מתמטיקה כאופנה, כמגמה וכטרנד בגוגל טרנד'ס

בדקתי את תבנית השימוש במילה מתמטיקה ב-Google Trends. התרשים שקיבלתי הנה מעניין ביותר: התרשים מציג  את האופנה בשימוש במילה "מתמטיקה" בישראל -- נראה שבאמצע של כל שנה יש שיא באזכור המילה "מתמטיקה". אני סקרן מאוד להבין מדוע.

באותה ההזדמנות הסתקרנתי להשוות מה קורה עם המילה בארה"ב, אז בדקתי את המילים mathematics ו-math ב-Google Trends כדי להבין את שינויי האופנה (המגמה, או ה-טרנד, בלעז) בשימוש במילים הללו בארה"ב. הנה התוצאות:

נראה שהדעיכה בשימוש במילה Mathematics משלימה את הנסיקה בשימוש במילה Math.
בולט במיוחד בתרשימים מארה"ב השפל העונתי בשימוש במילים Mathematics/Math, להבדיל משיא עונתי בישראל.

מסקרן ביותר.

יש רעיונות?

חוק המספרים הגדולים וכותרות בהארץ

טוב שיש מתמטיקאי שיבאר ושיפריד את השטויות מהעובדות וגם יתבל בידע מעניין. תודה רבה לגדי אלכסנדרוביץ.
http://www.gadial.net/?p=1516

הפנו אותי אל מאמר מתוך "דה-מרקר" שבתורו נלקח, לא פחות, מה"ניו-יורק טיימס". המאמר מתהדר בכותרת "סיבה לדאגה לאפל? "חוק המספרים הגדולים יוביל לנפילתה"" ובכותרת המשנה "החוק שהוכיח מתמטיקאי שווייצי בן המאה ה-17 עשוי לבשר על כך שגורלה של אפל יהיה זהה לזה של חברות ענק קודמות" – וזה, מה נאמר, כמו דם במים בשביל כריש.

חוק המספרים הגדולים עושה אותך כזה קטן
בבלוג של גדי אלכסנדרוביץ, לא מדויק.

שרבוטים להמחשת מושגי יסוד, רעיונות ועקרונות בסיסיים בפיסיקה ובמתמטיקה

לתאר את היקום במשוואה אחת: המתמטיקה כשפת המדע:
http://www.youtube.com/watch?v=HVO0HgMi6Lc

Theory of Everything (intro)

www.youtube.com

A brief intro to the current theory of (almost) everything - the Standard Model of particle physics. It's like cake, only universal. minutephysics is now on ...

הסדרה כולה בערוץ הזה משעשעת, קליטה, נגישה, מעניינת ומלמדת.

מדובר בעקרונות ובמושגים בסיסיים בפיסיקה.

מומלץ מאוד.

http://www.youtube.com/user/minutephysics/feed

MinutePhysics
Simply put: cool physics and other sweet science. "If you can't explain it simply, you don't understand it well enough." ~Rutherford via Einstein? (wikiquote)

באותו עניין, יש ערוץ יוטיוב של בחורה שבאמצעות שרבוטים מסבירה רעיונות, מושגים ועקרונות מתמטיים. זה מקסים, משעשע, נגיש, מעניין ומחכים. יופי של גישה! 

גם זה, מומלץ מאוד.

http://www.youtube.com/user/Vihart

Vi Hart - Mathemusician

תפסת מרובה, לא תפסת בהוראת הטכנולוגיה והמדעים בבית הספר

קראתי בעיון את עמדתו של אהוד קינן במאמרו שפורסם ב-ynet תחת הכותרת "מי יציל את הוראת המדעים ממשרד החינוך?". אני מצטט כמה משפטים שלדעתי הם משפטי מפתח:

"לימוד המקצועות המדעיים באופן מובנה, כפי שנהוג בבתי הספר בכל העולם, כרוך במאמץ, במימון, במעבדות מצוידות, במורים טובים. מערכת החינוך הישראלית אימצה את מדיניות הישראבלוף, כאלטרנטיבה זולה מאד, אשר מאפשרת להציג "כאילו" הישגים, מבלי להתאמץ."

[...]

"זוהי תכנית לימודים שרלטנית, המבוססת על ערב רב של סיפורי מעשיות, הלקוחים באופן אקראי מתוך עתונות פופולרית של מדע לקהל הרחב, מהסוג שניתן למצוא בחדרי המתנה של מספרות ומרפאות שיניים או במוספי סוף השבוע.

התלמידים, שאינם יודעים מהי חומצה אמינית, מהי מולקולת סוכר ומהו קשר כימי, שומעים את הסיפורים הללו ברמה של צ'יזבטים מסביב למדורה. הדבר היחידי שהם לומדים היטב, הוא העיקרון שאפשר להצליח בלימודים בלי להתאמץ.

לדעתו של פרופסור חיים הררי, "ללמוד טכנולוגיה בלי מדע זה ללמוד את הטכנולוגיה של אתמול. לכן אין שום טעם ושום היגיון ללמד מישהו את הפרטים הטכניים של מה שהולך היום. מי שלומד טכנולוגיה צריך ללמוד את אותם הדברים שיישארו נכונים גם בעוד 10 שנים."

אז מה המסקנה שלי? להפחית את ה"חגגת", להפסיק עם ה"כאילו" (כאילו טכנולוגיה, כאילו רופאים, כאילו בוני רובוטים..., כאילו) ולהתעסק במהות, ביסוד, בעיקר: את הטכנולוגיה ואת החדשנות יביאו ילדינו עם יסודות חזקים בשפה, במתמטיקה ובמדע -- ברמה הבסיסית והיסודית -- אחרי שיודעים את הבסיס ואת העקרונות, אפשר לחדש ולמרוד ולהמציא. במצב הנוכחי, מנקודת מבטי, ה-ערב רב של המקצועות, לכאורה, הם בבחינת "תפסת מרובה לא תפסת".

והנה, במאמר אחר של אהוד קינן שפורסם גם הוא ב-ynet תחת הכותרת "האם משרד החינוך מסכן את המדע בישראל?" הוא מסכם:

"אנו מוותרים מראש על תכניות מופלאות של לימודי הרף-עין ברובוטיקה, מבוא לרפואה, ננוביוטכנולוגיה ואימונודיאגנוסטיקה. כל שאנו מבקשים, שילדינו יזכו ללמוד מעט כימיה, פיזיקה וביולוגיה ואם אפשר, גם מתמטיקה, ואז יוכלו אולי להבין משהו בטכנולוגיה ולהביא תועלת לעצמם ולמדינתם."

יחסים מסוכנים

יחסים מסוכנים
ציירה: סיון יונה

יחסים מסוכנים

על צרות בצרורות כשמנסים למצע יחסים

שלמה יונה

רכזת השכבה בבית הספר אוספת נתונים ממחנכות הכיתות שבשכבה. מכל מורה היא מבקשת לדעת מה אחוז התלמידים מכתתה שנכשלו במבחן הארצי במתמטיקה. הנה הנתונים שמסרו המורות שבשכבה:

בכתה ראשונה: תלמיד אחד נכשל מתוך 40 תלמידים. בכתה השנייה: 2 תלמידים  נכשלו מתוך 32 תלמידים. בכתה השלישית: תלמיד אחד נכשל מתוך 39 תלמידים. בכתה הרביעית: 2 תלמידים נכשלו מתוך 33 תלמידים. בממוצע נראה שכ-6% מהתלמידים בשכבה נכשלו. הרכזת בדקה גם כמה תלמידים בסך הכל נכשלו (6 תלמידים) מתוך 136 התלמידים שבשכבה וקיבלה ש-בקירוב נכשלו 4 אחוזים מהתלמידים. אז איך זה יכול להיות שהתקבלה מסקנה שונה מהמסקנה שהתקבלה בחישוב הקודם? נשוב לבעיה הזאת מאוחר יותר.

ירחמיאל חש ברע ולכן ניגש לרופא, אשר רושם לו טיפול מקובל. ירחמיאל מקבל מרשם לקניית תרופה שאותה יש לצרוך כך וכך פעמים במשך כך וכך ימים. ירחמיאל צרכן נבון ולכן הוא שואל את הרופא על אחוזי ההצלחה של הטיפול המדובר. הרופא מפשפש ברשימותיו  ומספר שיש לטיפול הצלחה ב-40% מהמקרים לפי מחקרים מסוג אחד (ירחמיאל חקרן בלתי נלאה ולכן דרך להבין כמה מקרים טופלו כך וכמה מהם הסתיימו בהצלחה והרופא פירט: 4 הצלחות מתוך 10 ניסיונות)  ואילו מחקרים מהסוג האחר מראים על כ-70% הצלחה (63 הצלחות מתוך 90 ניסיונות). המחשבה על צריכת תרופה ואחוזי ההצלחה מביאים את ירחמיאל לחשוב על בדיקת פתרון חלופי. השכנה המליצה על מרפא-אלטרנטיבי-הוליסטי-נפלא. ירחמיאל קובע פגישה אצל המרפא המופלא שמציע שילוב של קינסיולוגיה והומיאופתיה. ירחמיאל מבקש גם כאן להבין את אחוזי ההצלחה. המופלא מספר שיש לטיפול בקינסיולוגיה 50% הצלחה (45 הצלחות מתוך 90 ניסיונות) ולהומיאופתיה 80% הצלחה (8 הצלחות מתוך 10 ניסיונות).

ירחמיאל סבור שהוא חזק בחשבון. הוא ממצע בראשו את אחוזי ההצלחה בכל סוג של טיפול: הוא מקבל שלפתרון של הרפואה המקובלת יש 55% הצלחה (מחבר 40 ועוד 70 ומחלק ב-2) ואילו לפתרון שמציעה הרפואה האלטרנטיבית יש 65% הצלחה (50 ועוד 80 לחלק ב-2). ירחמיאל בוחר בטיפול שלהבנתו יש לו יותר סיכויים להצליח ופונה לטיפול האלטרנטיבי.

נדמה שירחמיאל פעל ובחן את הנושא בשיטתיות והסיק מסקנה הגיונית שמתבקשת מהנתונים. אך זה רק נדמה ואין זה נכון. אם נשים בצד את העובדה שבדיקות מסודרות לפי עקרונות מדעיים מראות באופן עקבי שקינסיולוגיה והומיאופתיה לא מועילות יותר מאשר אינבו (פלאסבו) ואם נניח בצד את העובדה שאין בתיאוריה שמאחורי קינסיולוגיה והומיאופתיה שום צידוק פיסיקלי אמיתי (ההפך הוא הנכון, בדיקה מראה שהפעולות לא יכולות להיות אלא חסרות משמעות) -- אפילו אם רק נשתמש בנתונים נבין שירחמיאל מסיק מסקנות שגויות. ירחמיאל נפל קורבן לפרדוקס סימפסון.

כדי להבין מהם אחוזי ההצלחה של הטיפול הרפואי נסכום את ההצלחות משני המחקרים (67 הצלחות) ונסכום גם את סך הניסיונות (100 ניסיונות) ונקבל שהחלק היחסי של ההצלחות מהניסיונות הוא 67/100 שהם 67%. באותו אופן נקבל שהפתרון האלטרנטיבי נותן 53 הצלחות (45 ועוד 8) מתוך 100 ניסיונות (90+10) שהם 53%.

אבל רגע! הממוצע הראה שהטיפול הרפואי המקובל נותן רק 55% הצלחה לעומת 65% הצלחה בממוצע לטיפול האלטרנטיבי.

האם יש פה סתירה? ממש אין כאן סתירה. יחסים מסתירים מאיתנו את הכמויות האמיתיות שאנחנו עוסקים בהן. מלבד זאת, אין משמעות לחבר או למצע יחסים כי בעצם אנחנו איננו שומרים על חיבור של דברים בעלי אותו הכינוי (אותה המשמעות) -- בדומה לחיבור של תפוחים לתפוזים.

הבלבול נובע מההרגל לחפש מכנה משותף ולחבר. כך התרגלנו בשברים ואחוזים הם מאיות ואם הכול מבוטא במאיות אז גדול הפיתוי לחבר כי יש מכנה משותף. אבל מכנה משותף אינו הולם כאן. המשמעות של הביטוי, הצלחה, אינה מתאימה לחיבור היחסים. המשמעות של אחוז ההצלחה היא מנת סכום כלל מקרי ההצלחה בסכום כלל המקרים. ומשעה שחישבנו כך קיבלנו את המשמעות שאליה התכוונו. לעומת זאת, אין משמעות כזאת לחיבור או לממוצע של היחסים.

ישנם יחסים שמשמעותם נתונה לפי הגדרה שלנו. זה המקרה כאן אצל ירחמיאל: כשאנו מגדירים  מספר הניסויים שהסתיימו בהצלחה לחלק למספר הניסויים בסך הכול. עתה נתבונן בשני המקרים שבהם ביצעתי ניסויים וננסה מנסה לסכם את התוצאות. איננו יכולים לקחת את היחס שמתאר הצלחה במקרה הראשון ולחבר אליו את היחס שמתאר הצלחה במקרה השני. עלינו לסכם את ההצלחות בניסויים משני המקרים ולחלק את הסכום ב-סכום מספר הניסויים משני המקרים. רק כך  נוכל להסיק את ההצלחה משני המקרים ביחד. זאת דוגמה שמציגה שמכנה משותף, גם באחוזים, לא  מועיל לנו. כלל חשוב בחשבון, בסטטיסטיקה ובמתמטיקה (ואולי בחיים בכלל): לא להתעסק בחישובים אלא בחשיבה: יש להבין מה המשמעות ולפי המשמעות לבחור את הכלי המתאים לייצוג הבעייה (התרגיל בחשבון, או האופרטור המתמטי, במקרה שלנו היחס וכלל החיבור המיוחד).

ננסה לתאר בייצוג אלגברי:
היחס שמתאר הצלחה במקרה א': a/b, כאשר a מתאר את מספר הניסויים שהצליחו מתוך b ניסויים. באופן דומה, היחס שמתאר הצלחה במקרה ב': c/d, כאשר c מתאר את מספר הניסויים שהצליחו מתוך d ניסויים. אם נרצה להסיק מהו היחס שמסכם בעבורנו את ההצלחה משני המקרים גם יחד עלינו לחשב כך (a+c)/(b+d), ואיננו יכולים לקבל תשובה עם משמעות כאשר נחבר את השברים a/b ו-c/d כמקובל. כי זה ייתן תשובה שאינה מתארת את ההצלחה לפי ההגדרה שלנו.

הבא ונתבונן בדוגמה שונה ומתחום אחר לחלוטין שגם שם נדמה שיש סתירה ולמעשה אין. הדוגמה מבוססת על חידה שחד לי שלומי בושי:

אתר אינטרנט מצליח ניזון מפרסומות. כדי לפשט את ניהול המפרסמים אצלו בעל האתר מעסיק שלוש חברות פרסום שמספקות פרסומות לאתר שלו. הוא מודד את אחוזי ההצלחה של כל אחת משלוש החברות באמצעות מדד CTR. זה בעצם יחס שמראה כמה פעמים הקליקו על מודעה מתוך סך הפעמים שהמודעה הוצגה. בדוח היומי שלו גילה בעל האתר שבעוד שסוכנויות הפרסום א' ו-ב' שמרו על אחוז ההצלחה שלהן, סוכנות ג' שיפרה את אחוז ההצלחה שלה. מרוצה מהשיפור פנה בעל האתר לחשב את ההשפעה של השיפור על ה-CTR של הפרסומות באתר שלו. לתדהמתו, הוא גילה שה-CTR באתר ירד. האם זה ייתכן?

הנה המספרים:

ביום הראשון, סוכנות א' השיגה CTR של 3%=18/600, סוכנות ב' השיגה CTR של 4% 64/1600 ואילו סוכנות ג' השיגה  CTR של 1% 4/400. אלה מספרים מרשימים מאוד בפרסום מקוון. 

ביום השני, סוכנות א' נשארה עם CTR של 3%=18/600, וסוכנות ב' נשארה עם CTR של 4% 64/1600 ואילו סוכנות ג' השיגה  שיפור ב-CTR והעלתה אותו ל 1.1% 110/10000. מרשים!

עתה נחשב את ה-CTR באתר, הרי זה מה שמעניין את בעל האתר:

סך כל הקליקים על מודעות ביום הראשון הוא 86 קליקים וסך כל ההופעות של מודעות הוא 2600 ולכן ה-CTR ביום הראשון הוא כ-3.3%.

סך כל הקליקים על מודעות ביום השני הוא 192 קליקים וסך כל ההופעות של מודעות הוא 12200 ולכן ה-CTR ביום השני הוא כ-1.6%.

אוי ואבוי! ה-CTR באתר ירד ביום השני ביותר מ-50% מאשר ביום הראשון.

איך זה ייתכן? זה ייתכן כי אנו מחשבים יחס. ביחס אנחנו יכולים לשלוט על שני גדלים: על המונה ועל המכנה. אם משווים שני יחסים ונצמצם כל אחד מהם ככל האפשר אז נוכל לטעון את הדברים הבאים:

* היחסים שווים אם המונים של הצורה המצומצמת שלהם שווים וגם המכנים של הצורה המצומצמת שלהם שווים

* יחס א' גדול מיחס ב' אם המונה של הצורה המצומצמת של יחס א' גדול מהמונה של הצורה המצומצמת של יחס ב' כאשר המכנים של הצורה המצומצמת של שני היחסים שווים

* יחס א' גדול מיחס ב' אם המכנה של הצורה המצומצמת של יחס א' קטן מהמכנה של הצורה המצומצמת של יחס ב' כאשר המונים של הצורה המצומצמת של שני היחסים שווים

משום שבשתי הדוגמאות שלנו (זאת של ירחמיאל וזאת של בעל אתר האינטרנט) הגידול בערך המכנה במקרה השני לעומת המקרה הראשון היה באופן ניכר רב יותר מאשר הגידול (הקטן יחסית) בערך המונה -- אזי ערך היחס קטן לעומת המקרה הראשון. 

מדוע לא חיברנו את היחסים? כי איזו משמעות יש לחיבור היחסים? יש משמעות ליחס עצמו: מעצם הגדרתו של היחס עלינו לבנות אותו שוב באותו האופן גם כאשר אנחנו מסכמים ואיננו יכולים לפנות לסכום רגיל.

נחזור למרכזת השכבה שמתחילת המאמר: מה הסיבה לפער? כדי לדעת מה אחוז הנכשלים בשכבה אין משמעות לחשב את הממוצע שכך הגדלים אינם מתוך אותו השלם. דווקא החישוב השני שלה (סכום הנכשלים לחלק לסך כלל התלמידים שבשכבה) נכון ומתאים ומתאר נאמנה את הבעיה. עדיין מבולבלים? הנה דוגמה נוספת.

בקייטנה א' יש 55 קייטנים. בקייטנה ב' יש 31 קייטנים. בקייטנה א', 20 מהקייטנים אינם יודעים לשחות. בקייטנה ב' יש קייטן אחד שאינו יודע לשחות. המסקנה היתה: כ-20% מהקייטנים בשתי הקייטנות אינם יודעים לשחות. המסקנה הזאת התקבלה מתוך חישוב ממוצע פשוט: 

(20/55+1/31)/2 ~ 19.8%

אבל, האמת היא שכל אחת מהקייטנות מהווה שלם בגודל אחר ואופן החישוב הנכון הוא לחשב כמה אינם יודעים לשחות בסך הכל בשתי הקייטנות ולחלק בסך כל הקייטנים ואז נקבל:

(20+1)/(55+31) ~ 24.4%

התשובה שונה: האם חמישית או רבע מהקייטנים אינם יודעים לשחות? התשובה הראשונה (הממוצע) שגויה. התשובה השנייה נכונה. למה הדבר דומה? הנה שאלה: כמה זה חצי שקל ועוד חצי שקל? התשובה: 1 שקל! זה קל. ועכשיו: כמה זה חצי שקל ועוד חצי דולר? אוי! זה כבר לא כ"כ קל. ברור לנו שמדובר בחיבור חצאים של שלמים שונים (במקרה הזה שונים בערכם). גם במקרה של ההקייטנים, בכל קייטנה יש כמות שונה של קייטנים.

אז אי אפשר להשתמש בממוצע?! אפשר להשתמש בממוצע משוכלל -- כזה שמביא בחשבון את התרומה היחסית של כל שלם שמשתתף בחישוב. אפשר. דוגמאות נוספות לכשל שכזה אפשר למצוא ברשימה של הסטטיסטיקאי יוסי לוי ב-נסיכת המדעים. יחסים הם מסוכנים ולרבים מאיתנו החישובים ביחסים מבלבלים ומטעים. אז מה עושים? עוצרים, חושבים, מבינים את המשמעות וכשברור לנו מה עלינו לעשות, רק אז מחשבים.

***

כדאי לקרוא עוד על פרדוקס סימפסון:

בויקיפדיה

בנסיכת המדעים

ב-lifesimulator

ב-ifeel (מתוך מגזין גלילאו)

קשרים בין תבניות מוסיקליות, לבין אלגברה מודרנית

במאמר מרתק (אבל לא קל בכלל לקריאה ולעיכול) מקשרים 12 טונים מוסיקליים לחבורה דיהדרלית מסדר 24. טון מוסיקלי הוא בעצם מרווח קבוע בין צלילים. וחבורה דיהדרלית זה שם ססגוני לחבורת הסימטריות של מצולע משוכלל.

למי שיש הבנה בתורת המוסיקה וגם באלגברה מודרנית, או לפחות נטייה מוסיקלית חזקה והבנה מתמטית טובה יהיה מעניין ומחכים לקרוא.

החוקרים השתמשו בתובנות כדי לנתח יצירות של הביטלס ושל פאול הינדמית.

לסקרנים:

על סימטריה ועל חבורות סימטריה כבר יצא לי לכתוב:

• ביקורת ספר: סימטריה -- מסע אל מרחבי התבניות של הטבע מאת מרכוס דה סוטוי
• על דבורים ועל הקשר לסימטריה בפרחים

Musical Actions of Dihedral Groups

Alissa S. Crans, Thomas M. Fiore, Ramon Satyendra

(Submitted on 12 Nov 2007 (v1), last revised 13 Jun 2008 (this version, v2))

Abstract:
The sequence of pitches which form a musical melody can be transposed or inverted. Since the 1970s, music theorists have modeled musical transposition and inversion in terms of an action of the dihedral group of order 24. More recently music theorists have found an intriguing second way that the dihedral group of order 24 acts on the set of major and minor chords. We illustrate both geometrically and algebraically how these two actions are {\it dual}. Both actions and their duality have been used to analyze works of music as diverse as Hindemith and the Beatles.

Summary:
This paper connects the twelve musical tones to elements in the dihedral group of order 24 (the symmetries of a regular dodecagon). The translation from pitch classes to integers modulo 12 allows for the modeling of musical works using abstract algebra. The first action on major and minor chords described in the paper is based on the musical techniques of transposition and inversion. A transposition moves a sequence of pitches up or down and an inversion reflects a melody about a fixed axis. The other action arises from the P, L, and R operations of the 19th-century music theorist Hugo Riemann. It is through these operations that the dihedral group of order 24 acts on the set of major and minor triads. The paper also describes how the P, L, and R operations have beautiful geometric presentations in terms of graphs. In particular the authors describe a connection between the PLR-group and chord progressions in Beethoven’s 9th Symphony, which leads to a proof that the PLR-group is dihedral. Another musical example is Pachelbel’s Canon in D. In summary, the paper gives a very pretty explanation of what we commonly hear in tonal music in terms of elementary group theory.

המחשות של סדרי גודל ושל מרחקים

המחשת מרחקים וסדרי גודל

הפעם נחזה בהמחשות של מרחקים ושל סדרי גודל.

דיברתי בכיתה על מושג האורך והמימד ודיברתי על מדידות (פה, פה ו-פה) ואפילו השוויתי עם חומר לדוגמה בנושא ממיזם של משרד החינוך שהופק לא מכבר (הנה, פה) ועכשיו, המחשה ממש מוצלחת וקלה לתפעול של אורכים סדרי גודל.

הנה לפניכם שני סוגי המחשה:

[1] המחשת מרחקים אסטרונומיים: סדרת ספרים בשם Astromonical שהדפדוף בהם יכול להמחיש מרחקים בקנה מידה בין כוכבי. מדובר בדגם בקנה מידה של מערכת השמש שלנו בצורת סדרת ספרים ב-12 כרכים, כל כרך בן כ-500 עמודים. את הספרים מדפיסים לפי דרישה. בעמוד מספר 1: השמש. בעמוד מספר 6,000 פלוטו. רוחבו של כל עמוד מקביל (לפי קנה המידה שהשתמשו בו) למיליון קילומטרים (ג'יגהמטר).


ASTRONOMICAL - The Movie מאת  Mishka Henner  .



















[2]
כלי מרהיב ומסקרן מאת קארי הואנג. מזיזים את הכפתור ימינה או שמאלה כדי להתקרב או כדי להתרחק -- בעזרת פס גלילה. החל מעצמים בסביבתינו ועד לגדלים בין כוכביים, או בין גלקטיים (אם מתרחקים) ועד לגדלים קטנים כרצונכם (אם מתקרבים).
http://spamtheweb.com/spread/uploads/swfs/02022012/scale_of_univescale_of_universe_enhancedrse_enhanced.swf

והנה גרסה שמתורגמת לעברית, במאמץ שריכז טל גלילי:

מתוך: סדנת מתמטיקה: http://amaalmathworkshop.blogspot.com

תכנית אסטרטגית לחיזוק החינוך המדעי-טכנולוגי במשרד החינוך

תכנית אסטרטגית לחיזוק החינוך מדעי-טכנולוגי במשרד החינוך

אני רואה את החגגת שיש בבתי הספר (שעליה היטיב לכתוב ידידי, דודי הולצמן: תופעת החגגת) ואת התוצאה באיבוד שעות לימוד יקרות. התופעה אינה ייחודית לבתי ספר יסודיים, אותו הדבר מתרחש גם בחטיבות הביניים וגם בתיכונים. נוסיף לכך את האופנות ואת המגמות בחינוך המתמטי (ראו: מבט-על על גישות בחינוך מתמטי) ואת הבעיות הידועות בהכשרת המורים וברמתם של חלק מהמורים ונקבל מתכון לצרות. לא מעטות האזהרות שמגיעות מצד התעשייה והאקדמיה על הרמה ועל היכולות של תלמידי ישראל במתמטיקה ובמדעים.

במשרד החינוך מנסים לעשות מעשה באמצעות תוכנית אסטרטגית לחיזוקו של החינוך המדעי-טכנולוגי.מעניינת התוכנית שמשלבת עבודה מעשית בתעשייה טכנולוגית -- מודל של חונכות ושל חונך-שולייה. אולי אפילו נדמה לי שיש כאן ניצנים לחזק שוב את בתי הספר המקצועיים (לפחות במגמות טכנולוגיות) שמשרד החינוך עשה עבודה לתפארת בהריסתם ובניוונם (ראו את ספרו של סטף ורטהיימר: איש ליד מכונה) ובמקביל לכוון את התלמידים החזקים שיש להם נטייה מדעית וטכנולוגית להתמקד במדע ובטכנולוגיה. ניכר שישנן הרבה מאוד כוונות טובות. נדמה כאילו שהתוכנית באה יחד עם דעת קהל שמתגבשת בציבור (ראו למשל את המאמר של סיגל ירון-פסט: מי רוצה שילדיו יהיו חשמלאים או בנאים?). ייתכן שמדובר גם במעורבות של שר התמ"ת, שלום שמחון, אם כי אינני בטוח בכך (ראו: מאמר בדה-מרקר: להעצים את החינוך הטכנולוגי) -- אם להתייחס לדבריו של שמחון, אכן לתוכנית הזאת מייעץ סטף ורטהיימר. יחד עם זאת מצפייה בסרטון (ראו בהמשך) נראה שמדובר ביוזמה של שר החינוך, גדעון סער, ואין כאן שיתוף פעולה עם היוזמות של שר התמ"ת. לא ברור לי מדוע יד אחת בממשלה (משרד החינוך) אינה יודעת מהיד השנייה (משרד התמ"מ) ומדוע אין שיתוף ותיאום של ידע, משאבים ותכנון.

מתוך הצצה בדוגמאות של חומרי הלימוד שמקושרים מאתר היוזמה, נדמה לי שיש קפיצה לגימיקים ולהפשטת יתר (אבסטרקציה) במקום דווקא להקפיד על הוראה מסודרת, שיטתית ועל הקנייה של תהליכי עבודה וחשיבה מסודרים כדי ליצור בסיס טוב להרחבה. אני מקווה שאתבדה ושהתוכנית תוכיח את עצמה.

אכיפה של מיצוי שעות הלימוד הדרושות במקצועות הליבה היא הכרחית. אין לאבד שעות הוראת מתמטיקה לטובת טקסים, טיולים, הצגות, יום המאה וכו'. לא ברור לי איך במשרד החינוך אוכפים את זה בדיוק. הנה התוכנית האסטרטגית כפי שהיא מוצגת באתר משרד החינוך:

תכנית אסטרטגית לחיזוק החינוך מדעי-טכנולוגי על אודות התוכנית האסטרטגית לחיזוק החינוך המדעי טכנולוגי דבר ראש המינהל על התכנית האסטרטגית לחיזוק החינוך המדעי טכנולוגי מאז הקמת המדינה היה ברור לקובעי המדיניות, כי בהיעדר משאבים טבעיים חוסנה הכלכלי של המדינה חייב להישען על מדע וטכנולוגיה. בשנים האחרונות הגיעו הדים מצה"ל, מהאקדמיה ומהתעשייה על היחלשותו של החינוך המדעי-טכנולוגי. הירידה בהיקפי התחום הזה ובאיכותו מעיבה על ההתפתחות המרשימה של התעשייה בישראל. כדי לאפשר הקמת חברות תעשייה נוספות בישראל תוך מעבר ממחקר ופיתוח לייצור ולשיווק יש צורך בהנדסאים, בטכנאים ובעובדי ייצור. מערכת חינוך המחנכת לעבודה ויצרנות היא אחד התנאים להקמת חברות תעשייה נוספות בישראל. בקדנציה הנוכחית שמים שר החינוך גדעון סער ומנכ"ל משרד החינוך ד"ר שמשון שושני דגש מיוחד על חיזוק החינוך המדעי טכנולוגי דגש שבא לידי ביטוי בכמה תוכניות: התוכנית לשיפור הידע וההישגים במדע וטכנולוגיה בחטיבות הביניים התשתית ללימודי מדע וטכנולוגיה מתחילה מבתי הספר היסודיים וחטיבות הביניים. בחטיבות הביניים מצאנו שלמעלה מ-50% מבתי הספר לא הקצו את השעות הנדרשות למקצוע. בהיעדר שעות הורדו נושאי לימוד, ובסופו של דבר, כשהשווינו את תוכנית הלימודים במדעים לסטנדרטים בינלאומיים מצאנו שהחלק החופף קטן ביותר. כדי לשנות את המצב, הוספנו שעות לימוד למדע וטכנולוגיה בחטיבת הביניים (כ-12,500 שעות בשנה), הוספנו נושאי לימוד, הגברנו את האכיפה על מספר שעות הלימוד הנלמדות, הגדרנו באופן ברור יותר את נושאי הלימוד בדגש על הידע הנדרש בכל אחד מתחומי הדעת (כימיה, פיסיקה, ביולוגיה) והגדלנו את כמות ההשתלמויות וההדרכות. מהלך זה הוא מהלך ארווך טווח לשיפור הידע והמיומנויות של תלמידי ישראל בתחומי המדע והטכנולוגיה עוד בשלבים המוקדמים. עתודה ומנהיגות מדעית – טכנולוגית לצד הרצון לשפר את הידע והמיומנויות של כל התלמידים אנו מבקשים להגדיל משמעותית את שיעור התלמידים המצטיינים בתחומים אלה. לשם כך, פתחנו מסלול למצוינות מדעית–טכנולוגית שיכפיל, ובהמשך ישלש את כמות המצטיינים במדע וטכנולוגיה. התוכנית מעודדת תלמידות ותלמידים לשאוף למצוינות בתחומי המדע והטכנולוגיה, כשהשתלבות בתעשיות עתירות הידע בישראל עומד לנגד עיניהם. התוכנית נותנת עדיפות לתלמידים מהפריפריה החברתית והגיאוגרפית בישראל ועדיפות לבנות וזאת כדי לאפשר גם לילדים בפריפריה לחלום את חלום ההיי-טק הישראלי וגם להצליח לממש אותו בכלים המתאימים. חיזוק החינוך הטכנולוגי/מקצועי העשורים האחרונים לא הטיבו גם עם החינוך הטכנולוגי; ירידה בתקציבים, סגירת מגמות והתיישנות מעבדות יכולות להסביר את הרקע לטענות מצד צה"ל ומצד התעשיינים הן על הירידה בהיקפים והן על הירידה באיכות הבוגרים. התוכנית האסטרטגית לחיזוק החינוך הטכנולוגי בשיתוף עם התאחדות התעשיינים משנה את המגמה; חזון חיזוק החינוך הטכנולוגי הוא הרחבתו והתאמתו למאה ה-21 כך שיהווה אלטרנטיבה אטרקטיבית לחינוך העיוני ויספק כוח אדם איכותי העונה לאתגרי התעשייה. התוכנית לחיזוק החינוך המדעי טכנולוגי הוקמה לאחר שנים של ירידה בתקציבים שהופנו לחינוך הטכנולוגי. כאן לראשונה, בהובלת שר החינוך ח"כ גדעון סער ומנכל משרד החינוך ד"ר שמשון שושני, הוחלט לשנות את המגמה. מטרות התוכנית הן: - לתת מענה חינוכי ליותר תלמידים המעוניינים לשלב טכנולוגיה והיבטים יישומיים-התנסותיים במהלך לימודיהם. - ליצור מסלולי התקדמות לצד תעודת הבגרות המובילים להשתלבות בתעשייה - להרחיב ולהתאים את מערך החינוך הטכנולוגי לצורכי התעשייה בכדי להשיג מטרות אלו, התוכנית האסטרטגית כוללת את התוכניות האלה: 1. הזנק לתעשייה - תוכנית הנותנת אופק תעסוקתי ויכולת שילוב של אותם תלמידים שבעבר המערכת לא ידעה למצוא להם פתרונות. התוכנית משלבת אחת לשבוע יום לימודים בתעשייה. 2. פרויקט טו"ב (טכנאי ובגרות) - תוכנית המופעלת בשיתוף עם התאחדות התעשיינים ורשתות החינוך הטכנולוגי. התוכנית מביאה את התלמידים עד סוף כיתה יב' לתעודת טכנאי במקצועות מבוקשים במשק – אלקטרוניקה, מכונות ומחשבים, וזאת יחד עם תעודת בגרות. 3. הקמת מרכזי טכנולוגיה אזוריים בצפון ובדרום - כדי להגדיל את מספר התלמידים בחינוך הטכנולוגי המשלבים למידה התנסותית משמעותית. 4. מנגנון תיאום עם צה"ל - מנגנון שנועד להתאים את ההיקפים והרלוונטיות של החינוך הטכנולוגי לצרכים המשתנים של צה"ל. 5. העצמת תחום הרובוטיקה - חשיפה לעולם הרובוטיקה בכל שלבי הגיל לצורך עידוד חשיבה מסדר גבוה וכשער לעולם הטכנולוגיה 6. הסבת פורשי היי-טק לחינוך הטכנולוגי יחד עם משרד האוצר - הסבה הדרגתית של עובדים מהתעשייה לחינוך הטכנולוגי כחלק מתוכנית לקידום תעשיות עתירות ידע במשרד האוצר. הנה הקישור לעמוד באתר משרד החינוך: http://cms.education.gov.il/EducationCMS/Units/MadaTech/tochnit_astrategit/

מדידת מרחקים לפי משרד החינוך תוכנית העתודה המדעית

מדידת מרחקים לפי משרד החינוך תוכנית העתודה המדעית

מתברר שלמשרד החינוך יש תוכנית לעתודה מדעית וטכנולוגית: תוכנית 6 שנתית (מכתה ז' ועד כתה י"ב) עם דגש על מתמטיקה, פיזיקה, כימיה ביולוגיה,

תכנית אסטרטגית לחיזוק החינוך מדעי - טכנולוגי עתודה מדעית טכנולוגית

בשנת הלימודים תשע"א השיק מינהל מדע וטכנולוגיה במשרד החינוך את התוכנית "עתודה למנהיגות מדעית טכנולוגית" ב-30 בתי ספר על יסודיים שש שנתיים, כאשר בכל בתי ספר נפתחו שתי קבוצות: האחת בכיתה ז' והשנייה בכיתה י' זאת במטרה לייצר מסלול מצוינות שש שנתי המוביל לתעודת בגרות איכותית בתחומי המדע והטכנולוגיה הכוללת:

• 5 יח"ל מתמטיקה בנוסף,
• 5 יח"ל מדעי הטבע (פיזיקה כימיה ביולוגיה) ובנוסף,
• 5 יח"ל טכנולוגיות (מדעי המחשב/ הנדסת תוכנה, הנדסת אלקטרוניקה, הנדסת מכונות, ביוטכנולוגיה או מדעית טכנולוגית), או מקצוע מדעי טבע נוסף.

בשנת הלימודים תשע"ב שואף מינהל מדע וטכנולוגיה להרחיב את התוכנית לבתי ספר נוספים וגם בהם להקים מסלול מצוינות מכיתה ז' ועד כיתה יב'.

הנה קובץ ובו הסברים וגם הצעות לפעילויות בנושא מדידת מרחקים מתוך התוכנית.

בנושא יחידות המידה ומדידת מרחקים עסקנו גם בסדנת המתמטיקה שלנו, סדנת המתמטיקה בבית ספר עמל:

שיעור מספר 3: על מושגי האורך והמימד

שיעור מספר 4: יחידות אורך: על השיטה המטרית והקשר שלה למבנה המספר

שיעור מספר 5: איך פותרים בעיות שמערבות יחידות שונות של אורך ואיך כסף קשור לזה?

תלמידים מתעניינים יוכלו למצוא עניין בקובץ הפעילויות של משרד החינוך -- הורים ומורים יוכלו להשתמש בחומר כדי לבנות פעילויות לתלמידים סקרנים.

תמונות משפחתיות

תמונות משפחתיות:

מיכל, אביב, סיון, שלמה וניר

ללמוד ללמד ילדים מתמטיקה של בית ספר יסודי

ללמוד ללמד ילדים מתמטיקה של בית ספר יסודי

סדנה להורים במתמטיקה יסודית

הורים יקרים,

האם אתם מרגישים שאינכם באמת מבינים מה הילדים לומדים במתמטיקה בבית הספר היסודי? אולי אתם מנסים לעזור לילדים ומגלים שאינכם מבינים את ספרי הלימוד או את הגישה שמלמדים בכתה? קורה לכם שאתם מנסים להסביר לילדים בבית איך לפתור בעיה בגישה שאתם מכירים ומוצאים שהילדים מתנגדים, אולי אפילו חרדים וכל הזמן אומרים לכם "זאת לא הדרך שהיתה בכיתה!!"? 

מבולבלים? מתוסכלים? אולי אפילו סוחבים עמנו מאז ימי בית-הספר חשש או חרדה ממתמטיקה? מרגישים שאין לכם שליטה ויכולת לעזור? ניסיתם לעזור לילדים שלכם בשיעורי הבית במתמטיקה ולא הצלחתם? אינכם לבד!

אם ילדיכם זקוקים לעזרה וקשה לכם להתמודד עם שאלותיהם, אם אתם רוצים להוכיח לעצמכם שאתם מסוגלים, הסדנה הזאת מיועדת לכם. בואו להשלים את פערי הידע כדי שתוכלו לעזור לילדיכם במתמטיקה. האתגר והתגמול כפולים: התגברות על מחסומים או על פחדים מן העבר ושיפור התקשורת עם הילד ותדמיתכם בעיניו.

אנחנו נתכנס מידי שבוע לכ-90 דקות כדי ללמוד מתמטיקה של בית ספר יסודי ובעיקר להבין איך ללמד ואיך להסביר לילדים מתמטיקה של בית ספר יסודי. יש הבדל גדול בין לדעת או להבין מתמטיקה של בית ספר יסודי לבין היכולת ללמד באופן ברור ומובן ילדים את המושגים, את הרעיונות ואת הדרכים לפתרון בעיות. 

ההורים מגיעים להשתלם בחינם וההוראה בהתנדבות גמורה וללא תמורה!

בין הנושאים שנעסוק בהם:

• הגישות השונות להוראת המתמטיקה בעולם ובישראל: מה עובד ומה אינו עובד ומדוע
• תוכניות הלימודים במתמטיקה: מה זה? איך עוקבים? מה צריך ומה קורה בפועל
• הכנה לקראת כתה א': מה מצופה מבוגרי גן חובה? מה חשוב? איך מביאים את הילדים לשם?
• מבנה המספר העשרוני
• משמעויות פעולות החשבון
• שברים, אחוזים, יחסים
• בעיות מילוליות בכל הרמות
• גיאומטריה

כמובן, הסדנה תהיה המקום להעלות מקרים אמיתיים שלכם שבהם תתארו קשיים וניסיונות וביחד נבין מה הבעיות, כיצד להתמודד איתן ונתרגל.

בכל אלה ועוד נעסוק תוך כדי לימוד ושימוש בעקרונות הוראה חשובים:

• שימש בניסוחים מדוייקים, בשפה מדוייקת, הגדרת והדגמת מושגים. בקיצור: אוריינות
• סדר ההוראה, שלב אחרי שלב, דירוג, ספיראליות
• דגש על משמעויות הפעולות
• דיון בדקויות של משמעויות
• התנסות מוחשית: מהמוחשי, דרך הציורי ועד למופשט
• המללה
• הוראה "תיווכית" שבה העקרונות מגיעים מהילד
• שיטתיות
• מיקוד
• הימנעות מקיבוע: לימוד כל מושג  בעזרת הדגמות שונות  ומודלים רבים

כמה דוגמאות לבעיות שנעסוק בהן, נלמד בעצמנו וגם נלמד ללמד ולהסביר:

• אם 3x6 זה שלוש פעמים שש אז מה זה 1/3x6? 
• מה המשמעות של חילוק בשבר? מה זה שליש לחלק לרבע?
• מה זאת זווית? האם ההגדרות המקובלות לזווית שגויות? מה זה מעלות? ולמה מודדים זויות במעלות?
• איך מלמדים ילדים בכתה א' לחסר 7 מ-12 ומדוע זה קשה להם?
• משמעויות של חיסור, כפל וחילוק
• בשביל מה צריך לשנן את לוח הכפל? איך עושים את זה וגם מצליחים?
• מה זה חילוק ארוך? בשביל מה לומדים את זה? איך מלמדים את זה
• האם מכנה משותף מופיע בפעם הראשונה רק כשלומדים שברים? 

סיכומו של כל שיעור בסדנה יועלה לאתר הזה לטובת קריאה נוספת ולרענון החומר וכדי להשתמש בו בעתיד. המאמרים שאותם נזכיר בסדנה וחומרי העזר להורים-מורים יהיו זמינים גם הם באתר הזה.

מי מלמד בסדנה?

שלמה יונה, תושב כפר יונה, נשוי ואב לשלושה ילדים, מפתח אלגוריתמים ותוכנה, מלמד בהתנדבות בבתי ספר יסודיים ובבתי ספר על יסודיים, ומעביר סדנאות בחינוך מתמטי ובאוריינות מתמטית להורים לילדים בגיל הרך ו-סדנאות מתמטיקה יסודית להורים לתלמידי בית ספר יסודי. שלמה חבר ופעיל בעמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכל.

ההכשרה תתחיל במהלך חודש מרץ 2012 בכפר יונה.

כבר יותר מ-20 30 הורים נרשמו לסדנה. 
ואתם?

להרשמה ולפרטים נוספים אתם מוזמנים לפנות אל ההורים המארגנים:

אריאל שמואלי ariel.shmueli@dspg.com 054-5225395

ציון לוי zionlevi69@gmail.com 054-8189707

אביב דגן avivd@mykfaryona.com 054-8006697

שלמה יונה shlomo.yona@gmail.com 057-7326360

כנס להורים בכפר יונה בנושא מרכז לימודי במתמטיקה

סיכום ורשמים מכינוס ההוריםבכפר יונה: 

איך להצליח במתמטיקה?

אריאל שמואלי וציון לוי

ביום ראשון, 5.2.2012, ב-20:30 התקיים באולם הרב תכליתי במתנ"ס כפר יונה מפגש הורים. הנה קישור להזמנה שפירסמנו.

 שמחנו (אביב דגן, אריאל שמואלי, ציון לוי, נעם בלזברג ואנוכי, שלמה יונה) מאוד לראות שהאולם היה מלא בכמה עשרות הורים שהגיעו לשמוע כיצד יכולים אנחנו ההורים ביחד לעזור לילדינו.

הסיבה שקראנו להורים לבוא לכינוס הערב היא כי אנחנו, הורים לתלמידים בעמל (בית הספר היסודי עמל בכפר יונה) בדיוק כמוכם, מעונינים לשפר את הישגי התלמידים ולהעצים את ידיעותיהם. יש לנו חזון – אנחנו רוצים להקים, הורים ביחד, מרכז העשרה שיסייע לתלמידים, בכל הכיתות, בכל הרמות ובמגוון מקצועות. מרכז שיעבוד בשיתוף ובתיאום מלא עם הנהלת בית הספר והצוות החינוכי. מרכז חינמי ללא מטרות רווח.

אנחנו רוצים ליצור קבוצות לימוד של תלמידים. את הקבוצות ילמדו הורים לתלמידים מבית הספר, בהתנדבות. הפעילות תתקיים בתוך בית הספר, בסיום יום הלימודים והוא יהיה פתוח לכל ילד וילדה.

ההורים יקבלו תמיכה מקצועית ואף יעברו השתלמות שתסייע להם לעמוד מול קבוצה ולהתמודד עם החומר. השתתפות בסדנת ההורים אינה מהווה התחייבות ללמד. ייתכן שיהיה מי שירגיש שלא יוכל לעמוד מול כיתה. בכל מקרה, כל הורה שישתתף ירכוש ידע  שיאפשר לו לעבוד עם ילדיו. היכולת להכנס לאופן המחשבה של ילדים ולהבין עד כמה היא שונה מזו שלנו עשויה לשפר מאוד את התקשורת שלנו עם ילדינו.

הפיילוט הראשון מתמקד במתמטיקה.

בחרנו בשיטה שהוכיחה את עצמה במספר רב של בתי ספר בארץ ובעולם ובעזרתכם יהנו ממנה גם התלמידים בקבוצות שנקים.

על העקרונות שעליהם מבוססת השיטה פירטו האורחים המכובדים שטרחו, הקדישו מזמנם והגיעו:

משה ריין ופרופסור רון אהרוני

- פרופסור רון אהרוני: מתמטיקאי, מרצה מצטיין בטכניון, סופר וממייסדי העמותה

- משה ריין: מדריך מורים, תלמידים והורים במתמטיקה וממייסדי העמותה

אחרי הדברים של הדוברים המוזמנים היה דיון פתוח בין הקהל לבין ההורים המארגנים והאורחים בנוגע לחזון, לרעיון ולמיזם המסויים במתמטיקה. כל השאלות נענו. עם סיום האירוע נשארו עוד הורים רבים להחליף רשמים ורעיונות ולשאול שאלות נוספות.

התרגשנו מאוד לראות את ההיענות ואת הנכונות.

על אודות העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכל:

העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכל, הוקמה בשנת 2002 על-ידי אנשי חינוך,מתמטיקאים ואנשי תעשיית ההיי-טק על רקע הירידה המוכחת בהישגי התלמידים בארץ בלימודי המתמטיקה. העמותה שמה לה למטרה לקדם את החינוך המתמטי בישראל. חברי העמותה מאמינים שלימודי חשבון וגיאומטריה צריכים להיות פשוטים ומובנים לכל. העמותה פועלת ללא כוונת רווח, ופועלים בה בהתנדבות אנשי מקצוע רבים.

להורים היה חשוב להבין האם זה משהו שנעשה בשיתוף פעולה עם בית הספר. כדוגמה הבאנו את סדנת המתמטיקה שאני מלמד בימי שישי תלמידים מבית הספר.

את הדברים הסרטנו והקלטנו והסרטונים מובאים כאן, ללא עריכה:

חלק ראשון:

חלק שני:

חלק שלישי: