מיכל ואני (וניר) בארוחה משפחתית מעשרים ושלושה ביולי 2009

יום הולדת ליובל נדל

ביום שישי חגגנו ליובל יום הולדת 6.

יובלי, חתן השמחה, אני (במרכז מאחור) וסיון:

 נועה מסבירה לי בעזרת מזלגות וכפות מה ההבדל בין 3x2 לבין 2x3 ומדוע חוק החילוף בכפל נותן לנו תוצאה זהה אך לא משמעות זהה:

אוכלים... סיון, אני , יובלי, ואבא שלי

סיון:

מרימים (הדוד טל שמוסתר ואני, הדוד שלמה) את יובלי במסיבה לילדי הגן:

אביב וסיון:

אבא שלי עם ניר ועם אביב: סבא ונכדים:

יובלי, כשמצדדיו סיון ואביב ועוד ילדים מהגן שלו במסיבה לילדי הגן:

אבא שלי עם ניר: סבא ונכד.

לרמות את המוות מאת סאנג'יי גופטה

קראתי בספרייה את לרמות את המוות מאת סאנג'יי גופטה. לא "נפלתי"... -- הספר לא ממריא לטעמי.

האוסף של סיפורים אישיים מעטים עם נסיונות לקשור למאמרים מדעיים ברפואה לא משכנע כל כך. אין לי רקע הולם כדי להעריך את הטענות באופן מספק. התיאורים מסקרנים ומעוריי מחשבה -- אבל... נו... איך אומר צדי צרפתי בכוכב נולד: "זה לא זה... זה ליד...".

הספר מדבר על גישות שאינן מקובלות ואינן נפוצות בהצלת חיים ומספר בשבחן:

• החזקת הגוף בטמפרטורות נמוכות מאוד
• החייאה ללא הנשמה
• השהיית תפקוד
• ניתוחים עובריים (ניתוח טרם הלידה לעובר ברחם)

וסיפורים על הזמן שבין "מוות" לבין החזרה לחיים ועוד הפתעות:

• התנסויות שלאחר המוות (חוויות סף המוות)
• מוות מוחי / צמח
• תפילה וניסים

ככה...

חשיבה הסתברותית בחיי יומיום מאת ורדה ליברמן ועמוס טברסקי

מצאתי בספריית בית ברל ספר לימוד משנת 2001 שכנראה אין בו שימוש בימים אלה (וחבל) בשם חשיבה הסתברותית בחיי יומיום (אפשר למצוא את הספר סרוק וזמין באינטרנט בגוגל ספרים) מאת ורדה ליברמן ועמוס טברסקי. הספר מסביר בצורה מוחשית ותוך כדי שימוש בארועים ובבעיות מחיי היומיום הסתברות (באמצעות המושג פרופורציה), הסתברות מותנית (פרופורציה מותנית), רעיונות שונים של הטיות פסיכולוגיות כמו זמינות, פירוט ועיגון, שיפוט לפי יציגות כשל צירוף, עדות מוטה, קשרים סטטיסטיים וקשרים סיבתיים, אפקטים מטים כגון אינבו (פלצבו), אפקט האות'ורן, השפעת ציפיות, היפוך קשר ועוד ועוד (רגרסיה וכו').

ההסברים, הדוגמאות והשאלות (הפתורות ואלה שנשארות כתרגיל לקורא) -- הכול -- תוך שימוש בבעיות ובכתבות ובתוצאות מחקרים שפורסמו -- בעיות מהחיים.

נפלא!

כל כך נפלא עד כדי כך שאפשר להשתמש בזה בבית הספר וזה אפילו עובד.

הנה תאור של שימוש כזה בבית הספר, מתוך עבודה שהגשתי. נסו והווכחו -- בבית הספר אפשר גם ללמד מתמטיקה ולא רק ללמד לבגרות!

רקע

תלמידי 4 ו-5 יחידות לימוד במתמטיקה בכתות י"א (תלמידים מוכשרים ומצטיינים עשויים להיות אף צעירים יותר) לומדים, בין שאר הנושאים, הסתברות קלאסית לפי תוכנית הלימודים (ראו [2], עמוד 5 ו-[3] בעמוד 4). פירוט הנושאים הוא:

הסתברות קלאסית: אקראיות, מרחב הסתברות סופי, חוקי ההסתברות, מאורעות בלתי תלויים, מאורעות תלויים, הסתברות מותנית, נוסחת בייס, מרחב דו-שלבי ותלת שלבי (טבלאות ועצים). התפלגות בינומית (נוסחת ברנולי).

הערה: יש ללמד קומבינטוריקה רק לצורכי ההתפלגות הבינומית.

ואמנם ספרי הלימוד והתרגול ורובו של העיסוק בחומר זה סובב סביב שאלות מתוך דגמים שהופיעו ושיש לשער שיופיעו בבחינות הבגרות. הצלחה בבחינות הבגרות הן המטרה של התלמידים. ברמות אלה הצלחה מבטיחה מקדמי הטבה בשקלול הציונים הקובעים במדדים לכניסה למסלולים השונים באוניברסיטאות. וראו למשל את טבלאות מקדמי ההטבה (בוֹנוּס) של הטכניון ב-[5]. בנוסף, המורים נמדדים בעיקר לפי מידת הצלחת תלמידיהם בבחינות הבגרות. כפועל יוצא מופעל על המורים הלחץ מצד התלמידים, ההורים והנהלות בתי הספר למקד את מאמציהם בהוראה כיצד להצליח בבחינת הבגרות במתמטיקה תחת הוראת מתמטיקה. אחד הקורבנות לשיטה זו הוא ההבנה של התלמידים ויכולתם להפעיל את הכלים שרכשו בלימודים בחיי היומיום. לפיכך, מצאנו לנכון להביאם למצב שבו הם נדרשים לעשות שימוש בכלים שנלמדו בהקשרים שאינם בהכרח על פי התבניות של התרגילים ושל הבעיות שמופיעות בכתה, בספרי הלימוד והתרגול ובבחינות הבגרות. בפרט אנו מעוניינים להביא את תלמידנו למצב שבו הם מסוגלים לקרוא קריאה ביקורתית דיווחים על תוצאות מדעיות ועל סקרים ועל הערכות ולהסיק מסקנות ראויות ולא ליפול קורבן להטיות פסיכולוגיות שונות. יפה מציג קמיל פוקס (2010) את חשיבות הנושא.

לאחר לימוד יחידות הלימוד הקשורות לנושאים הללו בתוכנית הלימודים (ולפעמים לקראת סיום הוראת הנושאים) ניתנת לתלמידים אפשרות להגיש מטלת רשות שהיא מטלת ביצוע (או "מטלה אותנטית") שתכליתה לקשר את חומר הלימודים באופן הדוק לחיי היומיום וליישם אותו בהקשרים מחיי היומיום, למשל כתבות בעיתונים, סקרים, פרסומים מדעיים וכו'. המטלה הזאת נוספת למטלות הרגילות שמקבלים התלמידים. התלמידים שלוקחים על עצמם את העמידה במטלה למעשה לוקחים על עצמם עומס נוסף מתוך הבנה והכרה בחשיבות התהליך להבנת החומר ולשכלול מיומנותם בנושא. תלמידים שעומדים במטלה מדווחים שלמדו רבות, שחשו תחושה של סיפוק ושהם מרגישים שנוספה להם הרגשה של עוצמה ושל שליטה מתוך הבנתם את "הרעיונות הגדולים" ואת יכולתם להפריד בין עובדות לבין דעות וכישוריהם להסיק מסקנות ראויות ולא ליפול קורבן למסיחים ולהטיות שזורעים מפרסמים, עורכים ושרלטנים בחומר הרב שהם נחשפים אליו באמצעי התקשורת. ההערכה של עבודתם תורמת תרומה חיובית לציון המגן שלהם ובמקרים מסויימים יכולה אפילו להחליף ציוני בחינה או ציוני עבודות אחרות שהיו פחות טובים.

מה על התלמיד ללמוד?

מצופה מתלמיד שלמד את חומר הרקע הנדרש על פי תוכניות הלימודים לחשב או לאמוד הסתברויות. במטלת הביצוע הזאת המטרה העיקרית איננה רק לחשב או לאמוד הסתברויות, אלא גם לבחון את הנתונים ולבדוק את תקפותן של המסקנות שמסיקים מהם. המטרה היא להביא את התלמיד לשאול את השאלות המתאימות ביחס לנתונים ולהשלכותיהם גם כאשר אין בנמצא תשובות חד-משמעיות. בפרט, על התלמיד:

· להבין כי חשיבה הסתברותית בחיי היומיום אינה עיסוק מופשט לשם עיסוק אלא מוחשי, חשוב ונחוץ

· לרסן את האימפולסיביות שלו – לעצור ולחשוב – לאזן את האינטואיציה עם חשיבה מבוקרת ומפוקחת

· להבין כיצד אנשים מעריכים הסתברויות של מאורעות לא ודאיים

· לבחון באיזו מידה השיפוטים הללו מתיישבים עם הכללים של תורת ההסתברות

· לשכלל ולשפר את ההתרשמות האינטואיטיבית באמצעות תהליך מבוקר של בחינת נתונים והשלכותיהם, תהליך אשר מסתייע בכלים סטטיסטיים או הסתברותיים מחד ובניתוח הפסיכולוגיה של השיפוט מאידך

· לארגן חומר לכדי עבודת חקר מסודרת

· לארגן זמן

· לתעד את מהלך עבודתו

· לעשות שימוש מושכל במשוב

כיצד התלמיד יוכיח שלמד את אשר נדרש ממנו ללמוד?

· ביומן הלמידה התלמיד יפתור ויפרט את דרכי הפתרון לבעיות שמוצגות בחומר הלימוד העצמאי. פתרון נכון של הבעיות מכריח חשיבה מושכלת שאינה מסתמכת על האינטואיציה אלא על שימוש שיטתי ומסודר במתמטיקה ובהסקת מסקנות.

· התלמיד יציג נושאים שבהן נדרשת חשיבה הסתברותית בחיי היומיום.

· הנושאים המובאים יהיו שונים ולא אותם אלה שהוצגו בחומר העיוני שהובא בפני התלמידים לקראת המטלה ובמטלה – על ההצעות להיות שונות ומגוונות ולא מקובעות.

· התלמיד ידון בבעיות שהציג וינתח אותן:

   o יפרט את העובדות ויבדיל אותן מהשערות, מדעות ומאמונות (סיווג)

   o יציין האם מידע חשוב חסר, מהו המידע החסר ומדוע מידע זה חשוב

   o יציג דגם (מודל) הסתברותי וסטטיסטי של המידע המובא בבעייה תוך שימוש בכלים

· התלמיד ישתמש במונחים ובמושגים שנלמדו, לרבות false positive ו- false negative , זמינוּת, עיגון, פירוט, יציגוּת, כשל צירוף, שיעור בסיסי, עדות מוטה, קשר סטטיסטי, קשר סיבתי, ניסוי מבוקר, ניסוי עיוור, ניסוי עיוור כפוּל, אינבוֹ (פלסיבו), אפקט הות'ורן, השפעת ציפיות, מחקר תצפיתי, הטיית בחירה (עצמית ו-חיצונית) ו-היפוך קשר. השימוש במושגים יהיה בהקשר נכון ובהתאם למשמעותם.

· התלמיד ידגים את הבעייתיות שמצא ואת מסקנותיו באמצעות מקרה אחר בעל מאפיינים דומים.

מטלת הביצוע – חשיבה הסתברותית בחיי היומיום

מבוא

בלימודינו בנושאים השונים במתמטיקה אנו מקפידים להדגים ולהמחיש ככל האפשר ולקשר לחיי היומיום. לעתים מדובר בנושאים שקרובים ללבנו ושאנו מכירים ולפעמים אנו נושאים עיניים ומזכירים שימושים עתידיים אפשריים בשבילנו שלשמם אנו עוסקים בנושא כזה או אחר שמנסיוננו עד כה נדמה שהנושאים תלושים מהמציאות ולא ברור "מה עושים עם זה". כך גם עסקנו עד כה בשיעורים בהסתברות קלאסית ונמשיך בהמשך. במטלת הביצוע הזאת "נעלה כתה" ונחשף למושגים ולשימושים שמצד אחד חורגים במידת מה מהחומר שפוגשים בדרך כלל בבחינות הבגרות (אך אין לדעת... J ) ולכאורה הם "לא בחומר" ומצד אחר הם קשורים בטבורם לרבים מהנושאים שאליהם אתם נחשפים באמצעי התקשורת.

אי-ודאות היא אחד מתנאי היסוד של חיינו. איננו יודעים בוודאות אם ירד גשם, אם נסתדר עם המנהל החדש, אם ערך הדולר יעלה ואם הקיצוץ המוצע בתקציב הצבא מסכן את בטחוננו. ובכל זאת, אנחנו נדרשים לקבל החלטות התלויות במאורעות הללו. עלינו להחליוט מה ללבוש, האם לבקש העברה ממחלקה אחת לאחרת, כיצד להשקיע את חסכונותינו ובאיזו עמדה פוליטית לתמוך. ואולם, לא זו בלבד שאיננו יודעים בוודאות מה יקרה בעתיד, אין לנו גם דרך בדוקה להעריך את הסיכויים שהמאורעות האלה יתרחשו. לדוגמה, ברור שההחלטה להשקיע בדולר מותנית בתחזית לגבי מחירו בעתיד; אולם לא זו בלבד שאיננו יכולים לדעת בוודאות מה יקרה לדולר בשנה הקרובה – איננו יודעים אפילו כיצד לאמור את הסיכויים שהדולר יעלה יותר מהמדד.

מצב זה קיים ברוב תחומי החיים: לשופט אין דרך אובייקטיבית להעריך את ההסתברות שהנאשם חף מפשע, ולרופא אין דרך בדוקה לקבוע את ההסתברות שהניתוח יוכתר בהצלחה. בהעדר מידע ודאי לגבי העתיד, ובהעדר שיטה אובייקטיבית להערכת הסתברויות, אנחנו נאלצים להסתמך על שיקול דעת אנושי כדי להעריך אי-ודאות. תהליך זה של בחינת נתונים והסקת מסקנות נקרא שיפוט בתנאי אי-ודאות.

תהליך השיפוט נעשה בדרך כלל באמצעות התרשמות אינטואיטיבית. המעריך או מקבל ההחלטה מצרף את המידע הרלוונטי במוחו ומגיע למסקנה כזאת או אחרת באופן אינטואיטיבי. במקרים רבים התהליך הזה משרת אותנו היטב, אבל לפעמים האימטואיציה האנושית גורמת להטיות בשקלול הנתונים ולהסקת מסקנות שגויות. מאחר שאיננו יכולים להמיר את החשיבה האינטואיטיבית בחישוב מכני, אנו נאלצים להתבסס על שיקול דעתנו. אם כך, מטרת מטלת הביצוע הזאת היא לנסות ולשפר את ההתרשמות האינטואיטיבית באמצעות תהליך מבוקר של בחינת נתונים והשלכותיהם, תהליך המסתייע בכלים סטטיסטיים או הסתברותיים מחד ובניתוח הפסיכולוגיה של השיפוט מאידך.

במטלת ביצוע זאת תעסקו במחקר זוּטא עצמאי: תלמדו באופן עצמאי מספר פרקים מספר לימוד, תכתבו יומן לימודי שיתעד את פעולותיכם, את חוויותיכם ואת תוצריכם לפחות ברמה שבועית, תקבלו משוב על התעוד שלכם ביומן באופן קבוע, תתייעצו עם עמיתיכם ואתנו המורים בבית הספר, וגם באמצעות האינטרנט ו-שיאו של התהליך יהיה במציאה, בהצגה ובניתוח מסודר של פרסום ובהצגה של מסקנות שמבוססות על מודל הסתברותי וסטטיסטי. את הציון תקבלו בעבור התוצרים הבאים:

1. משובים על יומן הלמידה

2. הגשת העבודה

3. הצגת הפרסום שבחרתם וניתוחו בפני הכתה

4. התמודדות עם הדיון בנושא בכתה

לעבודה מצורף מחוון שמפרט את הדרישות ואת אופן ההערכה של עמידתכם במטלת הביצוע. אתם מוזמנים לעבוד ביחידים או בקבוצות באופן קבוע או שאינו קבוע. אתם רשאים להעזר בכל חומר שהוא, ובלבד שתהיו הגונים ותציינו את המקור ואת השימוש שלכם במקור. אין בעייה גם שתסתייעו בעמיתיכם אך כל אחד מחברי הקבוצה אחראי ליומן למידה עצמאי שייכתב באופן אישי ולהשתתפות בהצגת הפרסום בכתה בעת ה"הגנה" על העבודה – כך יוכיח כל תלמיד את תרומתו האישית ויפגין את ידיעותיו ואת אשר למד.

הדרישות

א. לימוד עצמאי של הפרקים 1-6 מתוך הספר חשיבה הסתברותית בחיי היומיום מאת ורדה ליברמן ועמוס טברסקי בהוצאת האוניברסיטה הפתוחה והאגף לפיתוח תוכניות לימודים, 2001. העצה הטובה ביותר היא להתקדם בספר לפי הסדר ולא להתעצל: כדאי מאוד להתעכב על ההסברים כולם ולוודא שאתם מבינים על ידי פתרון כל התרגילים בין אם יש להם פתרון בספר ובין אם אין להם. אתם רשאים לפתור ביחד או לחוד ולהשוות פתרונות ודרכים לפתרון. למעשה, אתם אפילו מתבקשים להשוות ולדון ביניכם בפתרונות ובדרכי פתרון. את הרישומים שלכם במהלך הלימוד ואת הפתרונות עליכם לתעד ביומן הלמידה שאותו אתם מתבקשים להגיש לבדיקה בתדירות של פעם בשבוע לפחות. מי שמוכן להפרד מרשימותיו יכול להגיש את החומר עצמו (אבל הפרידה תארך מספר ימים לעיתים וזו לא הדרך המומלצת). מומלץ להגיש את החומר באופן אלקטרוני. הדרך המהירה והקלה ביותר היא לעשות שימוש בסורק. הגשות אלקטרוניות תזכנה במשוב בתוך 48 שעות לכל היותר.

ב. איתורו של פרסום מדעי, פרסום עתונות, תוכנית טלוויזיה, סקר וכו' שיש לו זיקה לנושא הנלמד.

ג. השגת חומר רקע שמסביר את הנושא, את הגישה, שמציג את העוסקים בעניין וסיכום ברור שיביא בעבודתכם את המידע הדרוש כדי לקבל את ההקשר הראוי והנכון למידע שמובא בפרסום שבחרתם.

ד. מיון פרטי המידע, הטענות, ההצהרות והמסקנות שבפרסום לעובדות ולכל השאר. יש לנמק מדוע סווג פריט מידע כעובדה ולתמוך בך וכן יש לנמק מדוע הפריטים שלא סווגו כעובדות אינן עובדות.

ה. בניית מודל הסתברותי וסטטיסטי שמציג את העובדות ואת הטענות ובדיקה מתמטית מסודרת והסקת מסקנות: מה ניתן להסיק? מדוע? מה לא ניתן להסקה? מדוע? מי מהטענות שהובאו בפרסום אכן נתמכות ומדוע ואילו מהטענות אינן נתמכות?

ו. האם יש בפרסום כפי שהובא מקום להסקת מסקנות שגויות? נסו להביא פרסומים שעושים שימוש בפרסום שהבאתם בסעיף ב' ומסיקים מסקנות. מה מהמסקנות הללו נכון ומדוע? ומה אינו נכון ומדוע?

ז. יש להגיש את העבודה (על פי המחוון ועל פי ההתייחסות למשוב שניתן בעת הדיווח ביומן הלמידה מידיי שבוע) באופן אלקטרוני או בדפוס (מה שנוח לכם).

ח. יש להגן על העבודה על ידי הצגת הפרסום בקצרה בכתה, קיום דיון בהנחייתכם וסיכום ההצגה והדיון על ידכם. במעמד זה גם תדרשו להביע דעה ולענות על שאלות מצד מורים ולא רק התלמידים.

תאור המטלה והמחוון

שם המטלה: חשיבה הסתברותית בחיי היומיום.

תחום הדעת: מתמטיקה.

מיומנויות למטלה: ארגון ותכנון, ניהול זמן, חקר ו-ניתוח.

מיועדת לכיתה: י"א.

שלב הלימודים: לאחר שנלמדו עקרונות היסוד בנושא "הסתברות קלאסית", גם אם לא במלואם, במקביל להעמקה בחומר בהסתברות קלאסית.

תנאי ביצוע: ההגשה, כולל ה-"הגנה" היא עד שבוע לפני בחינת המגן (כדי לאפשר שימוש במטלת הביצוע לטובת ציון המגן). כתוצאה מכך יש זמן ברוטו של מספר חודשים לסיום המטלה. למעשה, אין בעייה לעמוד במטלה, אם היא נעשית בחריצות, בארגון ובשימוש מושכל בחומר ובעזרה בתוך כחודש, במקביל ללימודים. רובם של התלמידים "מושכים" את העבודה עד לרגע האחרון. מיעוט נדיר משכיל שלא למשוך את העסוק בעבודה ומגיש אותה במלואה בתוך כחודש-וקצת. את המטלה ניתן לבצע ביחידים או בקבוצה. יש בה מרכיבים אישיים (לרבות יומן הלמידה וההגנה) ומרכיבים אחרים שאין מניעה שייעשו בקבוצה – הדבר אפילו מומלץ.

סוג ההערכה: ההערכה במטלת הביצוע שלנו היא מעצבת במהלכו של תהליך העבודה באמצעות יומן הלמידה: המשוב על יומן הלמידה מידי שבוע בשבוע (ובתדירות גבוהה יותר לאלה שמוכנים להגיש עדכונים גם לעיתים תכופות יותר). ההערכה במשוב משקפת לתלמידים את מצבם, את עמידתם בזמנים, את הארגון שלהם ומייעצת ומכוונת לגבי האפשרויות העומדות בפניהם והיתרונות והחסרונות שבבחירה כזאת או אחרת. תכליתה של הערכה מסוג זה היא ללוות ולחנך את התלמיד לבצע למידה עצמאית, לתכנן ולארגן באופן שונה מההוראה הפרונטלית או מהסגנון של ספרי תרגול ושל דפי עבודה. עם זאת יש בהערכה של מטלת הביצוע שלנו גם מרכיב מסכם והוא בא לידי ביטוי בהערכתה של העבודה שמוגשת ביחד עם ההגנה עליה בעת הצגתה בפני שאר התלמידים ובפני מורים. במעמד ההגשה וההגנה על העבודה ההערכה שמתקבלת מסכמת את התהליך במלואו. אנו מדגישים שהציון הכולל של מטלת הביצוע, ז"א ההערכה הכוללת, היא שקלול של ההערכה המעצבת ושל ההערכה המסכמת. חשוב לומר שההערכה המעצבת משפיעה רבות על זאת המסכמת במקרה שלנו: מצידו של התלמיד, הוא יכול להתכוונן לפי המשוב ולשפר ולהתאים ולעצב את התוצרים. מצידו של המורה: יש רישום ברור של מצבו של התלמיד בנקודות זמן שונות בתהליך העשייה ויש עדויות רבות על ההתייחסות למשובים ולכן התוצר הסופי בהכרח מוערך כאשר המורה כבר נתון בציפייה ובתחזית שהוא מחזיק אצלו בעקבות ההערכה המעצבת.

התכלית ( purpose ) של השימוש במטלת הביצוע: על התכלית ועל המניעים הרחבנו רבות בסעיף הרקע שפותח את עבודתנו. בקצרה נסכם כי התכלית העיקרית היא להביא את התלמידים לעסוק בחומר התאורטי בהסתברות ברמה מוחשית וממשית בחיי היומיום (ממש כמו שמו של הנושא) כדי לחזק בהם את ההכרה שמתמטיקה אינה תלושה מהמציאות ושההבנה והשליטה בחומר הלימודים יפה ומועיל הרבה מעבר לציון הבגרות. יתירה מזאת, יש מטרות אורייניות רבות שמושגות במטלה שכזאת ולנו המורים יש את האפשרות לקבל תמונה רחבה יותר של תחומי העניין של התלמידים, של כישורי הארגון והכתיבה שלהם ושל יכולתם להתמודד עם מטלה "למרחקים ארוכים" להבדיל מפתרון תרגילים של "זבנג וגמרנו". מטרה נוספת שנחבאת היא אל הכלים היא חשיבה מסדר גבוה ומטה-קוגניציה. פה נדרשים התלמידים ליישם את החומר שלמדו באופן שחורג מהתבניות של ספרי התרגול ושל התרגילים שאליהם הם נחשפים בכתה ושחלקם נחשפים אליהם בשעורים פרטיים. פיתוח החשיבה עמד וכנראה ימשיך לעמוד לנגד עיניהם של מקבלי ההחלטות במשרד החינוך (ראו [8], [9], [10] ו-[11]).

אילו מטרות מוערכות באמצעות מטלת הביצוע: על המטרות פירטנו בהרחבה בסעיף "מה על התלמיד ללמוד?" ואף הסברנו כיצד יוכיח בפנינו התלמיד כי אכן למד את אשר נדרש ממנו ללמוד (בסעיף העוקב). למטרות הללנו נוספות מטרות משנה נוספות:

· התלמיד יפתח את החשיבה

· התלמיד ישכלל יכולות ההבעה בכתב

האם יש דרישות קדם למטלה? דרישות הקדם למטלה היא לימוד החומר שבתוכנית הלימודים בנושא של הסתברות קלאסית.

מה הערך המוסף שלהן? הערך המוסף של דרישות הקדם הוא יסודות איתנים לתהליך הלימוד העצמאי שבמידה רבה חוזר ועוסק באותה המתמטיקה, באותן הנוסחאות ובאותם השימושים אך מנקודת מבט שונה, מנקודת מבט שבה המתמטיקה והאסטרטגיות לפתרון (אם בטבלה דו מימדית ואם בעץ ואם בנוסחה כיוצא באלה) הם האמצעי ולא המטרה. המטרה בכל בעיה ובכל תרגיל שיש לפתור היא להבין ולהביא לניסוח ברור של פתרון לבעיה אמיתית מהחיים והשימוש במתמטיקה הוא אמצעי להביע את הבעיה ואת הפתרון וכלי כדי להוכיח האם הפתרון נכון או שמא שגוי הוא. לא סביר ולא הוגן להניח שהתלמידים יוכלו לעמוד במטלה של לימוד עצמאי ללא הבסיס המסודר בכתה בשיטות שהם מורגלים בהם.

ניתוח המטלה

מהם המאפיינים הבולטים של המטלה והאם הם באים לידי ביטוי במטלה? (היעזרו ברשימת המאפיינים בדף המצורף).

המטלה מעניינת ומאתגרת – מדובר בעבודת רשות שהיא מעין "ריצה למרחקים ארוכים" שבה נלמד מחדש ובאופן עצמאי חומר מתוכנית הלימודים כאשר הדגש אינו על הטכניקה לפתרון או על דגם מסויים אלא על פתרון בעיות מהחיים. לפי הניסוח יכולים להיות פתרונות שונים – גם לפי נקודת ההתייחסות ולפי הנחות שונות ומשונות. יתירה מזאת לאותו הפתרון ניתן להגיע תוך שימוש באסטרטגיות פתרון שונות ומגוונות וככל שהתלמידים מפגינים מגוון רחב יותר של דרכי פתרון שונים לאותה הבעייה ולאותו הפתרון כך ניכרת יותר הבנתם ושליטתם בחומר. העיסוק באופן הזה בחומר מביא להבנה של הצגה של נתונים ותורם ליכולת לניתוח ביקורתי מתוך הבנת החומר ולא להסקה חפוזה של מסקנות (שגויות?) מתוך אינטואיציה, רגש, אמונה או חלילה בורות.

יש אינטגרטיביות במטלה שכן התלמיד נדרש לערב ולהבין נושאים מהפסיכולוגיה, אשר זרים לחומר הלימוד בהסתברות כפי שמקובל ללמוד אותו במתמטיקה, ביחד עם סטטיסטיקה והסתברות ולעשות שימוש בידע הזה בפתרון בעיות מהחיים. מגוון הנושאים והתחומים שבהם הידע הזה שימושי ויפה הוא עצום ורב. יכול התלמיד להביא פרסום במטלה שלו לנושא שקרוב ללבו ולתחומי עיסוקו שמחוץ לכותלי בית הספר, למשל, תלמיד שמתעניין ברפואה יכול להביא תוצאות על מחקר בנוגע לתרופה או לגורמי מחלה ואילו אחד שמתעניין בפוליטיקה יכול להביא תוצאות סקר והשלכותיו ואחר יכול בכלל להביא נושא מתחום הפיננסים או אף מתחום ההימורים וכך הלאה.

על התלמיד לבחור את הנושא שיביא ועליו להיות מסוגל לנתחו בכלים שלמד ולאחר מכן אף להפגין רבדים נוספים של הבנה בכך שמביא פרסומים נוספים שעושים שימוש בנתונים או במסקנות של הפרסום שהביא ועליו להסביר מדוע הסיקו את אשר הסיקו ומה מהמסקנות נכון ומה שגוי ומדוע. שיקול הדעת ומרחב הבחירה הוא עצום ורב כפי שכבר הוסבר קודם לכן.

המטלה אורכת זמן רב, הן משום הצורך בלימוד עצמאי של חומר, ובתרגול רב מתוך מספר פרקים מספר לימוד והן מתוך הצורך לאסוף חומר, לארגן ולתכנן את בניית העבודה וההגנה על העבודה. העבודה מאפשרת ניבוי ובדיקה וכן פתרון באופנים שונים ווידוא שהתוצאות ושהמסקנות נכונים וראויים.

המטלה מאפשרת עבודת צוות ואף התלמידים מעודדים להשתמש זה בעזרתו של זה ולעשות שימוש במקורות רבים ומגוונים ככל שירצו. יש גם מרכיב חשוב בהגנה על העבודה שהוא נעשה במליאה כך שיש להגיע למצב שבו התלמיד מסוגל לעמוד בפני המליאה ולתאר את עבודתו ולנהל דיון בנושא ולסכמו.

יומן הלמידה והמשוב התכוף והרב שהוא מספק מכריח את התלמיד לתאר את עבודתו ולפרט את השלבים בתהליך העבודה, לקבל משוב, ולאחר מכן להרהר במשוב, להרהר במעשיו ולמצוא את הדרך להתאים את פעולותיו למשוב. המחוון למעשה, מציג לתלמיד את הדרישה לשלב ביומן הלמידה ובעבודה רפלקציה כך שההערכה על עבודתו של התלמיד תהיה מבוססת גם על הערכתו של התלמיד את עצמו.

תלמידים שבוחרים להתחייב ולעמוד במטלת הביצוע הזאת יבחרו גם תוכן שיש לו משמעות בעבורם. מתוך שהפרסום שבו עוסקים אינו נתון מראש והחופש ביד התלמיד לבחור – יכול הוא לעסוק בנושאים שגם ממילא הם קרובים ללבו.

על ביצועים מורכבים ובפרט על רמות גבוהות של חשיבה כבר הרחבנו רבות קודם לכן: המטלה מזמנת השוואה, סיווג, ניתוח, יצירה ורפלקציה.

המחוון – חשיבה הסתברותית בחיי היומיום

הציון על מטלת הביצוע יינתן באופן הבא:

50 נקודות יומן הלמידה

30 נקודות העבודה להגשה

20 נקודות ההגנה על העבודה במליאה

כך שציון מושלם מורכב מ-100 נקודות.

50 הנקודות בעבור יומן הלמידה ניתנות באופן הבא:

5 נקודות

הגשה של לפחות פעם בשבוע מידיי שבוע

5 נקודות

הצגה של תכנון העבודה באמצעות תוכנית עבודה

10 נקודות

דיווח והתייחסות להתקדמות הלמידה בספר הלימוד

10 נקודות

דיווח והתייחסות להתקדמות באיתור הפרסום שבו יעשה שימוש בעבודה ובחומרים הקשורים בו

10 נקודות

דיווח על התקדמות ועל העבודה בניתוח הפרסום והחומרים הקשורים בו

10 נקודות

התייחסות למשוב

5 הנקודות על ההגשה למשוב של יומן הלמידה תנתנה במלואן על הגשה של לפחות פעם בשבוע.

3-4 נקודות תנתנה על הגשה באיחור של עד שתי הגשות למשוב.

1-2נקודות תנתנה על הגשה באיחור של עד ארבע הגשות למשוב.

לא תנתנה נקודות על איחור בהגשה של יותר מארבע מההגשות למשוב.

5 הנקודות על הצגת תוכנית העבודה באמצעות תוכנית עבודה תנתן לתוכנית מפורטת של חלוקת הזמן ללימוד, לאיסוף החומר, להתחשבות במשוב, לפתרון תרגילים, להכנה להגנה במליאה וכיוצא באלה.

2-4 נקודות: יש תוכנית עבודה סבירה אך אין גמישות ואין דיי התחשבות במשוב

נקודה אחת: תוכנית שאינה מציאותית ואינה משתנה בהתאם למשוב

לא תנתנה נקודות על אי הגשת תוכנית עבודה

10 הנקודות על הדיווח בהתקדמות בלמידה העצמאית בספר הלימוד תנתנה על דיווח ותיעוד מקיף של לימוד מלא של הנושאים או אפילו של תיעוד ושל דיווח על פתרון חלקי של התרגילים כל עוד הפתרונות מעידים על הבנה וחלקם מובאים ביותר מדרך פתרון אחת ובשימוש של אסטרטגיות פתרון מגוונות

6-9 נקודות לדיווח חלקי או לשגיאות קלות מידיי פעם בפתרונות או בתאור ההבנות מהלמידה העצמית כל עוד ישנה התייחסות למשוב

1-5 נקודות לדיווח שטחי ולפתרונות שהם נכונים בחלקם הקטן וישנה התייחסות לא עקבית למשוב

לא תנתנה נקודות על נושא זה לתלמיד שלא ידווח על התקדמות ולא יעיד שהוא עוסק בלימוד עצמאי או שהתעוד אינו מקורי והוא מועתק מאחר או שהשגיאות רבות ואין התייחסות למשוב

10 הנקודות על הדיווח בהתקדמות באיתור הפרסום ובחומרים הקשורים בו תנתנה על דיווח ותיעוד מקיפים של המקורות לאיתור, תאור הלבטים בבחירת הפרסום, דיווח על איתור הפרסומים הנגזרים, שימוש נכון ברישום מקורות, בחירה מקורית ונימוקים משכנעים לבחירת הפרסומים

6-9 נקודות לדיווח חלקי או לשגיאות קלות מידיי פעם כל עוד ישנה התייחסות למשוב

1-5 נקודות לדיווח שטחי או לנימוקים חסרים וישנה התייחסות שאינה עקבית למשוב

לא תנתנה נקודות על נושא זה לתלמיד שלא ידווח על התקדמות ולא יעיד שהוא עוסק באיתור פרסום ונגזריו או שהתעוד אינו מקורי והוא מועתק מאחר או שהשגיאות רבות ואין התייחסות למשוב

10 הנקודות על הדיווח בניתוח הפרסום ובחומרים הקשורים בו תנתנה על דיווח ותיעוד מקיפים של אופני הניתוח, שימוש נכון במושגים, רפלקציה על הנעשה והתמודדות עם בעיות, ניתוח של הפרסומים הנגזרים, שימוש מגוון באסטרטגיות לפתרון ובהצגה של נתונים, דיווח על תהליך הסקת המסקנות והתייחסות רצינית למשוב

6-9 נקודות לדיווח חלקי או לשגיאות קלות מידיי פעם כל עוד ישנה התייחסות למשוב

1-5 נקודות לדיווח שטחי או לנימוקים חסרים וישנה התייחסות שאינה עקבית למשוב

לא תנתנה נקודות על נושא זה לתלמיד שלא ידווח על התקדמות ולא יעיד שהוא עוסק בניתוח הפרסום ונגזריו או שהתעוד אינו מקורי והוא מועתק מאחר או שהשגיאות רבות ואין התייחסות למשוב

10 נקודות תנתנה להתייחסות רצינית ועקבית למשוב בכל שלבי הדיווח ולכל משך העיסוק במטלה

6-9 נקודות תנתנה להתייחסות מלאה למשוב. קיימות שגיאות כתיב מעטות או לאי דיוקים מתמטיים מעטים אשר מתוקנים ברובם בעקבות המשוב

1-5 נקודות להתייחסות שאינה עקבית למשוב, שגיאות כתיב ותוכן רבות שאינן מתוקנות במלואן

לא תנתנה נקודות ללא התייחסות למשוב

30 הנקודות בעבור העבודה להגשה ניתנות באופן הבא:

10 נקודות

מבנה עבודה ראוי

10 נקודות

הצגה וניתוח של הפרסום הנבחר

10 נקודות

רפלקציה, מסקנות ושימוש בפרסומים קשורים וניתוחם

מבנה העבודה (10 נקודות בסה"כ):

2 נקודות עמוד שער ובו פרטי התלמיד ותוכן העניינים

1 מבוא ורקע

2 הצגת הפרסום וניתוחו

2 הצגת נזגרי הפרסום ונתוחם

2 מסקנות וסיכום

1 בבליוגרפיה

20 הנקודות בעבור ההגנה על העבודה במליאה ניתנות באופן הבא:

6 נקודות

קבוצתי

2

הצגה ברורה של הפרסום והקשורים בו

2

ניתוח ברור ומסקנות

2

ניהול הדיון ועמידה בזמנים -- 14 נקודות

7 נקודות -- מענה על שאלות (באופן עצמאי)
7 נקודות -- סיכום (בקבוצה – ובאופן עצמאי)

ניתוח המחוון

מהם המאפיינים הבולטים של המחוון?

המחוון הוא מחוון אנליטי:

· הוא דורש מתן ציונים נפרדים להיבטים או לממדים שונים של התגובה. לפי חלקים משמעותיים של המטלה: יומן הלמידה, העבודה וההגנה במליאה.

· כל ממד מכיל קריטריונים המתייחסים למרכיבי הממד ותיאור של נקודות קבע שונות המתארות רמות ביצוע שונות בממד המסוים. קיים מנעד של ערכים כדי להותיר בידי המעריך מעט חופש להבדיל בין רמות ביצוע דומות.

· הממדים משקפים את המאפיינים המרכזיים של ביצוע איכותי בתחום זה.

האם יש ערך מוסף למטלה? כן. כפי שהוצג בפירוט התכלית.

אם כן – מהו לדעתכם הערך המוסף של מטלת ביצוע זו? כאמור, כבר ניסחנו בפירוט על כך בפירוט התכלית בסעיף קודם.

מהם, להערכתכם, הקשיים האפשריים בביצוע המטלה? הקשיים האפשריים במטלה היא עמידה בלימוד עצמי, קשיים בניהול זמן ומשאבים וקשיים בתכנון. כמובן שעלולים להתגלות גם קשיים בניסוח. לכל אלה יש מענה הולם בדרישה לקיים יומן למידה שעליו מתקבל משוב בתכיפות רבה. תלמיד שמתייחס למשוב יקבל מענה הולם לקשייו ויזכה לעזרה ככל שזאת תדרש מצוות המורים.

האם תמליצו לכלול את המטלה במערך ההערכה הכיתתי? נמקו איך ואם לאו – נמקו הסיבות לכך.

כן. נמליץ בהחלט. מלכתחילה מטלת הביצוע הזאת היא מטלת רשות ויש אשר יפרשו את החומר שבו עוסקת המטלה כחומר שהוא מחוץ לתוכנית הלימודים (אמנם הנושא חשיבה הסתברותית בחיי היומיום אינה מהווה חלק יותר מהתוכנית לבגרות כלשונה אך המתמטיקה היא בהחלט מתוך החומר לבגרות של הסתברות קלאסית). הציון יכול רק לשפר את ציון המגן של התלמידים שבוחרים להתחייב ולעסוק במטלת הביצוע. מהנסיון התלמידים אשר מתמידים במטלת ביצוע זאת גם משיגים את מלוא הנקודות בנושא זה בבחינת הבגרות שלהם והם גם מצליחים באופן כללי יותר בהשגיהם בבגרות. אמנם זה קשר שאין לדעת האם בעקבות העיסוק במטלת הביצוע כך או שמלכתחילה התלמידים החזקים והמוכשרים יותר שלהם הצלחה רבה יותר בבגרות הם אלה שחשים בטחון להתחייב ולעסוק במטלת הביצוע. בכל מקרה – התהליך מפרה ומעניין ומחכים הן לתלמידים שבוחרים והן לצוות המורים שמלווה אותם. הכתה כולה, כולל התלמידים שבחרו שלא לעסוק בנושא, נהנים מהנושא הנלמד ומהעושר בחומר שמוצג באופן בהיר ונגיש לכול. שיתוף הפעולה בין התלמידים גובר והתחרות, כשהיא קיימת, משמשת זרז לחריצות ולא להתנגשות חברתית.

בבליוגרפיה:

[1] ליברמן, ורדה, טברסקי, עמוס; חשיבה הסתברותית בחיי יומיום; ההוצאה לאור של האוניברסיטה הפתוחה והאגף לתכניות לימודים, המינהל הפדגוגי, משרד החינוך; 2001.

[2] תכנית ההוראה בשאלוני 5 יח"ל -- תכנית הניסוי, פירוט תכנית ההוראה לכיתה י"א, אתר מפמ"ר מתמטיקה -- http://cms.education.gov.il/NR/rdonlyres/63A95806-4D9C-45DC-B67E-CB4941855CFA/96073/ya.doc

[3] תכנית ההוראה בשאלוני 4 יח"ל – תכנית הניסוי, פירוט תכנית ההוראה לכתה י"א, אתר מפמ"ר מתמטיקה -- http://cms.education.gov.il/NR/rdonlyres/63A95806-4D9C-45DC-B67E-CB4941855CFA/96071/4ya.doc

[4] מטלת ביצוע - אמדור, ל' (1999). התלקיט - כלי הערכה התומך בהוראה ומקדם למידה: הערכה באמצעות 'תלקיט' - עקרונות, מהלכים ודוגמאות. מטלות ביצוע (עמ' 40-38).

[5] חישוב הממוצע המיטבי של תעודת הבגרות וציונים נוספים, מסלולי הרשמה ומסלולי לימודים לתואר ראשון, הטכניון, מכון טכנולוגי לישראל -- http://ug.technion.ac.il/admissions/index.php?src=2 .

[6] פוקס, קמיל, תשיגו לי את מינה צמח! על סקרים, מתמכרים ומבקרים, דביר, 2010 -- http://shlomoyona.blogspot.com/2010/04/blog-post_9634.html .

[7] טאלב, נסים ניקולס, הברבור השחור, דביר, 2009 – תרגום מאנגלית של The black swan , Random House; 2007 -- http://shlomoyona.blogspot.com/2009/06/blog-post_7029.html .

[8] גלסנר, אמנון, בן דוד, עדי ואיגר, עינת, פיתוח חשיבה מסדר גבוה -- סקירת ספרות, האגף לתכנון ולפיתוח תכניות לימודים, המזכירות הפדגוגית, משרד החינוך, טבת התשס"ט, ינואר 2009 -- http://meyda.education.gov.il/files/Tochniyot_Limudim/Portal/Skirot/Chashiva.pdf .

[9] יועד, צופיה (עורכת), אסטרטגיות חשיבה מסדר גבוה -- מסמך מנחה למתכנני תכניות לימודים ארציות ומקומיות ולמפתחי חומרי למידה, האגף לתכנון ולפיתוח תכניות לימודים, המזכירות הפדגוגית, משרד החינוך, התשס"ט, 2009 -- http://meyda.education.gov.il/files/Tochniyot_Limudim/Portal/EstrategyotChashiva.pdf .

[10] זוהר, ענת, משינון מידע לפיתוח החשיבה, משך ההרצאה: 51:17 דקות, יולי 2007 -- http://cms.education.gov.il/EducationCMS/Units/Mazkirut_Pedagogit/OfekPedagogi/Arzaot/ .

[11] זוהר, ענת, ללמוד, לחשוב וללמוד לחשוב, ירושלים: מכון ברנקו וייס, 1996 -- http://shlomoyona.blogspot.com/2009/08/blog-post_2295.html .

ציורים חדשים שקיבלתי מסיון

ציור חדש שקיבלתי מאביב

תגובה להמלצה של רינת פרימו על "כיצד בוטלה המתמטיקה" בוואינט

בשבוע הספר מצאתי ספר שנראה יפייפה בכריכתו וכותרתו מושכת את העין "כיצד בוטלה המתמטיקה?"

רינת פרימו (סופרת הילדים רינת פרימו) כתבה על חוויית הקריאה שלה ואת דעתה על הספר.קרבי התהפכו, אך אין הפתעות.

את הספר קראתי גם -- דווקא עליו אינני רוצה להרחיב כרגע -- אכתוב עליו בהרחבה. אני רוצה להעמיק בתגובתי ולא רוצה להקל בה בקצרה כרגע.

היה מעניין לקרוא את התגובות, את אלה שבעד וגם את אלה שנגד. לא היו תגובות רבות שהייתי חותם עליהן ועומד מאחוריהן (ללא קשר לצד שנקטו) -- כתבתי גם תגובה משלי:

להורים שמוכנים להתעלות על הדמגוגיה ורוצים להבין בעצמם מה הילדים אמורים ללמוד, מדוע, וכיצד אפשר ללמד את זה באופן שגם יובן (וגם ללמוד בעצמם מחדש את הדברים הללו  -- ואולי בפעם הראשונה גם להבין מדוע עושים כך ולא אחרת ומה המשמעות של השלבים השונים) אני רוצה להמליץ על שלושה ספרים -- לא חייבים לקרוא את כולם -- אבל מי ש"נכנס לזה" בוודאי ירצה להעמיק עוד ולקבל כמה נקודות מבט על אותו הנושא:
* חשבון להורים של רון אהרוני
* שליש לחלק לרבע של מירה עופרן
* לחשוב להבין להצליח של תלמה גביש

הספרים ידידותיים מאוד לקוראים, בעיקר זה של רון אהרוני. כתבתי אותם בסדר עולה של "מורכבות" ובסדר יורד של "ידידותיות לקורא".
עדיף להתחיל מהספר של רון אהרוני (יש בכל ספרייה עירונית ואם לא מוצאים -- בדיוק עכשיו זה שבוע הספר!!) -- את הספר של מירה עופרן אפשר למצוא בעיקר בספריות של מכללות ואוניברסיטאות אבל אפשר להזמין בזול גם מהוצאת רכס. אותו הדבר לגבי הספר של תלמה גביש אך שם מדובר בהוצאת אח.

אולי אחרי הקריאה -- יבינו ההורים בעצמם את הנושאים וידעו לעזור לילדים להבין -- זה יסייע מאוד להפחית את חרדת המתמטיקה שפושטת בכל עבר והיא זאת שזועקת מהכתבה ממילותיה של סופרת הילדים רינת פרימו וכן מהספר המדובר.

אני כבר קצר רוח לכתוב את דעתי בהרחבה על הספר -- אבל יש לי מטלות אחרות שעלי להשלים לפני שאוכל להקדיש זמן לעניינים אלה. בינתיים, מעניין לקרוא תגובה ארוכה (ולה תגובות מעניינות גם כן) לכתבה ביומן הרשת "לא מדויק".

סדנה להורי ילדי גן נעים בהדרכה מתמטית -- יום שני 7 ביוני 2010 ב-20:30 בגן נעים

שלום להורים

ביום שני הקרוב, ה-7 ביוני 2010 בשעה 20:30 נקיים את הסדנה להורי ילדי הגן.

שלמה יונה,

אבא של סיון

מתמטיקה יסודית בגן הילדים וגם להורים

ביום שני, 7 ביוני 2010 בשעה 20:30, נקיים בגן סדנה להורים שתעסוק בחינוך מתמטי לילדים בגיל הגן. התוכן מתאים הן להורים לילדים שעולים לכתה א' והן להורי הילדים הצעירים יותר. משך הסדנה כשעתיים. הסדנה בהנחייה בהתנדבות, ללא תמורה וההשתתפות היא ללא תשלום.

הנושאים:

-  השפה המתמטית בגיל הרך - מושגי יסוד

-  כיצד להקנות מושגי יסוד באמצעות הנעשה בסביבה

-  מה באמת חשוב לדעת לקראת בית הספר

-  על חרדות המתמטיקה

המנחה:

משה ריין, מנחה מנוסה בסדנאות להורים ולמורים בגני הילדים ובבתי הספר היסודיים.

המעוניינים מוזמנים להודיע ליוספה או לי בכדי שנוכל לערוך רשימה מסודרת של המשתתפים ולקבוע בהתאם יום ושעה הולמים כך שיתאימו למשתתפים, ליוספה ולמנחה.

ישנה אפשרות שיגיע צלם וידאו לצלם את הסדנה ואז אוכל לתת בידי המשתתפים תקליטור שיוכלו להעזר בו (ואף להפיצו) בעתיד. מי שלא יהיה מעוניין להופיע בצילום יתבקש לשבת באזור מסויים של המפגש כך שהמצלמה לא תקלוט את הפנים או את הדמות. עלויות הצלם לא תחולנה על הגן או על כספי ההורים או הועד – אלא תמומנּה על ידי העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכול (ראו www.ifma.org.il).

שלמה יונה,

אבא של סיון

עלילונים שקיבלתי מאביב

ציורים חדשים שקיבלתי מסיון

ציורים חדשים שניר הכין לי

תמונות מאמא שלי מיום הולדת 4 של ניר

Validation SOAP messages against XML Schema when references are used

I am confused about how schema validation of SOAP messages should be worked out in the presence of href links. The confusion is with regards to qualifiedness of elements. I asked about this in xml-dev. Hopefully, the experts there can suggest some help.

אלן טיורינג

התבקשתי לכתוב עבודה מסכמת של מספר עמודים בודדים על מתמטיקאי בולט ועל תקופתו באחד הקורסים. נהנתי מאוד לקרוא את המקורות השונים עליו באינטרנט וכן ספרים על ההסטוריה של המתמטיקה. העבודה כולה היא פסיפס של קטעים מתוך המקורות השונים כאשר הדגש הוא על תרומה למתמטיקה ולא בהכרח פרטים אחרים מחייו (שחלקם הזכרתי בקיצור נמרץ ועליהם אפשר לקרוא בהרחבה ספרים שלמים -- חלקם אף בעברית)

בחרתי לכתוב על אלן טיורינג. את רשימת המקורות שבה עשיתי שימוש (כולל קטעים שלמים לפעמים) אפשר למצוא עם קישורים בסוף החיבור.

תולדות חייו בקצרה:

אלן מת'יסון טיורינג (Alan Mathison Turing): 1954-1912. נולד בלונדון. מתמטיקאי, לוגיקאי, פילוסוף, הוגה, ממציא, תאורטיקן ואיש מעשה. על שמו הפרס השנתי החשוב ביותר במדעי המחשב (יש מי שאומרים שזה המקביל בתחום המחשוב לפרס נובל), פרס טיורינג. אלן טיורינג העז לשאול אם מכונה מסוגלת לחשוב. המושג 'מכונת טיורינג' (מ-1936) משמש כיום לא רק בתחומם של המתמטיקה ומדעי המחשב אלא גם בפסיכולוגיה הקוגניטיבית ובביולוגיה התיאורטית. מאמרו (מ-1950) "מכונות חישוב ובינה", שמתאר את אמת המידה שנקראת 'מבחן טיורינג', הוא אבן הפינה של התיאוריה של בינה מלאכותית. בין לבין, טיורינג עשה עוד דברים: היה לו תפקיד מכריע בהשפעה על תוצאותיה של מלחמת העולם השנייה, והיתה לו תוכנית מרחיקת ראות, שהוא הגה ופיתח לבדו, לבניית מחשב אלקטרוני ולשימוש בו. במחשבתו ובחייו הקדים את זמנו בדור שלם. היו לטיורינג גם תרומות בלוגיקה, אנליזה, אלגברה, ביולוגיה, כימיה ובפילוסופיה. בשנת 1954, בחדר שכור במנצ'סטר, שם קץ לחייו; ליד מיטתו נמצא תפוח נגוס, משוח בציאניד, השראת-מוות שאותה קיבל מסיפור "שלגייה ושבעת הגמדים". גופתו של האיש היתה גמלונית ומעוותת, תוצאה של סדרת זריקות הורמונים שאותן אולץ לקחת בצו בית משפט בריטי, כעונש על כך שהודה באקט הומוסקסואלי. כך, בגיל 41, סיים את חייו אלן טיורינג. אמו לא קיבלה את הטענות בדבר ההתאבדות, וטענה שמותו היה תוצאה של רשלנות בטיפול בכימיקלים במעבדה (אף שטיורינג לא היה כימאי). הביוגרף אנדרו הודג'ס העלה השערה שטיורינג סידר שנסיבות המוות לא תהיינה ברורות כדי לתת לאמו את האפשרות להכחיש שהתאבד. סיפור חייו הקצרים של טיורינג שתואר בשנים האחרונות בספרים אחדים (בבליוגרפיה שבסוף העבודה יש רק מקורות מעטים מני רבים) ובהצגה מצליחה בשם "Breaking the Code".  טיורינג היה צעיר ביישן ומגמגם, חסר כישורים חברתיים וכמהּ לקשר ולמגע אנושי עם חברה שלא ידעה איך לקבל אותו; ואילו היום, לאחר מותו, טיורינג הוא דמות נערצת ואהובה. אלן טיורינג נחשב לאבי המחשב והבינה המלאכותית. היה בו שילוב נדיר של מתמטיקאי תיאורטיקן ואיש מעשה, שהיה מעורב אישית בבנייה של מכונות החישוב שתכנן.

תרומתו של אלן טיורינג למתמטיקה:

תחום מחקרו הראשון של טיורינג כסטודנט לתואר ראשון היה הבעייה המעשית של הטלת מטבע. התוצאה היתה ניתוח תיאורטי של התוצאות המיוצרות על ידי ניסוי אקראי. טיורינג התאכזב כאשר גילה שעבודת המחקר שלו שכפלה את מה שהושג עשר שנים קודם לכן על ידי המתמטיקאי הפיני לינדברג (Lindeberg) ונקרא 'משפט הגבול המרכזי'. אף על פי שההוכחה של טיורינג למשפט הגבול המרכזי לא היתה מקורית, היתה בה עדות מספקת לפונציאל הטמון בו והוא נבחר לסגל של קינגס קולג' בגיל 22 (צעיר מאוד).

מכונת טיורינג

טיורינג נודע כמעדיף לעבוד מחוץ לקנון המתמטי. במקום לקרוא את המאמרים המתמטיים של עמיתיו, הוא העדיף להגיע למסקנות משל עצמו. חרף הבידוד שכפה על עצמו, טיורינג לא יכול היה שלא להיות מודע למשבר שסחף אז את עולם המתמטיקה. בקיימברידג' דיברו על עבודתו של מתמטיקאי אוסטרי צעיר. ב-1920, כאשר הילברט איתגר את עמיתיו להוכיח את תקינותה של תורת הלוגיקה המתמטית. הילברט האמין כי ניתן להוכיח שהלוגיקה המתמטית, שעליה מושתת כל המדע המודרני, היא תורה עקבית, שלמה וכריעה (אנו אומרים על תורה כי היא "עקבית" אם אי אפשר להוכיח באמצעותה דבר והיפוכו; "שלמה" אם ניתן להוכיח באמצעותה כל דבר או היפוכו; ו"כריעה" אם קיים תהליך מובנה ושיטתי, "אלגוריתם", שמכריע עבור כל טענה נתונה אם היא נכונה או לא).

כדי להבין את הדקויות הללו יש להבדיל בין ההיגד "אני טענה נכונה" להיגד "יש לי הוכחה"; לדוגמה, אם טענה כמו "כל מספר זוגי הוא סכום של שני מספרים ראשוניים" היא נכונה, הרי הנכונות שלה היא חוק טבע אוניברסלי שאינו תלוי בתורת ההוכחה הלוגית, שהיא המצאה אנושית ותו לא. במלים אחרות, נכונות של טענה היא תופעת טבע חוץ-מתמטית; ולעומתה, הוכחה של טענה היא שרשרת של צעדים לוגיים - מניפולציות על סימנים - שמתחילה מאקסיומות ומטענות שהוכחו כבר ומנסה להפיק, בסוף השרשרת, את הטענה האמורה. לכן, ייתכן בהחלט שטענה מסוימת תהיה נכונה באופן טבעי אבל שאיננו מסוגלים להוכיח אותה באמצעות ארגז הכלים המוגבל שלנו.

הילברט היה בטוח שניתן להשתמש בהגיון המתמטי כדי להוכיח שהמתמטיקה אינה מכילה סתירות. על פי השקפתו, השנייה מבין עשרים ושלוש הבעיות שלו היתה רק עניין של הכנסת סדר בבית המתמטי. השאלה נעשתה מעט דחופה יותר כאשר כמה אנשים וביניהם ברטרנד ראסל יצרו את מה שנראה כמו פרדוקסים מתמטיים. על אף שעבודתו של ראסל – Principia Mathematica – מצאה דרך לפתור את הפרדוקסים הללו, היא עוררה את תשומת ליבם של רבים ביחס לחשיבותה של השאלה של הילברט.

ואמנם, התוכנית של הילברט החלה להיסדק בשנת 1931, כאשר קורט גדל האוסטרי (Kurt Gödel, 1906-1978) הוכיח כי המתמטיקאים לא יוכלו להוכיח לעולם שיש להם היסודות הבטוחים אשר אליהם הילברט השתוקק כל כך. אי אפשר להשתמש באקסיומות של המתמטיקה כדי להוכיח שהאקסיומות הללו לעולם לא יוליכו לסתירות. למעשה, גדל הראה  שאם תורת ההוכחה הלוגית היא עקבית, הרי היא בהכרח לא שלמה, דהיינו שיש אמיתות מתמטיות שלעולם לא נוכל להוכיח אותן. גדל חולל מהפכה בתחום שנקרא לוגיקה מתמטית. הוא הוכיח משפט שהפך לאחד המפורסמים בתולדות המתמטיקה: כל מערכת אקסיומות סבירה לתורת המספרים מחמיצה איזושהי טענה אמיתית. 'מחמיצה' במובן זה שאף כי הטענה נכונה, אי-אפשר להוכיח אותה ממערכת האקסיומות. למילה 'סבירה' יש כאן הגדרה מדויקת: מערכת אקסיומות נקראת 'סבירה' אם אפשר לזהות בצורה מכנית את האקסיומות שנכללות בה. במונחים מדויקים יותר, אם יש אלגוריתם (או תוכנית מחשב) שיודע להחליט בדבר שייכות אליה. כלומר, קיימת תוכנית מחשב שמקבלת כקלט טענות, ולכל טענה שהיא מקבלת היא יודעת להחליט אם היא שייכת למערכת האקסיומות או לא. כדי להוכיח את משפטו היה גדל צריך להגדיר בצורה מתמטית מהו 'אלגוריתם', והדבר הוביל להבנה של הצדדים המכניים של החשיבה האנושית בכלל, ושל החשיבה המתמטית בפרט. מסתבר שיש אינסוף אמיתות שלעולם לא נוכל להוכיח את נכונותן, וזאת בגלל מוגבלות אינהרנטית של השפה הלוגית מתמטית שבה אנו משתמשים.

החדשות על המהפכה של גדל התפשטו במהירות וכשהמתמטיקאי הטופולוגיסט ניומן (Newman) שמע בתחילת שנות השלושים שתוכניתו של הילברט חוסלה על ידי גדל, עלה בו הרצון לחקור כמה מהמורכבויות שברעיונותיו של גדל. חמש שנים לאחר מכן הוא חש מספיק בטוח בעצמו כדי להכריז על סדרת הרצאות על משפט אי השלמות של גדל. ניומן סיים בשאלה שתפעל כמעין זרז על הדמיון של הילברט ושל טיורינג גם יחד: האם ניתן להבחין בדרך כלשהי בין משפטים שיש להם הוכחה ובין אלה שאין להם הוכחה? הילברט העניק לשאלה את השם 'בעיית ההכרעה'. בעודו מאזין להרצאתו של ניומן על עבודתו של גדל השתכנע טיורינג כי אי אפשר לבנות מכונה מופלאה שתחליט את ההחלטות הללו. אבל לא נראה שיהיה זה קל להוכיח כי לעולם לא תוכל להתקיים מכונה שכזאת. אחרי הכול, כיצד ניתן לדעת מה תהיינה מגבלותיו של כושר ההמצאה האנושי בעתיד? ייתכן שאפשר יהיה להוכיח שמכונה אחת מסוימת לא תפיק תשובות, אלא שהמשמעות של הרחבת העניין הזה לכל המכונות האפשריות היתה להכחיש את אי היכולת שלנו לחזות את העתיד. ובכל זאת, זה מה שטיורינג עשה.

טיורינג שמע את ההרצאות האלה ומכיוון שהיה בנוסף להיותו מתמטיקאי בעל שיעור קומה גם בעל נטיות טכניות, הוא רצה לתת לתובנה של גדל לבוש קונקרטי. טיורינג שעבד לשם כך לבדו במשך כשנה, עד אפריל 1936, השיג את מטרתו. הוא המציא מודל תיאורטי פשוט להפתיע למכונה 'חושבת', מודל שנקרא כיום 'מכונת טיורינג'. זהו סרט מחולק למשבצות שנמתח לשני כיוונים עד אינסוף. על הסרט כתובה סדרת סמלים (כלומר, מילה) של 0 ו-1 (המילה אינסופית, כי הסרט אינסופי. אבל מותר להניח שמספר ה-1ים בה סופי, והשאר אפסים, ובמובן זה המילה סופית, משום שמספיק לקרוא את ספרות ה-1 כדי להכירה). המכונה יכולה להיות בכל רגע נתון באחד מאוסף סופי נתון מראש של מצבים. יש לה 'ראש' שקורא בכל רגע נתון אות אחת, ויש לה 'תוכנית מחשב' שאינה אלא אוסף הוראות כיצד לפעול: מה לעשות באות הנקראת, ולאיזה מצב חדש לעבור (ההוראה ניתנת על פי האות ועל פי המצב שבו המכונה נמצאת באותו הרגע). נחוץ אומץ רב וחזון כדי להניח שיכולת ניהול מכנית כזאת של מילים היא דגם לחשיבה האנושית. זה בדיוק מה שטיורינג הציע. הוא האמין שאין הבדל עקרוני בין חשיבתה של המכונה שלו לחשיבתם של בני אדם. הוא גם הראה שכל חישוב שהיה מוכר בזמנו אפשר לבצע על ידי המכונה שלו.

הפרסום של טיורינג בנושא התפרסם בסוף 1936 במאמר שכותרתו  "על מספרים הניתנים לחישוב, עם השתמעות יישומית לגבי ה-Entscheidungsproblem". טיורינג ניסח את שאלתו של הילברט בצורה חדשה, לא במונחים של הוכחות, אלא של מספרים חישוביים. הניסוח מחדש הציב תביעה ברורה יותר להכיר בעובדה שהוא גילה רעיון מתמטי מרכזי. כפי שהשתמע מן הכותרת ה- Entscheidungsproblem היתה רק יישום של הרעיון החדש, רעיון החישוביות. בעיית העצירה היא בעיה מרכזית בתחום החישוביות, שהוא אחד מעמודי התווך של מדעי המחשב התאורטיים. בעיית העצירה מנוסחת כבעית ההכרעה הבאה: בהינתן תוכנית מחשב וקלט, האם התוכנית תסיים את פעולתה בשלב כלשהו עבור קלט זה. בעית העצירה אינה ניתנת לחישוב, כלומר אין אלגוריתם שמכריע עבור כל תוכנית מחשב Q וקלט X האם התוכנית Q עוצרת כאשר מופעלת על X (בקיצור: האם Q עוצרת על X). חשוב להבחין שמבחינה לוגית, בהינתן תוכנית מסוימת וקלט עבורה, התשובה האם היא עוצרת או לא מוגדרת היטב והינה חד משמעית. עם זאת לא קיים אלגוריתם כללי שיודע להבחין האם תוכנית נתונה עוצרת או לא על קלט נתון, ומצליח לעשות זאת לכל תוכנית שתינתן לו ולכל קלט אפשרי עבור תוכנית זו. בעיית העצירה מוכרת כעובדה מוצקה. לא צריך לבצע מהלך קשה במיוחד כדי לעבור מן הגילוי הזה, של בעיה שאיננה ניתנת להכרעה על ידי מכונה, להפעלה של התחשיב הפורמלי של הלוגיקה המתמטית, וכך לענות בשלילה על שאלת ההכרעה, אם אמיתות של משפט היא בת הכרעה, ה- Entscheidungsproblemשל הילברט.

טיורינג הדגיש את הנקודה שאין אי עקביות בעצם ההגדרה של מספרים שאינם ניתנים לחישוב; המספרים הללו הם נושא שתורת החישוביות המודרנית מטפלת בו באמצעות פעולות מדויקות וטיעונים לוגיים. יתכן שאפשר גם לחשב (באמצעות פעולות מחשב) ולמצוא כל ספרה של מספר שאינו ניתן לחישוב באמצעות עיבוד סמלים ((uncomputable; אבל יש צורך באינסוף שיטות שונות כדי למצוא את כל הספרות הללו יחד עם זאת, לתכונת החישוביות יש תשתית מתמטית מוצקה: זו היתה טענתו של טיורינג בזמנו והיא לא עורערה עד היום.

הישג כמו זה של טיורינג הוא בגדר נצחון לכל אדם, על אחת כמה וכמה לאדם הפועל במבודד, בוגר תואר ראשון צעיר; אך טיורינג איבד מייד את יתרונו. לפני שהוא מסר את מאמרו, הכריז אלונזו צ'רץ' (Church), לוגיקן מאוניברסיטת פרינסטון על מסקנה דומה בעניין ה- Entscheidungsproblemשל הילברט. טיורינג חיכה עד אוגוסט 1936 כדי לכתוב נספח המקשר את התוצאה שהוא עצמו קיבל לתוצאה שקיבל צ'רץ'. ניומן היה צריך לשכנע כי הטיעון של טיורינג שונה מזה שהעלה צ'רץ'. ב-1938, הציג טורינג את עמדתו:

פונקציה אמורה להיות "ניתנת באופן אפקטיבי לחישוב" אם ניתן למצוא את ערכיה באמצעות איזשהו תהליך מכני לגמרי. למרות שלא מסובך לתפוס את הרעיון הזה באופן אינטואיטיבי, רצוי לתת לו הגדרה חדה יותר, ניתנת לניסוח במונחים מתמטיים. הגדרה כזאת הוצעה לראשונה ב-1934 באוניברסיטת פרינסטון על ידי גדל... גדל הגדיר פונקציות כאלה כפונקציות "רקורסיביות כלליות"... הגדרה אחרת של "היות ניתן באופן אפקטיבי לחישוב" הוצעה על ידי צ'רץ'... שזיהה את ה"היות ניתן לחישוב" עם היות מוגדר כניתן לפתירה באמצעות תחשיב למדא (λ-definable). המחבר [טיורינג בעצמו] הציע לאחרונה הגדרה שמתאימה יותר לרעיון האינטואיטיבי... נאמר לעיל ש"פונקציה ניתנת באופן אפקטיבי לחישוב אם ניתן למצוא את ערכיה באמצעות איזשהו תהליך מכני". אפשר לפרש את הטענה הזאת באופן מילולי, ולומר שתהליך מכני לגמרי הוא תהליך שמכונה מסוגלת לבצע אותו... פיתוח הרעיונות האלה מוביל להגדרת הפונקציה הניתנת לחישוב שמציע המחבר, וכן לזיהוי של חישוביות [במובן הטכני והמדוייק של טיורינג] עם היות ניתן באופן אפקטיבי לחישוב. זה לא מסובך – אם כי קצת מייגע – להוכיח כי שלוש ההגדרות האלה שקולות זו לזו.

טיורינג מתייחס לתזה של צ'ר'ץ. יש לתזה הזאת מספר פירושים. למעשה, מקובלת כיום אמונה שנקראת 'התזה של צ'רץ'' (על שמו של אלונזו צ'רץ', Alonzo Church), שאומרת כי כל חישוב שאי פעם ייעשה ניתן לביצוע בעזרת מכונות טיורינג. כמה וכמה מודלים נוספים הוצעו עד כה לחשיבה מתמטית, וכולם התבררו כשקולים למכונת טיורינג בכוחם: הם יכולים לבצע בדיוק מה שמכונת טיורינג יכולה לעשות. מכונת טיורינג חזקה יותר אפילו מן המחשב המודרני משום שהזכרון (הסרט שעליו מתבצע החישוב) שלה הוא אינסופי. הרעיון של טיורינג היה פריצת דרך תיאורטית מכיוון בנייתם של מחשבים אמיתיים.  יש מי שמכנה את התזה של צ'רץ' "התזה של צ'רץ' טיורינג", אבל התזה של טיורינג שונה מפני שהיא מכניסה לתמונה את העולם הפיסי וטוענת טענות על מה שניתן לביצוע בעולם הזה. כאמור, טיורינג גילה, לאחר זמן ארוך שבו עמל לבדוק ביסודיות את עבודתו ביחד עם מקס ניומן, שנוצח ברגע האחרון על ידי אלונזו צ'רץ' שהגיע לאותן המסקנות כמעט באותו הזמן כמו טיורינג. צ'רץ' פרסם ראשון. יחד עם זאת רעיון המכונה האוניברסלית של טיורינג היה מוחשי יותר משיטתו של צ'רץ' ובעל השפעה רבה יותר בהשלכותיו.

עבודות באנליזה, טופולוגיה, אלגברה ובלוגיקה של הפעילות המנטלית

טיורינג שהה שנתיים בארה"ב בפרינסטון ובקיץ שביניהן ב-1937 שהה שוב בקיימברידג'. תקוותו להצליח בניסוח חדש של יסודות האנליזה היתה מופרזת, והוא לא הוסיף דבר על הערותיו ב-"על מספרים הניתנים לחישוב" בענייני גבולות והתכנסות. אולם מלבד מחקרו רחב היריעה בתחומי האנליזה, הטופולוגיה והאלגברה והיגיעה על הוכחת השקילות שבין הגדרתו הוא את המושג של היות ניתן לחישוב להגדרותיהם של צ'רץ' ושל גדל הוא גם שקד על המאמר "מערכות לוגיקה המושתתות על מספרים סודרים", שהרחיב את שדה המחקר של הלוגיקה של הפעילות המנטלית. לוגיקה סודרת הופכת את הרעיון של "וכך הלאה עד אינסוף" לנוסחה מדויקת. טיורינג כתב: "המטרה בהנהגת לוגיקות סודרות היא להמנע ככל האפשר מתוצאותיו של משפט גדל". את הבלתי ניתן לחישוב לא ניתן להפוך לניתן לחישוב, אבל לוגיקות סודרות יכניסו אותו ככל האפשר למסגרת של סדר. מפעלו זה של טיורינג יצר תחום חדש של לוגיקה מתמטית. ב-1938 היו לטיורינג מפגשים עם הפילוסוף ויטגנשטיין וגם היתה לו התקדמות בעבודה על חקר פונקציית זטה של רימן.

מבחן טיורניג

ב-1950 פרסם טיורינג מאמר, "מכונות חישוביות ובינה", בעיתון הפילוסופי Mind ובו ניסה לשכנע את עמיתיו בכוחה של המכונה החדשה. התזה שלו היתה שלפחות בעיקרון המכונה יכולה לעשות כל דבר שהמוח האנושי מסוגל לעשות. המבחן לכך, כך טען, הוא מבחן התוצאה החיצונית – קוראים לכך היום 'מבחן טיורינג'. דמו לעצמכם, כך אמר, שבחדר אחד סגורה מכונה, ובחדר אחר יצור אנוש. אתם נמצאים מחוץ לשני החדרים הללו, ואינכם יודעים היכן המכונה והיכן האדם. מטרתכם לברר זאת, בלי לפתוח את החדרים. כל שמותר הוא לשאול לשאלות. האם תוכלו לגלות באיזה משני החדרים נמצא האדם? טיורינג טען שאם המחשב יתוכנת בצורה מחוכמת, אין שום דרך לגלות זאת. מסקנתו היתה שחשיבתה של מכונה אינה שונה עקרונית מזאת של האדם. טיורינג הניח במאמרו ובדיונים מאוחרים עליו את היסודות לתחום הבינה המלאכותית שפותח מאוחר יותר בארה"ב ע"י ניוול (Newell), סיימון (Simon), מינסקי (Minsky), ומקרת'י (McCarthy). טיורינג מעולם לא כתב את הספר על התיאוריה והפרקטיקה של החישוב שיכול היה לפרסם את שמו בעולם כאבי הרעיון.

מקורות חייו ברוח התקופה וציון מתמטיקאים ואישים:

טיורינג נולד בלונדון, אנגליה. הוריו חיו בהודו בגלל שרותו של אביו בשרות הציבורי בהודו עד לפרישתו ב-1926. טיורינג ואחיו חיו אצל חברים וקרובים בלונדון. הקסם שהיה למכונות על טיורינג התעורר מלכתחילה על ידי ספר שקיבל בשנת 1922, כשהיה בן עשר. "פלאי הטבע שעל כל ילד לדעת" מאת רדווין טני ברוסטר (Brewster) שהיה גדוש באוצרות שהציתו את דמיונו. הספר שפורסם ב-1912, הסביר כי קיימים הסברים לתופעות הטבע, והוא לא הסתפק בהזנת הקוראים הצעירים בתצפיות פאסיביות. בספר מוזכר תיאור שאפשר לסכמו בכך ש-"הגוף הוא מכונה. מכונה מורכבת לאין שיעור – הרבה יותר מורכבת מכל מכונה שנבנתה אי פעם ביד; אבל עדיין, אחרי הכול, מכונה."

התזה של טיורינג על המכונה האוניברסלית (מכונת טיורינג) באה בתגובה לשרשרת הארועים בעקבות הבעיות של הילברט וכמה "מהלומות" שחטפה המתמטיקה בשלושת הסעיפים: שלמות, עקביות וכריעות התבררה טעותו של הילברט. כבר הרחבתי על כך בפרק הקודם ולכן לא אחזור ואכתוב מחדש על הילברט, גדל, טיורינג וצ'רץ' בכל הקשור לרקע, לעבודה על התזה של טיורינג ועל ההשלכות.

אלא שטיורינג לא הסתפק בכך, ופסע גם צעד בכיוון המעשי. בזמן מלחמת העולם השנייה היה מן האחראים על פיצוח הצופן שבו השתמשו הגרמנים לתקשורת עם הצוללות שלהם, 'אניגמה'. במסגרת עבודתו הוא בנה מכונה שאפשר לראות בה מחשב פרימיטיבי. אחרי המלחמה עבר למנצ'סטר ושם בנה את אחד המחשבים הראשונים בעולם.

גישתו בנוגע לרמת התבונה האפשרית של מכונה שתוכל ללמד את עצמה, ליזום ולהסיק מסקנות ועצם האפשרות שהמחשב יעלה על האדם וישתלט על העולם, עוררו התנגדות רבה. פריצת הדרך לבניית מכונת חישוב ממשית הוגשמה כאשר טיורינג, יחד עם צוות של מדענים והוגים, בנו מתקנים שנועדו לפצח את צופן האניגמה של הנאצים ובכך קידמו את ניצחון בעלות-הברית במלחמת העולם השנייה. אל העיסוק הגיע שכהוא מנוסה בנסיונות לבניית מכונות לחישוב 'תוואי הנוף' של פונקציית זטה כדי להפריך את השערת רימן (ללא הצלחה). הסתבר שהמכשירים החדישים של טיורינג היו מוצלחים באופן מדהים לצורך פענוח צפני האניגמה.

בבלצ'לי פארק הגיע טיורינג להבנה (כמו באבאג' כמאה שנים קודם לכן) שעדיף לבנות מכונה אחת שתהיה מסוגלת לבצע משימות שונות, מאשר לבנות מכונה חדשה לחלוטין עבור כל בעייה חדשה. טיורינג הבין שמפצחי הצפנים זקוקים למכונה שניתן להתאים אותה להתמודדות עם כל שינוי שהגרמנים עלולים לעשות במכונות שלהם.

על פועלו ועל תרומותיו החשובות של אלן טיורינג למאמץ המלחמתי בעת מלחמת העולם השנייה אפשר לקרוא בספרו של סיימון סינג, סודות ההצפנה וכן בספרו של דייוויד לוויט, האיש שידע יותר מדי. פשוט היריעה קצרה מאוד בעבודה זו ומשום שהדגש הוא על תרומה למתמטיקה ולא יישומים הנדסיים ומלחמתיים למתמטיקה – לא ארחיב על כך.

לאחר המלחמה, הפך טיורינג לנושא הדגל של הבינה המלאכותית וניסח את מבחן טיורינג המפורסם, הקורא תיגר על תפיסות המודעות האנושית שלנו. ואולם, המדען שהתברך באחד המוחות החריפים ביותר, נחשב גם לאדם תימהוני, בעל נפש נסערת. גישתו בנוגע לרמת התבונה האפשרית של מכונה שתוכל ללמד את עצמה, ליזום ולהסיק מסקנות ועצם האפשרות שהמחשב יעלה על האדם וישתלט על העולם, עוררו התנגדות רבה.

טיורינג החל לחקור את האפשרות של בניית מכונת חישוב אוניברסלית ביחד עם ניומן במנצ'סטר. אחד היישומים שהוא בנה למכונה היה חישוב אפסים של פונקציית זטה של רימן – הוא חישב את 1,104 האפסים הראשונים. אז קרסה המכונה וגם חייו האישיים החלו לקרוס.

גם עובדת היותו הומוסקסואל, שאליה התייחס בגילוי לב מפתיע לתקופתו, הקימה לו מתנגדים ואויבים. הוא נעצר בעוון הפרת חוקים אנטי-הומוסקסואליים ונידון ל"טיפול" שהיה בעיקרו סירוס כימי. טיורינג מעולם לא הסתיר את עובדת היותו הומוסקסואל. אבל בבריטניה של ראשית שנות החמישים שררה אווירה פרנואידית והומופובית, במיוחד לאחר ששני הומוסקסואלים הואשמו בריגול וערקו לברית המועצות. בשנת 1952 הורשע טיורינג בהומוסקסואליות, התנהגות שהייתה עבירה פלילית באנגליה של אותה עת. בגזר הדין ניתנה לו האפשרות לבחור בין עונש מאסר לבין טיפול הורמונלי, וטיורינג בחר באפשרות השנייה. הטיפול כלל זריקות הורמונים נשיים, על מנת לדכא יצרו המיני. ככל הנראה בשל תופעות הלוואי של ההורמונים (צמיחת שדיים), שם קץ לחייו כעבור שנתיים, ב-7 ביוני 1954. טיורינג התאבד, ככל הנראה בנגיסת תפוח טבול בציאניד.

יש כמה אישים (כפי שהוצג בפרק הקודם על תרומתו של טיורינג למתמטיקה) מתמטיים בולטים ואציין במיוחד שניים מהם ואת תרומתם למתמטיקה (לא אחזור על פרק זה בחייו ותרומתו של טיורינג ועל האינטראקציה שלו עם אישים אלה, שכן את זאת כבר עשיתי בפרק הקודם):

תרומות מתמטיות חשובות של דויד הילברט (23 בינואר 1862 - 14 בפברואר 1943 גטינגן, גרמניה):

הילברט נחשב למתמטיקאי המשפיע ביותר במאות ה-19 וה-20. תרומותיו למתמטיקה בפרט ולמדע בכלל רבות ומגוונות. בין תרומותיו הישירות היו

·         פתרון של הבעיה המרכזית בתורת האינווריאנטים (משפט הבסיס של הילברט, משפט האפסים של הילברט)

·         עבודות בתורת המספרים האלגברית (לדוגמה: פתרון בעיית וארינג ו-תורת שדות המחלקה)

·         אקסיומטיזציה של הגיאומטריה האוקלידית (מערכת האקסיומות של הילברט)

·         הבסיס לאנליזה פונקציונלית (וניסוח ראשוני של מרחבי הילברט)

·         סיוע לאלברט אינשטיין בניסוח תורת היחסות הכללית

·         אנליזה (משפט הילברט בגיאומטריה דיפרנציאלית, משפט הפירוק הספקטרלי, מרחב הילברט)

למרות זאת, הילברט ידוע בעיקר בשל תרומותיו העקיפות וההנהגה החזקה שסיפק לעולם המתמטיקה: בקונגרס הבינלאומי השני של המתמטיקאים שנערך בפריז בשנת 1900 הציג הילברט רשימה של 23 בעיות מתמטיות חשובות שלא נפתרו עד זמנו. אחדות מהן נפתרו מאז, אחדות הוכחו כבלתי פתירות ואחדות עדיין פתוחות בימינו. הילברט עסק גם בפופולריזציה של המתמטיקה, ודוגמה מובהקת לפעילותו בתחום זה הוא סיפור המלון של הילברט, הממחיש את התכונות המיוחדות של מושג האינסוף.

תרומות מתמטיות חשובות של קורט גדל (בגרמנית: Kurt Gödel‏; 28 באפריל 1906 - 14 בינואר 1978):

היה לוגיקן אוסטרי שהיגר לארצות הברית, הנחשב לאחד מגדולי הלוגיקנים של כל הזמנים. על שמו מוענק פרס גדל לציון הישגים יוצאי דופן בתחום התאוריה של מדעי המחשב. חברו הקרוב של אלברט אישטיין בשנותיו האחרונות. כמו המשפטים שלו, גדל בעצמו היה אדם פרדוקסלי: תמהוני, ועם זאת נחשב לגדול הלוגיקאים מאז אריסטו. למרות האי רציונליות שלו עצמו, הוא נתן את מלוא אמונו בהגיון. הוא סבל מאשליות פרנואידיות, שהוליכו בסופו של דבר למותו הטראגי.

בשנת 1931 הוכיח גדל, במאמרו "על טענות שאינן ניתנות להוכחה בפרינציפיה מתמטיקה ובמערכות דומות", שלתחושה זו אין כל בסיס, וברבות מהמערכות האקסיומטיות, ובפרט אלו שמנסות למדל את האריתמטיקה, קיימות טענות שלא ניתן להוכיח או להפריך. הוכחה זו זכתה לשם משפט האי שלמות של גדל, משפט שהוא אבן הפינה של הלוגיקה המתמטית המודרנית וזיכה את גדל בכינוי "מקלקל האריתמטיקה".

ב-1935, הוזמן למכון למחקר מתקדם בפרינסטון, ושם הגה את הרעיון של קבוצות ניתנות לבנייה. בקיץ 1937 הגיע גדל להישגו פורץ הדרך השני, כשמצא דרך להיעזר ברעיונות שלו על בניית קבוצות כדי להוכיח שהשערת הרצף עקבית ביחס לאקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות. בשנת 1940 הגיע להישגו החשוב השלישי, כשהוכיח שאקסיומת הבחירה משתלבת בצורה עקבית ביתר האקסיומות של תורת הקבוצות. הוא קיבל משרה קבועה במכון בשנת 1946.

באותן שנים ניסה גדל להוכיח שהשערת הרצף אינה מתחייבת משאר האקסיומות של תורת הקבוצות, ובכך להשלים את פתרונה של הבעיה הראשונה של הילברט, אבל בסביבות 1943 נטש את הניסיון, ועבר לעבוד על המשוואות של תורת היחסות. תוצאותיו בכיוון זה, מסוף שנות הארבעים, הוערכו מאוד על ידי איינשטיין.

שנת 1949 ניסח גדל פתרון אפשרי למשוואות הבסיסיות של תורת היחסות הכללית, שמתאר יקום שאינו מתפשט ואינו מתכווץ, אלא מסתובב. לפי הפתרון של גדל, ביקום כזה ייתכנו "קווי עולם" בצורת לולאות זמן סגורות (CTL). בפשטות, "קו עולם" הוא קו רציף במרחב-זמן (שבו הזמן הוא הממד הרביעי), המתאר "מיקום" חלקיק כלשהו בארבעת הממדים האלו (כלומר - הן במרחב והן בכל רגע ורגע). על פי תורת היחסות הכללית, מסה גורמת לעיקום של המרחב-זמן מסביבה, ולכן גם לעיקום של "קווי העולם" הקרובים אליה. לפי ההנחה של גדל, עיקום חזק דיו יכול תאורטית לגרום ל"קו עולם" מסוים להפוך ללולאה סגורה. במילים אחרות, שקול הדבר לחזרה אל העבר, כלומר למסע בזמן.

אמנם, כדי ליצור קו עולם שכזה, היקום צריך לבצע סיבוב (סביב עצמו) אחת ל-70 מיליארד שנה, והמסע של "מכונת הזמן" יימשך לפחות 100 מיליארד שנה (לפי שעון המכונה), גם במהירות הקרובה למהירות האור. יש המצטטים בשמו של איינשטיין את "חוק הזהב" שלפיו לא ניתן לנוע אחורנית בזמן. יחד עם זאת, גדל הוכיח באמצעות כלים מתמטיים כי באופן תאורטי, הדבר אפשרי. כיום ממשיכים מדענים לחקור כיוונים שונים הקשורים למסע בזמן, ולפתירת הפרדוקסים הפיזיקליים והפילוסופיים הנובעים מכך.

כמו כן, מובעת במאמצים מתמטיים אלו הגדרה אלגנטית כלשהי למדע הפיזיקה - מדע המאפשר לעוסקים בו ליצור עולמות דמיוניים בעלי מערכות פיזיקליות עובדות, ולאחר מכן לבדוק את מידת תאימותן למציאות.

מקס הרמן אלכסנדר ניומן (7 בפברואר 1897 – 22 בפברואר 1984):

מתמטיקאי בריטי ומפצח צפנים. ידוע על עבודותיו בטופולוגיה ובפרט על עבודתו מ-1939 "יסודות הטופולוגיה של קבוצות נקודות במישור". יש לו תרומות ביסודות של טופולוגיה קומבינטורית, פרסם מאמרים בלוגיקה מתמטית ופתר את הבעיה החמישית של הילברט. הלמה של ניומן היא על שמו ובגלל עבודתו. בגיל מבוגר פרסם פתרון להשערת פואנקרה המורחבת. כאמור, סדרת הרצאותיו היתה בין המניעים את אלן טיורינג בעבודתו על התיזה שלו. חשוב שלא לבלבל בין מקס ניומן ל-פון ניומן – שגם לו תרומות במתמטיקה וביסודות של מדעי המחשב. על פון ניומן כבר לא ארחיב בעבודה זו.

בבליוגרפיה:

[01] 23 הבעיות של הילברט – מתוך ויקיפדיה (בעברית ו-באנגלית)

[02] אהרוני, רון, החתול שאיננו שם – חידה ושמה פילוסופיה, מאגנס, 2009

[03] אהרוני, רון, מתמטיקה, שירה ויופי, הוצאת הקיבוץ המאוחד, 2008

[04] אלן טיורינג – אישיות הסטורית – מתוך אתר ה-BBC

[05] בעיית העצירה – מתוך ויקיפדיה (בעברית ו-באנגלית)

[06] גולדסטיין, רבקה, ההוכחה והפרדוקס – משפטי האי-שלמות של קורט גדל, הוצאת אריה ניר, 2006.

[07] דו סוטוי, מרכוס, המוזיקה של המספרים הראשוניים, ספרי עליית הגג ומשכל, 2006

[08] דויד הילברט – מתוך ויקיפדה (בעברית ו-באנגלית)

[09] הודג'ס, אנדרו, הפילוסופים הגדולים – טיורינג -- פילוסוף לפי טבעו, משכל וספרי עליית הגג, 2001

[10] לוויט, דיוויד, האיש שידע יותר מדי - אלן טיורינג והמצאת המחשב, אריה ניר, 2007

[11] מקס ניומן – מתוך ויקיפדיה (באנגלית)

[12] סינג, סיימון, סודות ההצפנה, משכל וספרי עליית הגג, 2003

[13] פונקציית זטה של רימן – מתוך ויקיפדיה (בעברית ו-באנגלית)

[14] קורט גדל – מתוך ויקיפדיה (בעברית ו-באנגלית)

[15] שוקן, שמעון, על אנושיותו של המחשב ואיוולתו של האדם, הארץ, 18/7/2007