בשביל מה אנחנו לומדים על מספרים מרוכבים ומה עושים עם זה?

בשביל מה אנחנו לומדים על מספרים מרוכבים ומה עושים עם זה?

שלמה יונה

במאמר זה נסביר את הצורך במספרים מרוכבים, נלמד על מקורו של התחום, נראה כיצד מייצגים מספרים מרוכבים ונפגוש תחומים שבהם מספרים מרוכבים ומתמטיקה שמבוססת על מספרים מרוכבים נחוצים והכרחיים ולמעשה הופכים את הנושא לחשוב ולחיוני.  ננסה לעמוד על טיבו של התחום ולנסות ולגבש דיעה האם אכן חיוני ללמוד את הנושא כבר בתיכון או שאולי זה בבחינת דחיסת חומר מיותרת ואולי מוטב היה להשקיע את הזמן ואת המאמץ בחיזוק היסודות של הנושאים האחרים שנלמדים לרבות גיאומטריה ו-גיאומטריה אנליטית.

כל מספר שאנחנו מכירים הוא גם מספר מרוכב. ככל שאנו מתקדמים בלימודים במתמטיקה אנו מגלים שישנן פעולות שהגדרנו שמביאות אותנו בפני בעיות. המתמטיקאים מצאו דרכים להרחיב את מושג המספר כדי ליישב בעיות אלה. הצורך במספרים מרוכבים נולד באותו האופן שנולד הצורך במערכות מספרים אחרות שעליהן אנו לומדים עם השנים: כבר מגיל צעיר אנחנו מכירים את המספרים הטבעיים ואת האפס ומשמעויותיהם כשאנו לומדים למנות ולסדר. בבית הספר היסודי אנו מרחיבים את השימוש שלנו במספרים טבעיים כשאנו לומדים את מבנה המספר. בבית הספר היסודי אנו פוגשים בצורך לחלק מספר טבעי במספר טבעי שגדול ממנו ומגלים שיש לנו צורך בייצוג התוצאה וכך אנו לומדים להכיר את המספרים הרציונליים (למעשה, בבית הספר היסודי מכירים את המספרים הרציונליים האי-שליליים בלבד) כשאנו לומדים שברים. בחטיבת הביניים אנו פוגשים במספרים השליליים כשאנו פוגשים בצורך לחסר ממספר טבעי מספר טבעי שגדול ממנו. למשל, אנו צריכים לפתור את התרגיל ?=3-5 שמתאים למשל לבעיה החשבונית: יש לי שלושה ש"ח ואני צריך לתת 5 ש"ח, מה יהיה מצבי לאחר התשלום?  המפגש במספרים שליליים מרחיב את היכרותנו עם המספרים השלמים ועם המספרים הרציונליים. כשאנו לומדים בחטיבת הביניים להכיר פעולות מתמטיות שחורגות מארבע פעולות החשבון כמו הוצאת שורש ריבועי אנו מגלים את המספרים הממשיים. הדוגמה האהובה היא הוצאת שורש ריבועי ל-2, מה שגרם למבוכה רבה בקרב הפיתגוראים. המפגש הבא שלנו עם בעיה כזאת מתרחש בלימודי המתמטיקה ברמת 5 יחידות לימוד בעקבות הצורך להוציא שורש ריבועי ממספר שלילי. איך אחרת נוכל למצוא פתרון למשוואה כמו x²+1=0? נדמה שנפרדנו מהמציאות כשהגענו לנושא המספרים המרוכבים אך למעשה כל שלב בהרחבה העמיד אותנו בפני בעיה, למשל, בעולם הממשי לא נמצא אף פעם מינוס שלמים, כך שנדמה שאי אפשר לייחס מספרים אלה לקבוצות של עצמים ממשיים כפי שניתן לעשות עם מספרים טבעיים.

יחסי ההכלה בין קבוצות המספרים

במאה השש עשרה ניסה המתמטיקאי ג'ירולמו קרדאנו לפתור בעיה שתיארה חסרת מובן לאלה שאינם מתמטיקאים. הבעיה היתה לפצל את המספר 10 לשני חלקים שמכפלתם תהיה 40. הפתרון שמצא היה שני המספרים: (15-)√+5- ו-(15-)√-5. אך מהו השורש הריבועי של מספר שלילי? לקרדאנו נשמע הרעיון צורם במקצת והוא יצר עבורם את המונח המספרים המדומים, שמשתמשים בו עד היום. 


המתמטיקאים סברו עד לתקופת הרנסנס שכל המספרים ביקום כבר ידועים להם. אפשר לסדר אותם לאורך קו מספרים (מה שמכנים בתוכנית הלימודים בישראל ציר המספרים ולפעמים מכנים אותו הישר הממשי) -- קו ישר אינסופי שבמרכזו מצוי האפס. רפאלו בומבלי, מתמטיקאי, נתקל בבעיה כשניסה למצוא שורש ריבועי ל-1. התשובה: 1, כי 1x1=1 וגם 1- כי מינוס 1 כפול עצמו זה 1. יוצא מכך שהשורש הריבועי של 1 זה גם 1 וגם 1-. בשלב הבא התעוררה הבעיה מהו השורש הריבועי של 1-. השלמות המתמטית נפגמה. נדמה שאין מספרים בנמצא שיכולים להוות פתרון לשאלה הזאת. בומבלי יצר מספר חדש i שכונה מספר מדומה ושימש הפתרון לשאלה מהו השורש הריבועי של 1-. משעה שקיים המספר הזה אז גם אין מניעה שיתקיימו כפולות שלו במספרים אחרים ושלא יהיה ניתן לחבר ולחסר אותו וכפולות שלו. כך מתקבל בעצם מספר מדומה במקביל לכל מספר ממשי. אבל אין מקום למספרים המדומים על הישר הממשי. הפתרון של המתמטיקאים היה לעבור מישר ממשי למישור מרוכב. יצרו קו ישר חדש שישמש לאכלוס המספרים המדומים. ישר זה יוצב בניצב לישר הממשי. כך מתקבלת מערכת צירים בעלת ציר ממשי וציר מדומה. את המספרים המרוכבים אפשר עתה לתאר כקורדינטות על המישור הזה.


השורש הריבועי של 1- מכונה מספר מדומה אך זה אינו מדומה יותר מכל מספר אחר ואינו מופשט יותר מכל מספר אחר. הקושי שלנו נובע מכך שקשה לחשוב על דוגמאות מוחשיות מהחיים שבהם יש צורך במספר שכזה. התרגלנו לחשוב על דוגמאות מהחיים למספרים טבעיים, לשברים, ולמספרים שליליים. מה עם המרוכבים?


הפיזיקאים גילו שמספרים מדומים מספקים את השפה הטובה ביותר לתיאור כמה מהתופעות בעולם הממשי. מספרים מדומים מתבררים כדרך האידאלית לניתוח תופעות תנודה של אובייקטים כמו למשל תנועת מטוטלת. למעשה, הצורך במספרים המרוכבים מגיע כשמנסים לתאר את פעולת המטוטלת ברמה הקוונטית: במתנד הרמוני קוונטי כאשר לתיאור המקובל (באמצעות פיזיקה ניוטונית) של מתנד הרמוני נדרשת הרחבה כדי להשאר נכונה ומדוייקת גם בגדלים קטנים מאוד. מהנדסי אלקטרוניקה משתמשים במספר i לניתוח תנודות זרמי חשמל ופיזיקאים תיאורטיים תיאורטיים מחשבים את השפעת התנודות של פונקציות גל קוונטיות על ידי סיכום חזקות של מספרים מדומים. מתמטיקאים שעוסקים במתמטיקה טהורה מנצלים גם הם את המספרים המדומים כדי למצוא תשובות לבעיות שהיו לפני כן בלתי חדירות.


נפרט כמה מהשימושים של מספרים מרוכבים: לשימושים הרבים של מספרים מרוכבים במתמטיקה (למשל, שימוש בפונקציית זטא לחקר מספרים ראשוניים, שימוש בהתמרות לפלס לטובת פתרון משוואות דיפרנציאליות ועוד.) יש גם ביטוי ותועלת בתחומי מחקר אחרים. קבוצת מנדלברוט, למשל, היא דוגמה לפרקטלים שמהווים כלי לתיאור תופעות טבע, כגון מבנהו של קו החוף,  מבנה של צמחים, המבנה של כלי הדם, התקבצות הגלקסיות, תנועה בראונית והמחירים בשוק ניירות הערך. מספרים מרוכבים משמשים לייצוג מצבם של מעגלים חשמליים ובמשוואות שרדינגר ולתוצאות המתקבלות יש ערך מעשי רב בתכנון רכיבי חשמל, אלקטרוניקה וננו-טכנולוגיה. עוד נראה שצומחת לנו תועלת נוספת מלימוד הנושא בבית הספר שכן רבים מאוד העקרונות והכלים שנלמד ושבהם נשתמש בלימוד המספרים המרוכבים שמשותפים גם לגאומטריה אנליטית ול-ווקטורים. אין זה מקרה שעקרונות ומושגים שימושיים גם בנושאים ובתחומים אחרים מעבר ללימוד הנושא בעצמו.


מהו מספר מרוכב?


מספר מרוכב הוא מספר שמורכב משני חלקים: חלק ממשי וחלק מדומה. החלק הממשי הוא מספר ממשי כלשהו. החלק המדומה  גם הוא  ממשי, אך הוא נכפל ביחידה מדומה. היחידה המדומה, שמסומנת ב-i, מוגדרת כך שריבועה הוא 1-.


כיצד מייצגים מספר מרוכב?


מספר מרוכב הוא מספר z מהצורה z=a+b⋅i כאשר a ו-b הם מספרים ממשיים, ו-i הוא השורש הריבועי של מינוס אחת: i²=-1. ייצוג של מספר מרוכב באופן זה נקרא הצגה קרטזית על שמו של רנה דקארט. זהו הייצוג המקובל של נקודות במישור. המישור שעליו נמצאות הנקודות שמייצגות את המספרים המרוכבים מכוּנה המישור של גאוס או המישור המרוּכב. בהצגה זו המספרים המרוכבים מתוארים במערכת צירים , כאשר לכל מספר מרוכב z=a+b·i מותאמת נקודה יחידה (a,b) ולהפך, לכל נקודה יחידה (a,b) מתאים מספר מרוכב z=a+b·i. הציר האופקי מכוּנה הציר הממשי והציר האנכי מכוּנה הציר המדוּמה.

הצגת המספר 3+2i במישור המרוכב [מתוך הערך "המישור המרוכב", ויקיפדיה בעברית]

הצגה מקובלת נוספת של מספר מרוכב היא הצגה קוטבית (הצגה פולארית). בהצגה זאת, במקום לתת לכל מספר מרוכב ערך לחלק הממשי וערך לחלק המדומה שלו, ניתנים לו שני ערכים אחרים: המרחק מראשית הצירים (הרדיוס) והזווית בין הכיוון החיובי של הציר הממשי לקטע המחבר את הנקודה עם ראשית הצירים (נקודת האפס). כך לדוגמה המספר המרוכב z שמרחקו מראשית הצירים הוא r והזווית היא θ יוצג בהצגה פולארית על ידי הנקודה (r,θ).


שלא כמו במספרים הממשיים, מעל המספרים המרוכבים יש שורש לכל פולינום, לא רק למשוואה x²=-1 שעל מנת למצוא לה פתרון הוגדר i מלכתחילה, אלא גם למשוואות כמו x⁶+x²+1=0 או אפילו x⁵+(2-i)⋅x+7⋅i=0. תכונה זו של שדה המספרים המרוכבים מנוסחת במשפט היסודי של האלגברה, והיא שהופכת את המספרים המרוכבים למרכזיים כל כך במתמטיקה המודרנית.


הבנייה הזאת נראית מוזרה ושרירותית? גדי אלכסנדרוביץ' כתב ביומן הרשת שלו, לא מדויק, רשימה מעניינת שבה הוא מראה כיצד הבנייה הזאת טבעית ושימושית. שווה לקרוא: ובתפקיד היפה והחנון – פולינומים ומרוכבים.


איך נוצר הצורך במספרים מרוכבים?

התשובה הקצרה: מתמטיקאים נתקלו בבעיה: "איך להוציא שורש ריבועי למספר שלילי ומהי המשמעות של הפעולה הזאת?".

התשובה הארוכה, ארוכה יותר: נוצר צורך טבעי בהתפתחות מושג המספר כפי שקרה כמה פעמים במתמטיקה וגם באופן שאנחנו פוגשים את המספרים: ההתחלה כנראה במקרים שבהם אפשר להסתפק במנייה של "אחת", "שתיים", "הרבה". משם ההתקדמות היא למנייה מ-"אחת" ועד "עשר". מנייה זו היא טבעית כי לאדם עשר אצבעות. בהמשך נוצר הצורך בתיאור יחסים כמו חצי, שלושה רבעים וכדומה. המתמטיקה היוונית הכירה בשני מושגים נבדלים: מספר, שהוא בהכרח מספר טבעי, וגודל - אורך של קטע - שמנקודת מבט מודרנית יכול לייצג כל מספר ממשי חיובי. ההתאמה בין שני המושגים התבססה על ההנחה הסמויה, שכל אורך קטע אפשר להכפיל במספר שלם כדי לקבל מספר שלם; כלומר, שכל אורך הוא למעשה מספר רציונלי, שאותו למדנו לייצג כמספר מעורב או כשבר פשוט או כשבר מדומה. המשבר שעברה המתמטיקה הפיתגוראית כאשר התברר שישנם מספרים לא רציונליים (כדוגמת שורש 2) חלף בלי להותיר חותם על תפיסת מושג המספר, וכך נותרה ההבחנה היוונית בעינה עד סוף המאה ה-15.

בתחילת המאה ה-16, בהשפעת המתמטיקאים ההודים, הפך האפס בהדרגה למספר לגיטימי. המספרים השליליים רכשו את מעמדם העצמאי במהלך המאות ה-16 וה-17; ב-1591 סיכם פרנסואה ויאטה בספר את התגליות של ג'ירולמו קרדאנו, ניקולו טרטליה ואחרים על פתרונן של משוואות ממעלה שלישית ורביעית, וחולל מהפכה חשובה בסימון המתמטי, כשהכניס לשימוש אותיות במקום פרמטרים (ולא רק במקום נעלמים, כפי שהיה נהוג עד אז). עם זאת, האותיות עדיין מייצגות מספרים חיוביים בלבד. גם דקארט, שהנהיג את ההפרדה (המתודית) בין אותיות כ-a,b,c לציון פרמטרים ואותיות כ-x,y,z לציון משתנים, מניח כמובן מאליו שכל משתנה חייב לייצג מספר חיובי. מעניין לקרוא את שכתב קרדאנו בספרו, האמנות הגדולה, שפורסם ב-1545: שכשניסה לפתור את המשוואה x³=15x+4, הגיע לביטוי שכלל את המספר (121-)√:

 ופרסם פתרון שכולל התייחסות ראשונה לרעיון כי ייתכן מספר שהוא שורש ריבועי של מספר שלילי, אך קרדאנו לא הבין את גודל תגליתו וראה במספרים אלו "מספרים חסרי תועלת".

החידוש שבפתרון משוואות ממעלה גבוהה אילץ את המתמטיקאים בני התקופה להכיר בקיומם של מספרים מרוכבים, ויחד איתם גם במספרים ממשיים שליליים. אצל ניוטון, ובמיוחד לייבניץ, שהיה אשף הסימון הקולע, כבר מתקיימים המספרים השליליים לצד החיוביים, ללא כל אבחנה. עד סוף המאה ה-17 נכנסת גישתו של ויאטה לשימוש כולל, כאשר אותיות יכולות לייצג כל מספר, וה"מספר" מקבל את משמעותו הרחבה ביותר,מספר מרוכב. רפאל בומבלי פרסם בשנת 1572 סדרת כללים לעבודה עם מספרים מרוכבים. בשנת 1637 קבע דקארט כי לכל פולינום ניתן "לדמיין", כלשונו, שורשים שמספרם כמעלת הפולינום, אך אינם מהווים גדלים כמותיים בעלי משמעות. אלברט ג'ירארד, בהסתמך על עבודות קודמיו, היה הראשון לנסח את עקרונות המשפט היסודי של האלגברה הקובע כי לכל פולינום נתון קיימים מספר שורשים כמעלתו. הוכחה מלאה ומפורטת של המשפט היסודי של האלגברה ניתנה לבסוף על ידי גאוס.

אבל מה עם דוגמה פשוטה מהחיים שתתן מוטיבציה ללמוד את זה?

אפשר לומר שבעיה די בסיסית באלגברה לינארית היא מציאת הערכים העצמיים למטריצה הריבועית

שהם השורשים של המשוואה λ²+1=0. אבל בהחלט ברור לי שזאת אינה ממש מוטיבציה לתלמידים בתיכון, שלא ראו מטריצה מימיהם ואינם יודעים למה מטריצות עשויות לשמש ושאת צעדיהם הראשונים באלגברה לינארית הם יעשו על ידי לימוד של ווקטורים ורובם אפילו לא יבינו שזה באותו תחום של אלגברה לינארית כאשר יגיעו ללימודי מתמטיקה באקדמיה... 

הבא נבחין בין שני דברים שונים כאשר אנו מנסים למצוא דוגמאות מהחיים לשימוש במספרים מרוכבים:

1. כמויות במציאות אשר מתוארות באופן טבעי וברור יותר באמצעות מספרים מרוכבים לעומת תאורן באמצעות מספרים ממשיים

2. כמויות במציאות אשר מתוארות באופן טבעי באמצעות מספרים ממשיים ויחד עם זאת מובנים באופן מיטבי באמצעות מתמטיקה של מספרים מרוכבים

הבעיה היא שרוב התלמידים מחפשים דוגמאות מהסוג הראשון, אשר הן נדירות ביותר ולעומת זאת דוגמאות מהסוג השני ישנן למכביר.

הנה כמה דוגמאות מהסוג הראשון, כבוגר הפקולטה להנדסת חשמל בטכניון קל לי לחשוב על דוגמאות כאלה. אולי הן גם יהיו אינטואיטיביות יותר לתלמידי מגמות פיסיקה שלומדים חשמל ומגנטיות בתיכון:

מצבו של מעגל חשמלי מתואר באמצעות שני מספרים ממשיים, המתח החשמלי V והזרם החשמלי I. למעגל חשמלי גם יש קיבול C והשארות L אשר משמשים (אם נפשט את העניין) לתיאור נטייתו של המעגל להתנגד למתח ולזרם, בהתאמה. באמצעות מספרים מרוכבים נוכל לתאר כל צמד גדלים על ידי מספר מרוכב יחיד: Z=V+i⋅I לתיאור מצב המעגל ו- ω=C+i⋅L לתיאור העכבה של המעגל. כמובן שאת חוקי קירקהוף ואת משוואות מקסוול ושאר הפעולות המתמטיות שנרצה להפעיל, נוכל לבצע באמצעות האריתמטיקה של מספרים מרוכבים.

דוגמה נוספת באה מתחום האלקטרומגנטיות: נתאר שדה אלקטרומגנטי באמצעות מספר מרוכב אחד תחת תיאור באמצעות שתי כמויות ממשיות. הגודל שמתאר את עוצמת השדה החשמלי משמש כחלק הממשי של המספר המרוכב ואילו הגודל שמתאר את עוצמת השדה המגנטי משמש כחלק המדומה שלו.

הבעייתיות בשתי הדוגמאות שלי היא גם שלא הכול בקיאים בחשמל ובמגנטיות ואולי בעיקר משום שאין זה ברור מדוע אין זה טבעי יותר לתאר באופן דומה את הגדלים הללו בתור וקטורים דו ממדיים.

לכן, אולי חשוב יותר להתייחס לסוג השני של דוגמאות של יישומים של מספרים מרוכבים. ננסה לעשות זאת באמצעות אנלוגיה לייצוג יחסים (פרופורציות). נניח שאנו מודדים שתי אוכלוסיות: אוכלוסייה א' של 300 סטודנטים של מכללה שמתוכם 60 מתחת לגיל 18 ואוכלוסייה ב' של 1350 סטודנאים של אוניברסיטה שמתוכם 135 מתחת לגיל 18. נוכל לציין את החלק היחסי של התלמידים בני 18 ומטה באמצעות היחס 60/300 במכללה ו-135/1350 באוניברסיטה. יכולים היינו לתאר את הגדלים הללו גם על ידי 0.2 (20%) במכללה ו-0.1 (10%) באוניברסיטה. בכל אופן, ניכר שהאוכלוסייה במכללה "צעירה" יותר מזאת שבאוניברסיטה באופן יחסי. חשוב להבחין שייצגנו את המידע באמצעות מספרים שאינם שלמים אף על פי שלא ניתן למדוד אוכלוסיות באמצעות מספרים שאינם שלמים. המספרים הטבעיים הם בהחלט טבעיים למניית הפרטים באוכלוסייה. השברים (המספרים הרציונליים) שהשתמשנו בהם זרים ואינם טבעיים לבעיה באופן דומה לזרות לכאורה של מספרים מרוכבים לבעיות מהחיים. יחד עם זאת זה לא מנע בעדנו מלהרחיב את מושג המספר עוד בבית הספר היסודי כדי לנצל את התועלת שבשימוש במספרים אלה.

תלמידים שלומדים חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (חדו"א) יכולים בהחלט להשתתף בדיון שבו יש ניסיון לפתור משוואה מהסוג
a⋅y''+b⋅y'+c⋅y=0 עבור פונקציה לא ידועה y כלשהי. נוכל לספר להם שניתן למצוא את הפתרון אם נוכל לפתור את המשוואה הריבועית הבאה a⋅r²+b⋅r+c=0 עבור המשתנה r. צריך להודות שייתכן שלא יהיו לנו שורשים ממשיים, אך במספרים המרוכבים יש שורשים וניתן למצוא את כולם ולאחר שנמצא אותם נוכל לברור מתוכם את השורשים הממשיים שמתאימים לבעיה "מהחיים" שלנו. במקרה הזה השימוש הוא בהתמרת לפלס לפתרון המשוואה הדיפרנציאלית הרגילה.

מסקנות:
אפשר למצוא תירוצים כיצד מספרים מרוכבים עוזרים לנו לפתור בעיות ביום-יום באופן שיניח את דעתם של תלמידי מתמטיקה ב-5 יחידות לימוד. יחד עם זה הדוגמאות מאולצות ונדמה שהמוטיבציה העיקרית היא שהיישומים בנושאים מתקדמים, לרבות במתמטיקה מתקדמת יותר, דורשים את הידע הזה. באופן אישי, אינני בטוח שהחומר הזה הכרחי בתיכון.

מוטב היה אולי להשקיע יותר בלימודי גיאומטריה, טריגונומטריה, ווקטורים ובגיאומטריה אנליטית תוך ביסוס איתן על אינטואיציות שמתקשרות למציאות בשניים ובשלושה מימדים -- ואז להשאיר את הנושא של מספרים מרוכבים לקורסים באוניברסיטה שם ממילא חולפים על הנושא ביעף, ובצדק, שכן מי ששולט בפולינומים, בווקטורים ובגיאומטריה אנליטית, חזקה עליו שיראה מאופן הבנייה של המספרים המרוכבים את הדמיון ואת אותם העקרונות.

כדי להציג דעה שכנגד: הנושא מאפשר התעסקות בתחום חדש בעקרונות מוכרים ומשלב גם נושאים מטריגונומטריה (לטובת המרות בין הייצוגים פולארי וקרטזי). -- אכשהו, עדיין לא השתכנעתי שהנושא הכרחי. אני ממשיך לחפש אינטואיציה ומוטיבציה טובות יותר כדי להצדיק את הלימוד של מספרים ראשוניים בתוכנית הלימודים במתמטיקה בתיכון.


מקורות:

1. אלגברה בסיסית, ויקיפדיה בעברית
2. ג'ירולמו קרדאנו, ויקיפדיה בעברית
3. התפתחות מושג המספר, ויקיפדיה בעברית
4. המישור של גאוס, ויקיפדיה בעברית
5. מספר מרוכב, ויקיפדיה בעברית
6. מערכת צירים קרטזית, ויקיפדיה בעברית
7. שדה המספרים המרוכבים, ויקיפדיה בעברית
8. מלכת המדעים, שער למדע, כרך חמישי, עמודים 771-772, הוצאת מסדה, 1971
9. מבוא לתולדות המתמטיקה, חלק ב': הרנסנס והזמן החדש, שבתאי אונגרו, אוניברסיטה משודרת, משרד הבטחון, 1989
10. המשפט האחרון של פרמה, סיימון סינג, ידיעות אחרונות, ספרי חמד, ספרי עליית הגג, 2003
11. Complex Numbers in Real Life

Computational Linguistics is available online freely

Computational Linguistics, the longest running publication devoted exclusively to the design and analysis of natural language processing systems, is considered as a good refereed journal to publish results. Starting with Volume 35, Issue 1, Computational Linguistics became an open access journal, freely available to all online readers.  There is no longer a print edition. Back issues in print from Volumes 34 and earlier are still available. Click the Order/Subscribe for more details. So reports Robert Dale, CL's editor in chief.  http://www.mitpressjournals.org/loi/coli (Thanks to my friend Miki Tebeka for letting me know).

הוראת משמעויות פעולות החשבון במספרים טבעיים לתלמידי בית ספר יסודי

במסגרת שיעורי העשרה לתלמידים מצטיינים בכתות ו' בבית ספר עמל בכפר יונה התחלתי ללמד בשיעורים האחרונים את המשמעויות השונות של 4 פעולות החשבון הבסיסיות.


בשיעור אחד למדנו על משמעויות החיבור ואפילו הספקנו לדבר על שתיים מתוך שש משמעויות של החיסור: חיסור של גריעה וחיסור של הפרדה. הנה חומרים שיסייעו ללמד וללמוד את משמעויות החיבור ואת משמעויות חיסור של גריעה וחיסור של הפרדה.
בשיעור שאחריו נלמדות שתי משמעויות נוספות של חיסור: חיסור של השוואה וחיסור של השלמה לשלם. מתחילים לעמוד על ההבדלים בין ארבע המשמעויות שכבר נלמדו. והנה חומרים להוראה וללימוד של חיסור של השוואה וחיסור של השלמה לשלם.
בשיעור נוסף נלמד על שתי משמעויות נוספות של חיסור: חיסור של ספירה לאחור וחיסור של ירידה/עלייה ונסכם את כל שש המשמעויות של החיסור. הנה חומרי השיעור המסכם הזה. 
שיעור נוסף יוקדש לעיסוק במשמעויות פעולת הכפל. הנה חומרי השיעור על משמעות הכפל.
ונזדקק לשיעורים נוספים כדי לדון במשמעויות של פעולת החילוק: חילוק לחלקים, חילוק להכלה, חילוק למציאת יחס וכמובן על יחסי הגומלין שבין פעולת החילוק לבין השברים הפשוטים והמשמעויות השונות של השבר הפשוט. הנה קישור לחומרי הלימוד לשיעור על משמעויות של חילוק והנה קישור לחומרי הלימוד לשיעור על משמעויות היחס.


הנושאים הללו מוזנחים בדרך כלל בלימודי החשבון בבתי הספר היסודיים -- את חוסר ההבנה ותוצאותיו רואים בחטיבת הביניים ובתיכון בקלות אצל תלמידים שמתקשים במניפולציות אלגבריות ובפתרון בעיות מילוליות. המצער הוא שהתרופה בדרך כלל בלימודי העל יסודי היא להוריד רמה וגם לתת תבנית פתרון או כלל. כפועל יוצא מקבלים חרדת מתמטיקה, יכולת אפיזודית בפתרון וחוסר יכולת להבין מה עושים ומדוע וקיבעון (חוסר יכולת להשתחרר משימוש בנוסחה או משיטה שהצליחה פעם -- גם אם אלה אינן מתאימות בכל מקרה או שאינן יעילות).


את הנושאים החשובים הללו לומדים תלמידים שעובדים בבית הספר ובבית עם ספרי מתמטיקה יסודית. כל השאר -- בדרך כלל אינם. אני אנסה להכין מידי שבוע עוד ועוד חומר מסודר שמורים והורים יוכלו להשתמש בו כדי להסביר לילדים וגם להבין בעצמם.

ציור חדש שקיבלתי מניר

ציורים חדשים שקיבלתי מאביב

40% ו-60% הנחה בהוצאת מאגנס לקראת חודש הספר העברי

בהוצאת מאגנס יש מבצעים לקראת ארועי שבוע הספר. שם מדובר על חודש שלם.
הנה הקישור למבצעים.













60% ו 40% הנחה לכבוד חודש הספר העברי

בתוקף בין התאריכים: 30/06/2011 - 22/05/2011

מבצעי חודש הספר העברי
רוב ספרי ההוצאה כעת ב  40% הנחה
מלבד: ספרים חדשים, ספרים אלקטרונים, אסופות דיגטליות, סדרות, כתבי עת, כתר ארם צובא,

חוברות שיווק, ספרי קורס וספרים בעותקים אחרונים.

אין כפל מבצעים.

ספרים חדשים ב20% הנחה.


מבחר ספרים ב 60% הנחה
תמונות הספרים המשתתפים במבצע 60% מופיעות מטה.

משמעויות של פעולות החשבון -- משמעויות החיבור ושתי משמעויות של חיסור

על חשיבות ההתייחסות למשמעויות השונות של פעולות החשבון כבר כתבתי בעבר. החלטתי לנסות הפעם להציג את הנושא בסדנת המתמטיקה שאני מלמד בבית הספר היסודי עמל בכפר יונה.

בשיעור הראינו שיש לחיבור שתי משמעויות שונות ולמדנו על הדומה ועל השונה ביניהן. בהמשך גם ראינו שיש לחיסור שתי משמעויות שונות (אלה שתי משמעויות ראשונות שהצגתי לתלמידים מתוך שש משמעויות שיש לחיסור).
הנה הקישור לשיעור: שיעור מספר 7.

שתיים מתוך שש משמעויות של חיסור שבהן עסקנו בשיעור הן:
חיסור של גריעה וחיסור של הפרדה.
יש סרטון ביתי חובבני שבו אני מצולם כשאני מסביר בקיצור נמרץ את העניין לקבוצת ילדים בגילאים שונים.



בשיעור בסדנה הקדמתי לנושא הסברים על סיפור חשבוני ועל בעיה חשבונית ועל שלם וחלקיו ולאחר דיון והבנה של משמעויות שונות בחיבור. הנה סיכום קצר של החלק שבו עסקתי בשיעור בחיסור של גריעה ובחיסור של הפרדה:

מורה: נתבונן בתמונה. מהו סיפור החשבוני שאפשר לספר עליה?

תלמיד: מצוירים חמישה בלונים. שניים התפוצצו.

מורה: תודה. ומהי בעיה חשבונית מתאימה שאפשר להציע לפי התמונה והסיפור?

תלמיד: היו לי חמישה בלונים. שניים התפוצצו. כמה בלונים נשארו לי?

מורה: מהו השלם בסיפור שלנו?

תלמידים: ??

מורה: נכנה בשם שלם את הגודל או את הכמות בסיפור שלנו שהחלטנו שיהיו השלם.  קבוצת פריטים שנלקחו מהשלם שהחלטנו עליו נכנה בשם חלק (או -- חלק מהשלם). עכשיו, מי יכול להציע מה יהיה השלם בבעיה החשבונית שלנו?

תלמיד: השלם: 5 בלונים

מורה: תודה. ומהם חלקי השלם בבעיה החשבונית שלנו?

תלמיד: שלושה בלונים שנשארו -- חלק אחד. שני בלונים שהתפוצצו -- חלק שני.

מורה: יש חלקים נוספים?

תלמיד: לא במקרה הזה.

מורה: נתבונן בתרשים שמתאר שלם וחלקיו לבעיות מסוג זה

מורה: הנה תמונה נוספת. אבקשכם להציע סיפור חשבוני ובעיה חשבונית וגם תרשים ותרגיל. אח"כ נדון בדומה ובשונה בין שני המקרים שהצגתי לכם.

הסיפור החשבוני: ישנם 5 בלונים. שניים אדומים ושלושה ירוקים.

בעיה חשבונית: היו לי 5 בלונים שחלקם בצבע ירוק וחלקם בצבע אדום. 3 מהבלונים אדומים והשאר ירוקים. כמה ירוקים?

תרשים ותרגיל:

אנו רואים שיש הבדלים בסיפורים ובבעיות, אך התרשים והתרגיל בשני המקרים זהים.

במקרה הראשון גרעתי (לקחתי, הסרתי, השמדתי, פוצצתי...) ממספר הבלונים ומספר הבלונים בסוף הסיפור היה שונה ממספרם בתחילת הסיפור.

במקרה השני הפרדתי בין הבלונים, לפי הצבע, ואין שינוי במספר הבלונים בסך הכול בתחילת הסיפור ובסופו.

חיסור של גריעה

בחיסור הזה נתון שלם. אנחנו מחסרים ממנו כמות כלשהי על ידי העלמה או מסירה או אכילה או גריעה או סילוק או כל פעולת הרחקה שהיא ובודקים מהו החלק שנותר.

דוגמא לבעיה מסוג זה:

היו לי 11 מפתחות בצרור. 2 מפתחות אבדו. כמה מפתחות נותרו?

משמעותה, היה שלם כלשהו שהכיל 11 מפתחות. 2 מפתחות הלכו לאיבוד, כלומר, הם הורחקו מהשלם. בצרור נותרו 9 מפתחות.

התרגיל:

9 מפתחות =  2 מפתחות  -   11 מפתחות

זהו החיסור הבסיסי והטבעי.

חיסור של הפרדה

בחיסור זה נתון השלם ובתוכו קבוצות שאנו מפרידים ביניהן על ידי חיסור על סמך תכונה מבדלת.

יש לי 11 מפתחות בצרור. 2 מהם גדולים והיתר קטנים. כמה מפתחות קטנים יש לי?

התרגיל:

9 מפתחות =  2 מפתחות  -   11 מפתחות

כפי שרואים מהבעיה שבדוגמא, אין בה כל גריעה. יש בה הפרדה של איברי הקבוצה הכוללת לשתי תת-קבוצות לפי קריטריון שהוחלט עליו. בבעיה זו הקריטריון הוא: גודל.

על אותה קבוצת מפתחות אפשר להמציא בעיות נוספות, כמו:

בצרור 11 מפתחות. 7 מהם אדומים והיתר ירוקים. כמה מפתחות ירוקים בצרור?

הקריטריון שנבחר הפעם להפרדה הוא: צבע.

או:

בצרור 11 מפתחות. 5 מהם מפלסטיק והיתר ממתכת. כמה מפתחות מתכת היו בצרור?

התכונה שנבחרה הפעם להבדלה בין הקבוצות היא: סוג החומר.

ואפשר למצוא עוד תכונות מבדילות, למשל, טיב המפתחות.

משימה:

המציאו לתרגיל 5=9-4 בעיה אחת של גריעה ובעיה אחת של הפרדה.

נעזרתי רבות לצורך ההסברים במקורות הבאים ואני ממליץ מאוד להורים ולמורים לקרוא בהם לטובת העמקה ולעיון נוסף:

• חשבון להורים, ספר למבוגרים על מתמטיקה של ילדים, מאת רון אהרוני, הוצאת שוקן
• שליש לחלק לרבע, המחשבה שמאחורי החישוב, מאת מירה עופרן, הוצאת רכס
• חשיבותם של סיפורים חשבוניים, מאת חני גביש
• המשמעויות השונות של החיסור ותרומתן לפיתוח החשיבה מאת תלמה גביש

הילדים חוגגים יום הולדת לדדה, יולי 2007

איך להגן על אתר קטן או שרות בסיסי באינטרנט לעניים?

האתר של NPTech נפרץ והם כתבו על החוויה בבלוג שלהם. בהצעות שלהם להתמודדות היה חסר לי עניין המניעה. נכון שלמלכ"רים אין כח אדם ואין מומחיות להתעסק עם אבטחת מידע אפליקטיבית וגם אין תקציבים לקנות Web Application Firewall ולתחזק אפילו לא כזה בתוכנה לבד -- אבל אפשר בלי מומחיות לתת לשרות מבוסס ענן לטפל בזה. יש שרות כזה, של חברת Incapsula.

הנה מה שכתבתי בתגובה לפוסט ב-NPTech בנושא:

מאת שלמה יונה:‏18 במאי 2011 בשעה 11:42אפשר להשתמש בשרות שהוא בחינם לארגונים קטנים עם נפח תעבורה קטן שנותן אבטחת מידע אפליקטיבית לאתרי האינטרנט ולשרותים שלהם.מדובר בחברת הזנק ישראלית, אינקפסולה, http://www.incapsula.com.מקבלים מהם חודש נסיון בחינם ואז צריך לבחור מודל המשך — לעמותה שאני מנהל את אתר האינטרנט שלה המודל החינמי של נפח התעבורה הסביר (20 גיגהבייט בחודש) זה עדיין מתאים ואז אני מקבל:1. הגנה 2. דוחות על התקפות ועל פוטנציאלים להתקפות 3. דוח שימוש באתר מחולק לפי גולשים אמיתיים ורובוטים כולל מגמות של יותר או של פחות שימוש 4. שירותי האצה (בסיסי — אבל חוסר זמן לגולשים וחוסך חישובים בשרתים)שרות נחמד טוב ומועיל ובחינם. גם המודלים בתשלום שלהם כנראה בסדר, אע"פ שלא ניסיתי אז אינני יודע לחוות עליהם דעה.ההתקנה וההפעלה קלים מאוד.שלמה יונההעמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכול

פיזיותרפיה בעקבות הניתוח

בעקבות הפציעה והניתוח שעברתי ושעליהם כתבתי התחלתי במהלך הסופ"ש בהדרכה של תרגילים פיזיותרפיים לטובת השיקום.

הנה אוסף התרגילים הנוכחי שעליו התחלתי לעבוד החל מיום שישי:

• תנועת מטוטלת ובחישה כאשר היד שמוטה כלפי מטה -- הגב כפוף כדי לתת זוית של עד כ-90 מעלות -- להשען עם היד השנייה על שולחן נמוך ויציב.
• תנועות מטוטלת ובחישה כאשר אני יושב על כסא ונשען ומתכופף או נוטה לצד ימין והיד הימנית נשמטת למטה כלפי הרצפה.
• כיווץ כדור רך בעזרת כף היד -- הידיים בסמוך לגוף כאשר יש זוית של כ-90 מעלות בין הזרוע לאמה.
• כיווץ כדור רך כאשר כף יד שמאל לוחצת את הכדור כלפי כף יד ימין -- הידיים בסמוך לגוף כאשר יש זוית של כ-90 מעלות בין הזרוע לאמה.
• להשען עם המרפק על שולחן ולנסות לייצר זוית של עד כ-90 מעלות בין החזה לבין הזרוע ולמשוך את האמה בכיפוף מרפק כלפי הזרוע ולהרחיק.
• לשבת מול שולחן כשיש כדור על גבי השולחן וכף יד ימין מונחת על גבי הכדור וכף יד שמאל מונחת על גבי כף יד ימין -- גלגול הכדור באופן זה הרחק מהחזה ובחזרה כלפי החזה -- לפנים ולאחור.
• לשבת מול שולחן כשיש כדור על גבי השולחן וכף יד ימין מונחת על גבי הכדור וכף יד שמאל מונחת על גבי כף יד ימין -- גלגול הכדור באופן זה במעגלים: עם כיוון השעון וכנגד כיוון השעון.
• מתיחות צוואר צד לצד ולהחזיק במתיחה למשך של כ-20 שניות בכל פעם.
• משיכת כתפיים כלפי מעלה וכלפי מטה באיטיות.
• גלגולי כתפיים בעדינות: גלגולים לפנים ולאחור כאשר הידיים במקביל לגוף
• בשכיבה על הגב כשתחת יד ימין יש כרית דקה לבצע כיפוף מרפק ימין (הבאת האמה כלפי הזרוע והרחקה לסירוגין).
• בשכיבה על הגב כשתחת יד ימין יש כרית דקה --  הידיים ישרות מעל לגוף: יד שמאל נושאת את משקלה של יד ימין כאשר כף יד ימין על גבי גב כף יד שמאל: הרמה עד לזוית של כ-90 מעלות בין החזה לבין הזרוע והורדה לסירוגין.
• בשכיבה על הגב כשתחת יד ימין יש כרית דקה -- כיווץ כדור רך בין הידיים כאשר כף יד ימין לוחצת את הכדור הרך כנגד כף יד שמאל.
• בעמידה במאונך לקיר היד ישרה במקביל לגוף ולקיר ולדחוף בעדינות עם כף היד את הקיר כאשר היד כולה צמודה לקיר.
• בעמידה במאונך לקיר היד במקביל לגוף כשיש זוית של 90 מעלות במרפק בין האמה לבין הזרוע: לדחוף בעדינות עם כף היד את הקיר כאשר האמה צמודה לקיר.

על כל התרגילים יש לחזור כ-30 פעמים בסדרה. יש לבצע שתי סדרות ביום.
על תרגילי המטוטלת והבחישה לחזור כמה שיותר במשך היום, לא פחות מ-5 פעמים ביום למשך של כ-5 דקות.

בנוסף, קיבלתי שאלות לשאול את הרופא המנתח, ד"ר יפתח בר. את השאלות העברתי אליו באמצעות פורום שהוא מנהל. את השאלות ואת התשובות שלו אפשר לקרוא בקישור הזה ואני מפרט את השאלות כאן:

שלום לד"ר יפתח בר.
עברתי אצלך ניתוח bony bankart לפני כשבועיים וחצי (הנה פירוט הסיפור: http://shlomoyona.blogspot.com/2011/05/blog-post_3118.html). הפעולות שבוצעו:

Arthroscopy shoulder

CRIF by cannulated screw+lupine RT

Closed reduction with internal fixation

closed reduction with internal fixation glenoid

הנחית אותי לקראת טיפול פיזיותרפי שלא להרים יד מעל גובה הכתף (להמנע מ-ABER) למשך 6 שבועות מהניתוח ולהמנע ממאמצים בתנוחה זו למשך 3 חודשים מהניתוח.
בעקבות התחלת טיפולים פיזיותרפיים קיבלתי יש לי את השאלות הבאות:
1. כמה אפשר לפתוח את היד בתנוחה לפנים (flexion)? האם עד 90 מעלות או עד תחושת כאב?
2. כמה אפשר לפתוח את היד מהצד (abduction)?
3. האם מותר לבצע תנועת הנפת היד לאחור כלפי מעלה (extension)? אם כן, עד כמה?
4. מה בנוגע להפעלה סטטית של שרירי הכתף שמניפים? למשל, עמידה במאונך לקיר כשהיד והזרוע במקביל לקיר ומבוצעות לחיצות של היד כלפי הקיר?
5. אותה שאלה כמו שאלה 4 כאשר במרפק זוית של 90 מעלות בין הזרוע לאמה.
תודה רבה!
שלמה יונה

עסק קטן הצלחה גדולה מאת רם הרשטין

קראתי את ספרו של רם הרשטין, עסק קטן הצלחה גדולה, לאחר שקיבלתי עותק שלו במסגרת "צו קריאה" של הוצאת מטר. 

אפשר לקרוא את הכיתוב שעל הכריכה האחורית של הספר וגם לקרוא את המבוא ואת הפרק הראשון מתוך הספר באתר טקסט. הספר קצר ולעניין. בספרון בן 144 העמודים, ברוטו, תמצאו תוכנית פעולה בראשי פרקים שמשובצת בהצעות למדדים ולמבדקים ולאמות מידה להערכתן בדרך להפוך חלום לעסק קטן למציאות או בדרך להפוך עסק קטן לעסק קטן ומצליח כשמו של הספר. הדוגמאות בספר מתאימות לעסקים קטנים בארץ ויש התייחסות בכל מקום מתאים להבדלים בין עסקים מקומיים (מִסְפרה, למשל) לעומת עסקים שיכולים לספק שרות גם ממרחק (כגון, בניית אתרים באינטרנט) ולעומת עסקים ניידים, כמו למשל של שרברב. אולי שני סוגי היזמים העיקריים שנדמה לי שהספר פונה אליהם הם אלה שרוצים להקים עסק קטן אך נתקלו במחסום וצריכים מדריך מעשי, אך גם אלה שהקימו ותקועים עם בעיות עם לקוחות, או עם הכנסות או עם תחרות ואינם מבינים מה הבעיות וכיצד לפתור אותן או מהן אמות המידה כדי להבין האם יש טעם להמשיך וכיצד או האם לסגור את העסק כמה שיותר מהר ועם מינימום נזק. הספר הזה אינו עוסק בצדדים החשבונאיים והמשפטיים ובכלל אינו עוסק בפרוצדורות בעסק -- זה אינו ספר למי שמחפש ללמוד כיצד לבצע הנהלת חשבונות או כיצד לדאוג לצד משפטי או להתעסקויות בירוקרטיות עם רשויות. בהחלט יכול להועיל ספר משלים לספר הזה שיטפל גם בצדדים הללו של עסק קטן.

דבר שקוסם מאוד בספר הוא שנושאים שנראים מפחידים ונדמה שידרשו ממון והשקעה רבים ומומחים שיגזלו זמן רב וידרשו כסף רב, נושאים אלה מטופלים ומוסברים בפשטות ובשיטת עשה זאת בעצמך וביניהם: סקר שוק, מיצוב, בידול, שיווק, פרסום ועוד. אפילו רק בשביל ההזדמנות להכיר את המושגים ואת הצורך בכל אלה ולקבל הדרכה של הצעדים הראשונים שווה לקרוא את הספר הזה ואפילו למי שאין לו כוונה להקים עסק. למי שיקים עסק זה מידע רב ערך ולמי שלא מתכוון, זה עדיין יכול לשמש ידע כללי שימושי. למשל, לבדוק כל דבר ודבר עם לקוחות בפועל ועם לקוחות פוטנציאלים כדי לקבל את נקודת המבט של הלקוחות -- חשוב מאוד שלא ליפול להטיות מתוך מה שנראה ליזם כמו הדבר הנכון או מה חושבים הקרובים לו ובני משפחתו -- בסופו של דבר מי שישלם יהיה הלקוח ולכן הדעות של הלקוחות עדיפות ונחשבות יותר מאשר אלה של בני משפחה ושל חברים. דוגמה לכך היא בחירת שם העסק: לבדוק עם לקוחות ולא להסתפק בכך שהרעיון עבר יפה אצל בני המשפחה.

הרעיונות בספר לא מפתיעים: צריכים להיות אנשי מקצוע טובים, צריך שיהיה דחף, מחוייבות ויכולת כדי להקים וכדי להחזיק עסק כזה שמצליח; צריכים למצוא נישה שיש בה מספיק לקוחות שמשלמים ולבדוק שאפשר להרוויח יפה; צריך לדאוג לבידול, למיצוב, לשיווק, ליתרונות יחסיים; צריך לדאוג לשרות טוב לפלח הגדול של הלקוחות שמרוויחים מהם ולדעת להתנתק מלקוחות שהם יותר מטריחים ומפריעים: כמו שאומרת הכותבת "לתת ללקוח תמיד את ההרגשה שהוא צודק" ואין זה אומר שהלקוח תמיד צודק! הספר אינו רק מפרט את הדברים שצריך לדאוג להם ואינו רק נותן סדר מעשי אחד אפשרי כדי לבצע אותם צעד אחר צעד, אלא גם מסביר בתמציתיות כיצד לעשות זאת -- את הנותר יש לעשות מתוך הבנת התחום שבו אתם מומחים ורוצים להקים בו עסק וכנראה תוך כדי התייעצות מתמדת עם אנשים מנוסים שכבר למדו דבר או שניים ושכבר נכשלו ויודעים להבנות מכישלונות.

הספר מחולק להקדמה ולעשרים פרקים קצרים כאשר כל פרק מהווה צעד בדרך להפוך לעסק קטן מצליח. הפרקים קצרים ומתומצתים ומסתיימים כל אחד ואחד בטיפים שמסכמים את הרעיונות של אותו הפרק. בתמציתיות ובתכליתיות של הספר טמונים יתרונותיו: הוא משמש לקריאה קלה ומזמין קריאות קצרות עם הפוגות ומאפשר לקורא חסר הסבלנות שאצה לו הדרך או לזה שמחפש את המתכון לקבל את מבוקשו. הקריאה קלה וברורה. יתרונות אלה מטבע הדברים גם מהווים אחד הצדדים של חרב פיפיות: מי שמבקש להעמיק  או להבין גם את ה-"מדוע" ולא רק את ה-"מה" ואת ה-"איך", יצטרך לחפש בעצמו כיצד המחבר הגיע לתובנות שלו ועל מה הוא מסתמך -- אין מראי מקום ואין תימוכין לטענות הרבות שבספר -- גם אין הצגה של אלטרנטיבות ודיון ביתרונות ובחסרונות. יחד עם זאת, אחרי גמיעת הידע והדרך שמתווה המחבר בספר זה צריכה להיות לקורא תמונה ברורה של האסטרטגיה ושל כמה מושגים ומונחים -- עם אלה בנקל אפשר לאתר בעזרת עובדי ספרייה או מוכרים מנוסים בחנות ספרים או בעזרת המלצות באינטרנט למצוא ספרים מעמיקים יותר או אנשים שיכולים לספק גם את ה-"מדוע" וגם את התמונה הכוללת יותר של איך העצות המעשיות שפורש המחבר בספר ממוקמות במציאות לצד תוכניות פעולה שונות לטובת אותה המטרה.

המבוא משמש מעין מבחן עצמי לאישיות של היזם וההנחה היא שנטייה למקצועות מסוימים מגדירה אתכם כבעלי אישיות מסוימת. המציאות מראה שגם אנשים בעלי אותם המקצועות מפגינים סוגים רבים ושונים של אישיות ושל התנהגויות ושל תרבות ומניעים שונים ולטעמי הפישוט שהביא להנחה הזאת מתאים אולי לאנקדוטות אך ספק אם עומד במבחן מדעי מסודר. כל הסיפור הזה מזכיר לי מאוד את נושא "סגנונות הלמידה" בחינוך, שעליו כתבתי בעבר בהרחבה ביומן הרשת שלי, ואת אינסוף המבדקים והבחנים השונים שמציעים בחינם ובתשלום באינטרנט ובאמצעים אחרים לאנשים כאשר כל הסיפור כולו אינו מעוגן בשום תשתית תיאורטית שעובדת באופן יציב במבחנים מדעיים מסודרים. יחד עם זה, נושא האישיות של יזם בעסקים קטנים הוא נושא שנחקר לא מעט ואני משער שפישוט היתר שהביא המחבר היה על מנת שלא להכביד על הקורא וכדי להגיע לעיקר ולשמור על כל הסיפור פשוט וסביר מבלי להיכנס לפרטים יתר על המידה -- כנראה שהאיזון הזה חשוב ובפרט בפתיחה של הספר. 

מסר שעובר כחוט השני לאורך פרקיו של הספר הוא שיש החלטות שנסיגה מהן או שינוי שלהן הוא דבר שיכול להמיט אסון ולהביא לסגירה של העסק. נדמה לי שההפחדה העקבית כנגד שינויים (או ההרתעה מפני זיגזגים עד להבנה נכונה של השוק) מגיעה ממקום טוב של "מוטב לתכנן, להבין ולהתכונן מראש וליזום נכון מאשר להגיע למצב של תגובה ושל היגררות ושל אובדן שליטה". יחד עם זאת, אני לומד שישנם לא מעט יזמים שדווקא היכולת שלהם לנסות כיוון אחד ולהבין בשלב מסוים ש-"זה לא זה" ולהיות אמיצים מספיק כדי לעצור הכול ולשנות כיוון בבת אחד, דווקא זה אחד מסודות הצלחתם. יש פודקאסט מעניין ומחכים, אמנם בנושא סטארטאפים של טכנולוגיה באינטרנט, בסדרת "רוורס עם פלטפורמה" שכדאי להאזין לו, פודקאסט מספר 49 -- סטארטאפ זיגזג. 

אני מציע למי שיקרא את הספר הזה ומתכוון ליישם לקרוא גם את הספר 4 שעות עבודה בשבוע מאת טימותי פריס (הוצאת ידיעות ספרים), שעוסק גם הוא בבניית עסק קטן אך הדגש שלו הוא איך להקים ולתחזק אותו ולהרוויח ממנו תוך כדי הקדשת מינימום זמן ומאמץ כדי להקדיש את יתרת הזמן ואת רוב הזמן של היזם להנאות החיים ולטיולים בעולם או כדי להקים ולתחזק עוד עסקים קטנים נוספים שיתרמו עוד להכנסה נוספת -- הרעיונות מעניינים ומקוממים ומלהיבים ומעוררי פליאה כאחד והם נראים פחות ופחות בלתי-אפשריים בעולם השטוח והגלובלי והמקושר שיש לנו היום הודות לרשת האינטרנט ולתהליכים מתקדמים של שרשראות אספקה ומשלוח.

לסיכום, הספר הקצר הזה מסכם נושאים רבים ומגוונים שצריכים להיות חלק מארגז הכלים של יזם של עסק קטן כדי להגיע להצלחה בצורה תמציתית, תכליתית ומעשית. במחיר של ארוחת צהריים אפשר לקבל גישה לידע הזה שישמש כשלד לתוכנית האמיתית שלכם להקמת עסק או לחלופין לשמש לכם כידע כללי מעורר מחשבה ועניין. שווה קריאה.