מרשימים מאוד בפרסום מקוון. 

ביום השני, סוכנות א' נשארה עם CTR של 3%=18/600, וסוכנות ב' נשארה עם CTR של 4% 64/1600 ואילו סוכנות ג' השיגה  שיפור ב-CTR והעלתה אותו ל 1.1% 110/10000. מרשים!

עתה נחשב את ה-CTR באתר, הרי זה מה שמעניין את בעל האתר:

סך כל הקליקים על מודעות ביום הראשון הוא 86 קליקים וסך כל ההופעות של מודעות הוא 2600 ולכן ה-CTR ביום הראשון הוא כ-3.3%.

סך כל הקליקים על מודעות ביום השני הוא 192 קליקים וסך כל ההופעות של מודעות הוא 12200 ולכן ה-CTR ביום השני הוא כ-1.6%.

אוי ואבוי! ה-CTR באתר ירד ביום השני ביותר מ-50% מאשר ביום הראשון.

איך זה ייתכן? זה ייתכן כי אנו מחשבים יחס. ביחס אנחנו יכולים לשלוט על שני גדלים: על המונה ועל המכנה. אם משווים שני יחסים ונצמצם כל אחד מהם ככל האפשר אז נוכל לטעון את הדברים הבאים:

* היחסים שווים אם המונים של הצורה המצומצמת שלהם שווים וגם המכנים של הצורה המצומצמת שלהם שווים

* יחס א' גדול מיחס ב' אם המונה של הצורה המצומצמת של יחס א' גדול מהמונה של הצורה המצומצמת של יחס ב' כאשר המכנים של הצורה המצומצמת של שני היחסים שווים

* יחס א' גדול מיחס ב' אם המכנה של הצורה המצומצמת של יחס א' קטן מהמכנה של הצורה המצומצמת של יחס ב' כאשר המונים של הצורה המצומצמת של שני היחסים שווים

משום שבשתי הדוגמאות שלנו (זאת של ירחמיאל וזאת של בעל אתר האינטרנט) הגידול בערך המכנה במקרה השני לעומת המקרה הראשון היה באופן ניכר רב יותר מאשר הגידול (הקטן יחסית) בערך המונה -- אזי ערך היחס קטן לעומת המקרה הראשון. 

מדוע לא חיברנו את היחסים? כי איזו משמעות יש לחיבור היחסים? יש משמעות ליחס עצמו: מעצם הגדרתו של היחס עלינו לבנות אותו שוב באותו האופן גם כאשר אנחנו מסכמים ואיננו יכולים לפנות לסכום רגיל.

כדאי לקרוא עוד על פרדוקס סימפסון:

בויקיפדיה

בנסיכת המדעים

ב-lifesimulator

ב-ifeel (מתוך מגזין גלילאו)

אז מהי השיטה החזותית לכפל של שני מספרים שלמים? חוק הפילוג

הסרטון הבא מסביר את השיטה החזותית לכפל של שני מספרים שלמים.

לשמחתי השיטה אינה בשימוש נרחב בארץ.

לצערי, תלמידים לא לומדים באופן מסודר ועקבי את חוק הפילוג ואת השימושים בחשבון לאורך כל שנות הלימוד בבית הספר היסודי. למעשה, חוק הפילוג עוזר מאוד בכל נושא.

אם מקפידים להראות את העקרון ואת השימושים בכל נושא שנלמד אז עם הזמן התלמידים לומדים לגלות אותו בעצמם בנושאים חדשים גם ללא הנחייה.

בסרטון מוסבר יפה שאין קסם בשיטה החזותית לכפל של שני מספרים שלמים.

מוסבר גם שבעצם מדובר באותו העקרון של חוק הפילוג, אלא שאין צורך לטרוח בשרטוטים המייגעים כי בסופו של דבר נגיע לאותו הדבר...

כשמבינים, הכול נראה פשוט.

כשלא מבינים הכל נראה קשה או קסום.

חבל שלא מלמדים יותר לפי הבנה בבתי הספר.

על חשיבות נקודת המוצא

אחד מהמושגים החשובים שציפיתי שתלמידים בבית ספר יסודי ילמדו וילמדו להשתמש בו הוא "נקודת מוצא". נקודת מוצא קובעת מהיכן יוצאים לדרך, היא קובעת ביחס למה מחשבים חישובים. קחו למשל את הבעיה הבאה:

נתון שהיחס בין שני מספרים הוא 4:7. בכמה אחוזים גדול המספר השני מהראשון? בכמה אחוזים קטן המספר הראשון מהשני?
פתרון:
נענה בכמה אחוזים גדול המספר השני מהראשון. מילית היחס מ- קובעת שמערכת ההתייחסות שלנו היא המספר הראשון. יחידה אחת של המספר הראשון היא רבע מערכו. משום שההפרש ביחידות בין א' לבין ב' הוא 3 אזי המספר השני גדול מהמספר הראשון ב-3/4 מערכו של המספר הראשון. כדי לקבל את התוצאה באחוזים נכפול את השבר ב-100 ונקבל 75%.
באופן דומה המספר הראשון קטן מהמספר השני ב-3/7 מערכו של המספר השני. כדי לקבל תוצאה באחוזים נכפול ב-100 ונקבל בערך 42.86%.
תשובה:המספר השני גדול מהמספר הראשון ב-75% ואילו המספר הראשון קטן מהמספר השני בכ-43%.

נושא מערכת ההתייחסות אינו מקבל תשומת לב ראויה, לפחות לא בקרב התלמידים שיש לי אפשרות לפגוש. זה נכון אצל תלמידים שנחשבים חלשים ונכון גם כן עבור תלמידים שנחשבים חזקים, מתקדמים, מחוננים וכו'. איכשהו, נדמה שזה נושא שהמורים לא יודעים אותו בעצמם, או שלא יודעים ללמד אותו או שלא מכירים בחשיבותו.

הנה, נקח דוגמה אחרת, פשוטה, שיכולה להדגים איך קל לעבוד עלינו (אם איננו מבינים מהי נקודת מוצא וכשאיננו מבינים באיזו מערכת התייחסות להשתמש) כשאנחנו מנסים להבין איזו הלוואה לקחת (למשל, במשכנתא), או מה יקרה לחסכונות הפנסיוניים שלנו כשאנחנו בשיחה עם סוכן ביטוח ממולח [הדוגמאות לקוחות מתוך שיעור שהעברתי לתלמידי כתות ו' בבית הספר היסודי עמל בכפר יונה בשנת הלימודים התשע"א]:

בעיה א':

אסתר ורחל הן שתי אחיות. אסתר קיבלה סכום כסף במתנה. הסכום שהיא קיבלה גדול ב-30 ש"ח מהסכום שרחל קיבלה במתנה. בכמה ש"ח קיבלה רחל פחות מאסתר?

התשובה: 30 ש"ח.

בעיה ב':

אסתר קיבלה סכום כסף שגדול ב-30% יותר מהסכום שקיבלה רחל. בכמה אחוזים קיבלה רחל פחות מאסתר?

[דיון] -- תלמידים רבים עונים גם במקרה הזה 30, וטוענים שמדובר באותה הבעיה ובאותו הפתרון.

נבחן את התשובה ונצביע על מהות השגיאה:  אם אסתר מקבלת ב-30% יותר מרחל, מערכת ההתייחסות היא רחל. ברגע שנאמר 30% יותר מ... נקבעו שני דברים:

א. אסתר קיבלה ב-30% יותר

ב. שרחל קיבלה 100% כי היא הגודל היסודי שביחס אליו נעשה החישוב של האחוזים

אף שזה לא נאמר במפורש הרי 30% הם ביחס לשלם, במקרה שלנו ביחס לרחל. בבעיות כאלה השלם הוא בתפקיד הגודל היסודי כי הוא מהווה את המסגרת של מערכת ההתייחסות. הנתונים הם:

רחל	אסתר
100%	130%

את זה הסקנו מכך שנאמר שאסתר קיבלה 30% יותר מהסכום שקיבלה רחל. הסכום של רחל משמש כמערכת ההתייחסות.

אז איך פותרים? נמצא כמה הם 100% של רחל מתוך 130% של אסתר (מה היחס בין הסכום שקיבלה רחל לבין זה שקיבלה אסתר):

היחס בין היחלק של רחל לבין זה של אסתר הוא 100:130 ולכן, 100/130 מראה איזה חלק מהווה כספה של רחל מזה של אסתר, ואם נכפיל אותו ב-100 נקבל באחוזים שהם בערך 76.9%. אבל מה שנתבקשנו למצוא הוא בכמה אחוזים רחל קיבלה פחות מאסתר. אז הם היא קיבלה כ-77% מתוך ה-100% של אסתר הרי שהיא קיבלה כ-23% פחות מאשר קיבלה אסתר. וזאת התשובה.

רמז השפה שלנו הוא מילית היחס מ-. מי או מה שלפניו באה המילית הזאת הוא מערכת ההתייחסות שלנו, וביחס אליו נחשב את האחוזים. המשפט הראשון בבעיה מערכת ההתייחסות שלנו היא רחל ("... יותר מהסכום שקיבלה רחל") ובמשפט השני מערכת ההתייחסות שלנו היא אסתר ("... פחות מאסתר"). אם כך, הצגת הנתונים באחוזים במשפט הראשון צריכה להיות כשה-100% הוא הסכום שבידי רחל, והצגת הפתרון לפי המשפט השני מתייחסת ל-130% של אסתר כאל שלם אחד שיש להשוות ביחס אליו שלם אחר (100%) ולהבין מה היחס ביניהם.

דוגמה מעניינת נוספת ראיתי לאחרונה בבלוג בשם שקרים יפים שעוסק באינפוגרפיקה (איך להמחיש באופן חזותי מידע). בפוסט מאת דפנה שיזף מובא תרשים עמודות (bar graph) שמתאר את כמות האנשים בעולם לצד צריכת האנרגיה לאורך מספר שנים מ-1965 ועד לשנת 2010. מחבר הפוסט מראה כיצד אופן הצגת המידע משפיע על הפרשנות שמתבקשת. ירצה מציג המידע שנחשוב שצריכת האנרגיה של אדם היא קבועה -- יראה כך את הגרף, ירצה להראות שצריכת האנרגיה לנפש משתנה, יראה -- הכל תלוי במערכת ההתייחסות ובנקודת המוצא. במקרה הזה, בעבור איזו שנה נקבע יחס מסויים בין העמודה שמתראת את כמות האנשים בעולם לבין העמודה שמתארת את צריכת האנרגיה. משום ששני הנתונים אינם נמצאים על אותה הסקאלה -- היחס ביניהם מהותי. שווה לקרוא את הפוסט הזה של דפנה שיזף ולהבין איך מושג פשוט וחשוב כזה חיוני להבנה שלנו כאזרחים: לא רק להבנה כלכלית אלא כדי לקרוא נכון ידיעות ולהסיק את המסקנות הפוליטיות מהבנה של הנתונים ולא רק מנקודת המבט של הכתב.

אבא שלי בעבודה

אבא שלי, ד"ר אלי יונה, בעבודה

אבא שלי מנהל את היחידה לאשפוז יום פנימי באסף הרופא.

דרך קלה לראות איך עוקבים אחריך בין אתרי אינטרנט

יש כלי חדש ומגניב בשם collusion שמאפשר לצפות בגרף השותפויות של הגורמים השונים שמדביקים לנו קוקיות (cookies) בזמן הגלישה. רואים כל מיני רשתות של מודעות, שירותים של שיתוף נתוני זהות ועוד. את הכלי אפשר להוריד (עם קצת התעסקות עם תלויות נוספות של כלי פיתוח של מוזילה) מגיט-האב: 

https://github.com/toolness/collusion/

או להתקין ישירות מ-

https://secure.toolness.com/xpi/collusion.html

כדי להבין מי אוסף עליך מידע בכל עמוד ועמוד יש את Ghostery (ל-FF ול-Chrome) שנותן לך מידע על צד ג' שאוסף עליך מידע.

אפשר להתקין לפיירפוקס ולראות כמה "אתרים" או "חברות" או "שירותים" אחרים עוקבים אחריך בנוסף לאתר עצמו שבו גלשת -- זה הרבה יותר חזק מאשר להבין איזה קוקיות מדביק לך כל אתר -- כי הכלי הזה מראה לך את הקשרים ואת השותפויות בין האתרים ובין השירותים על המידע הפרטי של הגלישה לך -- מגניב -- אני בטוח שזה יהיה עוד יותר מגניב כשזה יבשיל -- http://collusion.toolness.org/

• • 
    
    
    

החלונות השבורים והפשיעה בניו יורק

מסתבר שתיאוריית החלונות השבורים (זוכרים את ג'וליאני שמייחסים לו אותה? -- אגב, לא הוא הגה אותה ואף לא הוא יישם אותה בפועל...) אינה מסבירה את ההפחתה המשמעותית בפשיעה בניו יורק בשנים האחרונות (שיאנית ביחס לכל מקום אחר בארה"ב) --המתודולוגיה של המחקר והמסקנות מרתקות. כדאי לקרוא -- חברים של סיינטיפיק אמריקן באנגלית בפייסבוק יכולים לקבל גישה מלאה לטקסט.
הנה, המאמר בנייצ'ר:
http://www.nature.com/scientif​icamerican/journal/v305/n2/ful​l/scientificamerican0811-74.ht​ml

הנה העמוד לאוהדים בפייסבוק של סיינטיפיק אמריקן:
http://www.facebook.com/ScientificAmerican?sk=app_10442206389

הנה העמוד של סיינטיפיק אמריקן בנושא:
http://www.scientificamerican.com/article.cfm?id=how-new-york-beat-crime

הנה פודקאסט בנושא --
http://podcast.sciam.com/weekly/sa_podcast_110809.mp3
מרתק!!

תמונות של אחותי, רות נדל, מימי הטירונות שלה

תמונות של אחותי, רות נדל, הגננת רות, מימי הטירונות שלה.

צ'אנג סינג -- מסעדה חביבה -- אוכל לא מוצלח ולא טעים

סעדנו היום במסעדת צ'אנג סינג בנתניה.
האוירה נחמדה והשירות ידידותי.
האוכל מאכזב מאוד:
* למרקים יש טעם חזק של אבקת מרק (או טעם לוואי אחר) ואין קשר בין מה שצף במרק לנוזל עצמו -- כאילו שיש אבקת מרק עם נוזל ששפכו לתוך זה כמה חתיכות ירקות.
* מנות האיטריות היו עם טעם שרוף
* העוף בקארי שחה בצ'יפס שמנים טבולים ברוטב קארי
* הדים סאם לא היו מאודים אלא... מחוממים במיקרוגל עם קצוות קרושים.

ממש ממש נפילה.

לא נהנינו. לא נחזור לשם.

תמונות מביקור של הדודים תמר ודוד בביתנו

הדוד דוד והדודה תמר הגיעו מאיסטנבול וביקרו אצלנו.

אבי ואחותי מצחיקים את ניר כשהיה עוד תינוק קטנטן

אבי ואחותי מצחיקים את ניר כשהיה עוד תינוק קטנטן.
ניר כבר חגג יום הולדת 5 לפני מספר חודשים. עתה קיבלתי מהוריי את הסרטון הזה -- כשהוא היה תינוק.